2025-2026学年辽宁省五校联盟高二上学期期末数学试题 附答案

/2025-2026学年辽宁省五校联盟高二（上）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l1与l2的斜率存在，且分别为k1、k2，则“k1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不是充分也不是必要条件2.C8A.126 B.84 C.70 D.563.双曲线y24−x2A.e=62,y=±24.在正三棱台A1B1C1−ABC中，AB=2AA1=2A1BA.16 B.14 C.135.已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点P(x,y)A.[−23,23] B.[−6.用数字1，2，3组成一个四位数，数字i最多用i次(其中i=1，2，3)，则满足条件四位数的个数是(

)A.14 B.26 C.38 D.487.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分8.“埙”(图1)是中国传统吹奏乐器之一，音色朴拙抱素独为地籁，在世界原始艺术史上占有重要的地位.一款“埙”的外轮廓上部是半椭圆，下部是半圆.上部分半椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≥0)，下部分半圆的方程为x2+y2=bA.3y24+9x24=1(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则(

)A.课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有36种

B.课程“御”和“书”、“数”都不相邻的不同排法共有288种

C.课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种

D.课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有480种10.已知O为坐标原点，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A，B是抛物线E上不同的两点，点P是准线lA.以FA为直径的圆与y轴相切

B.若直线AB经过点F，则以AB为直径的圆与准线l相切

C.若OA⊥OB，则直线AB经过定点(2,0)

D.若PA和PB都和抛物线E相切，则直线AB11.空间直角坐标系中，平面Ω和方程Γ：Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)之间具有如下关系：(1)平面Ω上的点的坐标都是方程Γ的解；(2)以方程Γ的解为坐标的点都在平面Ω上，则称平面Ω为方程Γ的平面，方程Γ为平面Ω的方程，并且称n=(A,B,C)为平面ΩA.若点A(1,m,n)在直线l上，则m=3，n=2

B.平面Ω1和Ω2所成角的余弦值等于−16

C.点B(2,0,−1)到平面Ω1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有

种.13.在平面直角坐标系中，点A(a,1)到直线l的距离等于2，点B(−1,2)到直线l的距离等于3，若满足条件的直线l恰有2条，则实数a的取值范围是14.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E上的点P满足PF1⊥PF2，直线PF1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在(x+2)n(n∈N∗)的展开式中，第4项的二项式系数和第202316.(本小题15分)

如图，斜棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．

(1)在棱CC17.(本小题15分)

已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线E上的动点，且|MF|的最小值为1，过点P(3,0)的直线l交抛物线E于A，B两个不同的点，点T(2,1)，直线FT平分∠AFB．

(1)求抛物线E的方程；

18.(本小题17分)

棱锥P−ABCD中，AB=3,AD=BC=3,∠ABC=90°,∠BAD=150°，且PA⊥平面ABCD，过点A的平面α与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且四边形AEFG为菱形．

(1)求证：AD⊥平面19.(本小题17分)

已知动圆C与圆C1：(x−1)2+y2=9内切，同时与圆C2：(x+1)2+y2=1外切，圆心C的轨迹为E，斜率为k的动直线l与轨迹E相交于不同的两点A，B，坐标原点为O．

(1)求轨迹E的方程；

(2)若答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.D

6.C

7.D

8.D

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.24

13.(−214.2915.解：(1)因为在(x+2)n(n∈N∗)的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等，

所以Cn3=Cn2022，

所以n=3+2022=2025，

所以展开式中所有二项式系数的和等于22025；

(2)设t=x，则g(t)=(t+2)2025，

所以(x+2)2025展开式中奇数项的系数即为16.解：(1)连接BD，交AC于点O，则O为BD，AC中点，

因为AB=BC=2，∠ABC=60°，所以AC=2，△ABC为等边三角形，

所以AC⊥BD，

又因为AA1=AC=2，∠A1AC=60°，所以△A1AC为等边三角形，

所以A1O⊥AC，A1O⊂平面AA1C1C，

又因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，

所以A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1O⊥BD，

以点O为原点，OB，OC，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，C(0,1,0)，B1(3,1,3)，D(−3,0,0)，C1(0,2,3)，

则AC=(0,2,0)，CB1=(3,0,3)，CC1=(0,1,3)，DC=(3,1,0)，

设平面B117.解：(1)设点M(x,y)，则|MF|=x+p2≥p2=1，

∴p=2，抛物线E的方程为y2=4x．

(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(1,0)，

设直线l：x=my+3，代入y2=4x，得y2−4my−12=0，

∵Δ>0，∴y1+y2=4m，y1⋅y2=−12，

∵直线FT平分∠AFB，∴FT=λ(FA|FA18.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

因为AB=3,BC=3，∠ABC=90°，

所以tan∠BAC=BCAB=3，则∠BAC=60°，

因为∠BAD=150°，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC，

又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以AD⊥平面PAC；

(2)解：依题意，直线AC，AD，AP两两垂直，

以点A为原点，AC,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0),B(32,−32,0),C(23,0,0),D(0,3,0)，

设P(0,0,h),PE=λPB,PF=μPC,PG=mPD(0≤λ,μ,m≤1)，

则AP=(0,0,h),PB=(32,−32,−h),PC=(23,0,−h),PD=(0,3,−h)，

所以PE=(32λ,−32λ,−hλ),PF=(23μ,0,−hμ),PG=(0,3m,−hm)，

则AE=AP+PE=(32λ,−32λ,(1−λ)h)，

GF=PF−PG=(23μ,−3m,(m−μ)h)，

因为AEFG为菱形，所以AE=GF，

可得(3