2025-2026学年陕西省商洛市高三上学期12月学情调研测试数学试题 附解析

/陕西省商洛市2025-2026学年高三上学期12月学情调研测试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量不平行，，则（

）A． B． C．1 D．24．若，则等于（

）A． B． C． D．5．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（

）A．36种 B．24种 C．18种 D．12种6．已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（

）A．或 B．或C． D．或8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（

）月份编号x12345下载量y（万次）54.543.52.5A．y与x负相关 B．C．预测第6个月的下载量约为2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.510．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数有2个零点B．当时，C．不等式的解集是D．，都有11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，点C在底面圆周上．（不与A、B重合），则（

）A．该圆锥的体积为 B．的中点为，则平面PACC．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的内切球半径为三、填空题12．已知正数a，b满足，则的最小值为．13．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则．14．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知．(1)求的最小正周期和对称轴方程；(2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长．16．已知等差数列的前n项和为且．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)设，求数列的前n项和．17．如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD．

(1)证明：．(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值.18．已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上．(1)求的方程；(2)已知直线，交于，两点，①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由；②若，求的面积的最小值．19．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”．(1)已知，求函数的零点；(2)求函数与函数的“合一切线”方程；(3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值．

答案1．D【详解】集合，所以.故选：D2．D【详解】，z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．B【详解】因为向量，不平行，，所以存在实数，使得：，即，解得.故选：B.4．B【详解】因为，则，故，因此，.故选：B.5．C【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）；当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种），综上，分配方案共有（种）.故选：C.6．D【详解】设的公差，因为，是和的等比中项，所以，即，解得，则，所以，所以的最小值为.故选：D.7．D【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为8，弦心距，若此弦所在的直线方程斜率不存在，直线方程为，满足题意；若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为，所求直线的方程为，，圆心到所设直线的距离，整理得，解得：，此时所求方程为，即，综上，此弦所在直线的方程为或故选：D8．A【详解】不等式可化为，当时，不等式的解集为，不符合题意，当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，综上，实数的取值范围为.故选：A.9．ABC【详解】对于A，由，得变量与负相关，A正确；对于B，，，，则，解得，B正确；对于C，当时，，预测第6个月的下载量约为2.1万次，C正确；对于D，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此残差绝对值的最大值为0.2，D错误.故选：ABC10．BCD【详解】对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误；对B，设，则，则，故B正确；对C，当时，由，得；当时，由，得无解；故C正确；对D，，都有，故D正确；故选：BCD．11．BD【详解】因为圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，所以是等边三角形，对于A，该圆锥的体积为，故错误对于B，在中，由的中点为，的中点为，所以，又平面，平面，所以平面，故正确；对于C，该圆锥的侧面积为，故错误；对于D，作圆锥的轴截面如下图，则的内切圆半径即为该圆锥的内切球半径，设所求半径为，则根据等面积法有，解得，所以该圆锥的内切球半径为，故正确；故选：BD12．9【详解】由题且，所以，当且仅当即时等号成立.所以的最小值为9.故9.13．【详解】又中点在直线上，所以，即，故直线的方程为设，联立方程得，所以，，因为的中点为，所以，解得，满足判别式，故.故14．【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解，只需，，，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，所以，实数的取值范围为.故15．(1)，；(2).【详解】（1）由，得，所以的最小正周期为，由，得，所以图象的对称轴为.（2）在中，由，得，即，而，即，则，，由，得，而，所以16．(1)，；(2).【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，得，解得，所以数列的通项公式为，前n项和.（2）由（1）得，所以.17．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在正三棱柱中，取中点，连接，则，由D为棱的中点，得，而平面，则平面，又平面，于是，由平面，得平面，而平面，因此，而，所以.（2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，平面平面，则平面与平面的一个法向量均为，由直线与平面所成角的正弦值为，得，解得，，而，设平面的法向量为，则，取，得，所以平面与平面ABC夹角的余弦值为.18．(1)(2)①不存在，详见解析②【详解】（1）因为，故.由，代入得，则.又因为在双曲线上，代入，得，则，故双曲线方程为.（2）由题可设，将代入双曲线中，整理得，由根与系数关系得，，.①不存在符合的直线.令，由得，即，将代入上式得，，展开并整理，将根与系数关系代入，化简整理得，解得.因此直线方程为.检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，因此不存在满足条件的直线.②弦长，到直线的距离，，令，可知在单调递增，故，所以的面积最小值为.19．(1)0；(2)；(3)，，.【详解】（1）中，令，解得，故定义域为，，令，则恒成立，故函数，即在上单调递增，又，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，又，故有且只有1个零点，零点为0；（2）由（1）知，函数与函数的公共点仅有1个，即横坐标为0，则，故公共点为，，故在处的切线斜率为，切线方程为，即，，故在处的切线斜