2025年绵阳市绵中实验中学初升高自主招生考试数学题目及答案

2025年绵阳市绵中实验中学初升高自主招生考试数学题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间（∞，a）上是增函数，求实数a的取值范围。

A.a≤1

B.a≤2

C.a≤3

D.a≤4

答案：C

解析：求导得到f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，解得x<1或x>1。因为题目要求f(x)在区间（∞，a）上是增函数，所以a的取值范围应满足a≤1。但由于f(x)在x=1处从减到增，故a的取值范围应为a≤3。

2.已知a、b是方程x^22ax+b=0的两个实数根，则a^22ab+b的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：根据韦达定理，a+b=2a，ab=b。代入a^22ab+b得到a^22ab+b=a^22aab+ab=a^2ab=a(ab)=0。因此，a^22ab+b=1。

3.若a、b、c成等比数列，且a+b+c=14，abc=27，求a、b、c的值。

A.a=1，b=3，c=9

B.a=3，b=9，c=1

C.a=1，b=9，c=3

D.a=3，b=3，c=8

答案：A

解析：因为a、b、c成等比数列，所以b^2=ac。代入abc=27得到b^3=27，解得b=3。将b=3代入a+b+c=14得到a+3+c=14，解得a+c=11。由b^2=ac得到9=ac，解得a=1，c=9。

4.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

A.最大值4，最小值0

B.最大值4，最小值1

C.最大值1，最小值1

D.最大值1，最小值0

答案：B

解析：f(x)=(x1)^2，这是一个开口向上的抛物线，顶点为(1,0)。在区间[0,3]上，f(x)的最大值在x=3处取得，即f(3)=4；最小值在x=1处取得，即f(1)=0。但在题目给出的选项中，只有B选项的最大值和最小值符合条件。

5.若三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B+C=180°，且a=4，b=6，c=8，则三角形ABC的面积S为（）

A.12

B.24

C.36

D.48

答案：B

解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2c^2)/(2ab)=(4^2+6^28^2)/(246)=1/6。因为C为三角形内角，所以sinC=√(1cos^2C)=√(1(1/6)^2)=√(35/36)=√35/6。三角形ABC的面积S=1/2absinC=1/246√35/6=2√35=24。

二、填空题（每题5分，共20分）

1.若函数f(x)=x^33x^2+2x1在x=a处取得极值，求实数a的值。

答案：a=1或a=2

解析：求导得到f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2。分别求f''(x)，得到f''(1)=0，f''(2)=0。因此，f(x)在x=1和x=2处取得极值。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，求该数列的通项公式。

答案：an=2n1

解析：当n=1时，a1=S1=2。当n≥2时，an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。因此，an=2n1。

3.若a、b、c成等比数列，且a+b+c=14，abc=27，求a、b、c的值。

答案：a=1，b=3，c=9或a=9，b=3，c=1

解析：同选择题第3题。

4.已知函数f(x)=|x2||x+1|，求不等式f(x)<1的解集。

答案：3<x<1

解析：分段讨论：

当x≥2时，f(x)=x2(x+1)=3<1，不成立。

当1≤x<2时，f(x)=(x2)(x+1)=3<1，成立，解得1≤x<1。

当x<1时，f(x)=(x2)(x+1)=2x+1<1，解得x>0，与x<1矛盾。

三、解答题（每题20分，共40分）

1.解三角形ABC，已知a=4，b=6，C=120°。

答案：A=35.26°，B=24.74°，c=8.48

解析：由正弦定理，sinA/a=sinB/b=sinC/c，得到sinA=(asinC)/c=(4√3/2)/8.48≈0.604，解得A≈35.26°。同理，sinB=(bsinC)/c=(6√3/2)/8.48≈0.820，解得B≈24.74°。最后，由C=120°，得到c=8.48。

2.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间。

答案：单调增区间为(∞，2)，(4，+∞)；单调减区间为(2，4)。

解析：求导得到f'(x)=3x^26。令f'(x)=0，解得x=√2或x=√2。分别求f''