2025-2026学年辽宁省铁岭市上学期期末高二数学试题 附答案

/高二期末质量监测数学本卷满分150分，考试时间120分钟。*注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.下列是离散型随机变量的是A.车载大灯的使用寿命XB.从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为XC.某次物理实验测量所得的实验误差XD.某培养皿上的细菌个数X2.若X服从两点分布，且P(XA.78 B.C.18 D.3.直线4x−3yA.0 B.1 C.2 D.34.已知平面α，β的法向量分别为n1=(1,k,4)，nA.−8+p3C.2 D.35.已知抛物线y2=8x的焦点为F，A(3,1)，点A.3 B.4 C.5 D.66.已知直线l的方向向量为a=(2,1,1)，平面α的法向量为n=(1,0,k)，若l与αA.14 B.C.2 D.47.已知双曲线E:x24−y212=1的右焦点为F，右顶点为A，一条渐近线为l，过点A.12 B.1C.55 D.8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为FA.23或3B.34或4C.45或5D.56或二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知双曲线E:x2−λy2=k(λA.λB.E的离心率为5C.当k=4时，FD.当k=−9时，10.已知空间向量a=(sint,t+1,A.|bB.当t=πC.|aD.|11.已知函数f(x)=ax+A.当b=0时，B.当a=bC.其展开式中所有项的系数之和为(D.当n=3，a=三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.圆C1:x2+(13.将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为

¯14.某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知。（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从甲、乙两个抽样后的批次中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为

¯四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分18分）某公司招募了A，B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作。已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8。（1）求A，B两位员工均能完成工作的概率；（2）证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立；（3）求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率。16.（本小题满分15分）如图，AC，BD为圆柱的母线，AB，CD为圆柱的底面直径，点F在底面圆周上（不与A，B重合），E为BF中点。(1)证明：平面FAC⊥(2)若AB=17.（本小题满分15分）已知抛物线E：y2=2px的焦点为F（1）求E的方程；（2）若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标；（3）求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时∆PQF18.（本小题满分17分）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球。（1）若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（n≥3），求摸到黑球的次数不超过n（2）若抽完球记录后不放回口袋。（Ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率；（Ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列。19.（本小题满分17分）在直角坐标系xOy中，F(1,0)，点P到l:x=4的距离为2|PF（1）求E的方程；（2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足AT→=3AM→，BT→=3BN→，直线（Ⅰ）证明：直线CD过定点；（Ⅱ）若直线AB斜率存在，记AT，BT，AB的斜率分别为k1，k2，k，证明：高二期末质量监测·数学说明：一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、单选题12345678BCCDCBDA二、多选题91011ACDABDAC三、填空题12.013.3614.50四、解答题15.解：（1）设事件A表示“A员工完成工作”，事件B表示“B员工完成工作”，由题意可知P(A)=0.5因为A，B两位员工必定至少有一位完成工作，即事件A∪B为必然事件，所以根据概率的加法公式，P(A∪所以A，B两位员工均能完成工作的概率为0.3。（5分）（2）由（1）可得P(且P(由于P(故事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立。（10分）（3）所求概率为条件概率P(则由条件概率公式，P(故在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率为38。（13分）16.解：（1）由平面几何知识知FA⊥由AC⊥平面FAB，FB⊂平面FAB知由FA∩AC=A，FA⊂平面FAC，AC⊂平面由FB⊂平面FBD得平面FAC⊥平面（2）取AB中点O，以O为坐标原点，垂直于平面ABDC的方向为x轴正方向，OB→的方向为yAC→的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O不妨设AF=2，则A(0,−2,0)，C(0,−2,4)，D(0,2,4)，F(3,−1,0)，E记平面FCD的法向量为n=({n⋅CD可取n=(4,0,记直线AE与平面FCD所成角为θ，（13分）则sinθ=故直线AE与平面FCD所成角的正弦值为239917.解：（1）显然p2=1E:（2）不妨设lPQ:x=my联立{x=myΔ=(−2此时y1+y故|PQ即(1+m2)(4当PQ斜率k=1m于是2(4+8n)=1，解得故交点坐标为−7（3）求最大值不妨考虑n>0注意到8n=1此时n=18注意到此时F到PQ的距离d=故∆PQF的面积S18.解：（1）记事件An：抽到n次黑球，易知抽到黑球次数服从二项分布B于是P(P(故所求概率p=1−（2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽球。记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，则P(P(P(可得P(（ⅱ）显然前X−1次应该抽非灰球，在此条件下，此时第X29−(而前X−1次抽不到灰球，对应概率为p故可得第X次抽到灰球的概率为2p而X的取值可以是1∼8，故可得分布列为X12345678P27151111