2025-2026学年上海市长宁区高三上学期质量调研测试（一模）数学试题 附答案

/长宁区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.集合，集合，则________.2.不等式的解集为________.3.在等差数列中，，公差，，则________.4.的展开式中项的系数为_______.5.圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为__________.6.设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为_______.7.已知，，则________.8.函数的值域为，则集合_______.9.已知均为正实数，且，则的最小值为_________.10.在复平面上，复数2和所对应的点分别，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________.11.如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面.已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.其中不能唯一确定之间距离的数据的序号有_______.12.已知集合，若对于空间中任意单位向量，都存在，使得，则实数的最大值为_________.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线异面的是（）A.直线；B.直线；C.直线；D.直线.14.甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中.“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（）.A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件.15.已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围（）A.；B.；C.；D..16.将正整数1～10按一定次序排列得到数列.若数列中的任意一项都满足：，则数列的个数为（）.A.36；B.55；C.89；D.144.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.17.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72.（1）求这组数据的第60百分位数；（2）运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率；（3）从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数.（1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调减区间；（2）设，，求函数在区间上的值域.19.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AB=BC=1，AD=2，直线PC与平面ABCD所成的角的大小为.（1）求四棱锥P-ABCD的体积;（2）点Q在线段PD上，直线PB//平面，求二面角Q-AC-D的余弦值.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点.（1）设，求点的横坐标；（2）设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积；（3）设线段的垂直平分线与抛物线交于点、，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，.（1）求函数的驻点；（2）设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围；（3）定义，设，，若存在实数，使得，求实数的最小值.长宁区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.；2.；3.7；4.15；5.；6.(2,0)；7.；8.；9.4；10.；11.=2\*GB3②=4\*GB3④；12.；二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.D14.C15.A16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.17.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72.（1）求这组数据的第60百分位数；（2）运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率；（3）从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率.【正确答案】（1）71（2）0.3（3）（1）将10个数按由小到大排列：34、36、45、66、68、70、72、74、108、126.，第6个数为70，第7个数为72，所以第60百分位为71.（2）从10个数据有3个不超过60分钟，从10个数中选一个，其不达标的概率为0.3，所以估计从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率为0.3.（3）这组数据的最大值为126，最小值为34，因为删除后极差不变，所以删除的2个数不能是126和34，从10个数据中随机删除2个数据共有种情况其中使得两组数据极差相同的有种情况，所以前后两组数据的极差相同的概率为.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数.（1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调减区间；（2）设，，求函数在区间上的值域.【正确答案】（1），（2）（1）因为函数的最小正周期为，所以，得，.由，得，所以函数的单调减区间为.（2）.当时，，.所以求函数在区间上的值域为.19.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AB=BC=1，AD=2，直线PC与平面ABCD所成的角的大小为.（1）求四棱锥P-ABCD的体积;（2）点Q在线段PD上，直线PB//平面，求二面角Q-AC-D的余弦值.【正确答案】（1）（2）（1）因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA即是直线PC与平面ABCD所成的角.因为AB⊥AD，AD//BC，所以AB⊥BC，又AB=BC=1，所以，因为，所以PA=2.梯形ABCD的面积，四棱锥P-ABCD的体积.（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又知AB⊥AD，以A为原点，AB、AD、AP分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0)，B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,2,0），P（0,0,2），，.设平面AQC的法向量为，则，因为直线PB//平面AQC，所以，得取，得，平面ABC的法向量，设二面角Q-AC-D的大小为，则.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点.（1）设，求点的横坐标；（2）设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积；（3）设线段的垂直平分线与抛物线交于点、，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程.【正确答案】（1）4（2）（3）或.（1）设，，因为，所以，，点A的横坐标为4（2）设，，因为AB中点纵坐标为，所以，直线的斜率，直线的方程为，将直线方程代入抛物线方程得，，，△OAB的面积.（3）设，，，由已知，AB⊥MN，直线AB与MN斜率均存在，设直线AB方程为，直线MN方程.代入抛物线方程得，所以，.=1\*GB3①因为以MN为直径的圆经过点A、B，所以MA⊥NA，MB⊥NB.，因为，，，，且四个点互不相同所以，得是方程两个根，所以=2\*GB3②.由=1\*GB3①=2\*GB3②得，.所以直线AB的方程为或.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，.（1）求函数的驻点；（2）设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围；（3）定义，设，，若存在实数，使得，求实数的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）（1），令，得，所以函数的驻点为（2）设，则，，.由，得，因为，所以，，得，（3），设，因为，当时，，当