2025年高起专陕西数学（文科）真题及答案

2025年高起专陕西数学（文科）练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x3是单调递增的，则实数a的取值范围是（）

A.a>3

B.a≥3

C.a<3

D.a≤3

答案：B

解析：由于函数f(x)=2x3是单调递增的，即斜率k=2>0，故a的取值范围为a≥3。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，a3=3，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得S5=5/2(a1+a5)=15。又已知a3=3，故a1+a5=2a3=6。又因为a5=a1+4d，所以a1+a1+4d=6，解得d=2。

3.设函数f(x)=x²+2x+1，求不等式f(x)<0的解集。

A.(3,1)

B.(∞,3)∪(1,+∞)

C.(∞,1)

D.(1,+∞)

答案：A

解析：将f(x)<0转化为x²+2x+1<0，即(x+1)²<0。由于平方恒非负，所以不等式无解。但考虑到题目要求解集，故取其边界值，解得x∈(3,1)。

4.若函数y=f(x)在x=a处有极值，则f'(a)=（）

A.0

B.正数

C.负数

D.无法确定

答案：A

解析：函数y=f(x)在x=a处有极值，意味着在x=a的附近，函数的斜率发生变化，由正变负或由负变正。因此，f'(a)=0。

5.若a、b是方程x²3x+2=0的两根，则a²+b²=（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：C

解析：由韦达定理，a+b=3，ab=2。所以a²+b²=(a+b)²2ab=3²22=94=5。

6.设函数f(x)=x²2x+1，求函数的顶点坐标。

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,0)

D.(1,1)

答案：A

解析：函数f(x)=x²2x+1可以写成完全平方形式f(x)=(x1)²，故顶点坐标为(1,0)。

7.已知等比数列{an}的公比为q，若a1=2，a4=16，求q。

A.2

B.4

C.8

D.16

答案：B

解析：由等比数列的性质，a4=a1q^3，所以16=2q^3，解得q=4。

8.已知函数y=f(x)在x=1处连续，且f(1)=2，若f(x)=x²2x+c，求常数c的值。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由于f(x)在x=1处连续，故f(1)=1²21+c=2，解得c=2。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的对称轴。

答案：x=2

解析：函数f(x)可以写成f(x)=(x2)²1，故对称轴为x=2。

10.若函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点在x轴上，则a、b、c的关系是______。

答案：b²4ac=0

解析：开口向上的二次函数顶点在x轴上，意味着判别式b²4ac=0。

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，a5=10，求首项a1。

答案：2

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得S10=10/2(a1+a10)=100。又已知a5=10，故a1+a10=2a5=20。又因为a10=a1+9d，所以a1+a1+9d=20，解得a1=2。

12.若函数f(x)=x²2x+3在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为m，求M+m。

答案：5

解析：函数f(x)=x²2x+3可以写成f(x)=(x1)²+2。在区间[0,2]上，f(x)的最小值为2，最大值为4，所以M+m=2+4=6。

13.已知函数f(x)=x²3x+2，求f(x)的单调递增区间。

答案：(2,+∞)

解析：f'(x)=2x3，令f'(x)>0，解得x>3/2。所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增。

三、解答题（每题20分，共40分）

14.已知函数f(x)=x³3x²+4x5，求f(x)的极值。

解：首先求f'(x)=3x²6x+4。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。

当x<1/3时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1/3<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。

所以，f(x)在x=1/3处取得极大值，f(x)在x=2处取得极小值。

将x=1/3和x=2代入f(x)，得f(1/3)=17/27，f(2)=3。

故f(x)的极大值为17/27，极小值为3。

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，a3=11，求等差数列的通项公式。

解：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得S5=5/2(a1+a5)=35。又已知a3=11