垂径定理课件北师大版数学九年级下册

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.OCDMAB课前任务第三章

圆3.3垂径定理*1400多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,如图3-3-12,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫拱形高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).问题导入学习目标1.探索并证明垂径定理及其逆定理，会应用垂径定理及其逆定理解决相关问题；2.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程；进一步发展推理能力.

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.OCDMAB新知探究（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线.（2）AM=BM，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明：连接OA、OB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒从而∠AOD=∠BOD.如何证明上述结论？OCDMAB垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AM=BM，AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒OCDMAB

如图,AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些（等量）关系？说一说你的理由.是，对称轴是直径CD所在的直线OCDMABCD⊥AB，AC=BC，AD=BD，AM=BM⌒⌒⌒⌒想一想已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM.求证：CD⊥AB，AC=BC，

AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明：连接AO,BO,则AO=BO,又AM=BM，∴△AOM≌△BOM（SSS），∴∠AMO=∠BMO=90°，∴CD⊥AB.由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒如何证明上述结论？OCDMAB垂径定理的逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是直径，AM=BM，∴

AB⊥CD，AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒几何语言：OCDMAB思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.不能，圆的两条直径互相平分,但不一定互相垂直.

例1如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的一条弦,AB⊥CD于点E.(1)若AB=10,CD=6,则OE=

;

(2)若OA=3,BE=1,求弦CD的长;(3)若CD=16,BE=4,求☉O的半径典例精析1410解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.●

OCDEF┗典例精析2理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，

则AE＝BE，CE＝DE.

∴AE－CE＝BE－DE

即

AC＝BD.解：AC=BD1.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？O.ACDBE跟踪练习例3

如图,D是☉O的弦BC的中点,A是☉O上的一点,OA与BC交于点E,已知AO=8,BC=12.(1)求线段OD的长;解:如图,连接OB.∵OD过圆心,且D是弦BC的中点,∵在Rt△BOD中,OD2+BD2=BO2,典例精析3在Rt△EOD中,OD2+ED2=EO2,图3-3-7解得x1=-16(舍去)，x2=4,则DE=6-4=2.课堂小结当堂检测1、“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.直径CD=26寸当堂检测2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.(1)距离为24mm(2)∠OAB的余弦值是0.6当堂检测3.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB,使AB过点M,并且AM=BM.答案：依据（垂径定理）.MCDABON解：如图，⊙O中弦AB∥CD，作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM