垂直平分线二课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.4.2垂直平分线二学习目标1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运

用其解决实际问题.2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.温故知新1.与线段垂直平分线有关的定理有哪些?(1)性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(2)判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点，

在这条线段的垂直平分线上.2.你还记得如何用尺规作线段垂直平分线?ABCD3.你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗?尝试·交流(1)已知三角形的一条边a及这条边上的高h,你能画出满足条件的三角形

吗?与同伴交流画法,你能唯一确定这个三角形吗?ah无法唯一确定.(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴进行交流。ah已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h。先画草图,再分析作法,并同伴进行交流.ah已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h。1.作线段BC,使BC=a。BClA2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D。3.在l上作线段DA,使DA=h。4.连接AB,AC。D△ABC就是所要作的等腰三角形思考·交流1.还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗?2.这种方法将作直线的垂线问题转化为

作

。3.通过回顾上面作垂线的方法,如果点P在直线l外呢?此时,还能运用这种

转化的方法吗?请你试一试,并与同伴进行交流CPlAB(1)以点P为圆心，以适当长度为半径向点P左、

右两边作弧，两弧相交于点A和B；(2)作线段AB的垂直平分线.线段的垂直平分线如图,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P。Pl分析:如何确定一线段AB使线段AB的垂直平分线恰好过点P构造等腰三角形ABP,使AP=BPQABm跟随老师一起作图,然后总结梳理作法.(1)任取一点Q,使点Q与点P在直线l两旁。(2)以点P为圆心,以PQ的长为半径作弧,

交直线l于点A和点B。(3)作线段AB的垂直平分线m。

直线m就是所要作的直线为什么直线m一定会过点P呢?小试一下如图,已知△ABC,完成下列尺规作图:(1)作AC边上的高;(2)作BC边上的高。ABC作AC边上的高(1)延长AC至P

D所以BD为所求作的高同理作BC边的高典例精析已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P。求证:边AC的垂直平分线经过点P。分析:(1)要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件?(2)已知的两条垂直平分线相交于点P,

由此你能得到哪些相关的结论?∵点P在边AB的垂直平分线上,∴PA=PB()。

同理,PB=PC。∴PA=PB=PC。∴点P在线段AC的垂直平分线上(),线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上证明:如图,连接PA,PB,PC。通过本例的学习,你能得到什么结论?尝试·思考定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,

并且这一点到三个顶点的距离相等.应用格式：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA=PB=PC．小试一下如图,某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处,在三个城镇中心之间铺设通信光缆,以城镇中心A为出发点设计了三种连接方案:(1)AB+BC;(2)AD+BC(D为BC的中点);(3)OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)。要使铺设的光缆长度最短,应选哪种方案?解:设等边三角形ABC的边长为2a方案(1):AB+BC=4a

方案(3):∵点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC．

∴方案(3)所需光缆长度最短当堂测评1.若三角形三边垂直平分线的交点在三角形的某一边上，则该三角形是

(

)A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形2.如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在(

)A．三边的垂直平分线的交点处B．三条角平分线的交点处C．三条高所在直线的交点处D．三条中线的交点处AA3．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数是(

)A．33°B．35°C．37°D．39°B4.在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE，则△DAE的周长为(

)A．12B．14C．16D．18B5.如图，已知长方形ABCD。(1)尺规作图：(不写过程，保留作图痕迹)①画出线段BC的垂直平分线MN；②在线段AD上作点E，使点C关于直线BE的对称点F落在MN上。解：如