2025-2026学年浙江省杭州市高三上学期教学质量检测（一模）数学试题 附解析

/浙江省杭州市2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，则（

）A． B．C． D．2．设集合，则（

）A． B． C． D．3．设向量.若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．54．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（

）A．12 B．15 C．18 D．215．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（

）A． B．C． D．6．设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（

）A． B． C． D．7．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（

）A． B． C． D．8．设函数，若，则（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2二、多选题9．在的展开式中，（

）A．常数项为20B．含的项的系数为80C．各项系数的和为32D．各项系数中的最大值为8010．设函数，则（

）A．B．的最小正周期是C．的值域是D．在区间上单调递增11．已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．设，则三、填空题12．已知随机变量服从正态分布.若，则=.13．函数在上的最小值为.14．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则.四、解答题15．已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.16．设的内角的对边分别为，已知.(1)若.（i）求；（ii）求；(2)求的最大值.17．已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数.(1)求；(2)证明：当时，；(3)设，对任意的，若，求证.18．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，（i）求证：；（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值.19．现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.(1)求点所有可能的坐标；(2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；(3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.

答案1．B【详解】.故选：B.2．B【详解】，因为，所以.故选:B.3．A【详解】，∴，解得.故选：A.4．B【详解】设牛、羊、猪分别为头，则根据题意有，则，则，则，则.故选：B.5．D【详解】是等差数列，则需要满足，对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确；对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确；对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确；对于D,,,所以，，由于为等差数列，则，所以，故D正确；故选：D6．A【详解】令，是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值，即.故选：A.7．B【详解】设圆的方程为：，所以，解得：，所以圆的面积为；故选：B8．D【详解】因为，所以，即，令，，所以在上为单调递增的奇函数，由于，，所以，则，故选：D．9．BD【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确；含x的项为，故x的系数是80，所以B正确；各项系数的和是令时得到，即，故C错误．的展开式的通项公式为：，设第项的系数最大，系数为，则，解得：或，此时系数为，故D正确；故选：BD．10．ABC【详解】，，∴，故A正确；函数的最小正周期，故B正确；因，则函数的值域是，故C正确；当时，，此时函数单调递减，则函数也单调递减，故D错误.故选：ABC.11．ACD【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确；对于B，，它的因数形如，其中，所以不同的因数有个，即，故B不正确.对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，则，故D正确.故选：ACD.12．0.28【详解】由题可得：;故13．2【详解】由题可得：，解得：，所以，则，令,解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故14．【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到，则，由于，则，化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且；所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示.因为点分别是和的中点，故，而，由于，所以.故15．(1)；(2).【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，所以的通项公式为.（2）设等比数列的公比是，由，得，解得，所以的通项公式为，此时，，满足，故.结合（1）知，所以数列的前项和.16．(1)（i）3；（ii）(2)【详解】（1）（i），展开化简得：所以；（ii）由，而为三角形内角，故，所以，由正弦定理，得.（2）由（1）可得，故均为锐角，所以，当且仅当时，取到最大值.17．(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1），所以；（2）设，，所以在上单调递增，当时，，所以，当时，成立.（3）因为，则，由（2）知，即，∴所以.原式18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）.【详解】（1）由题知，，又，解得.故椭圆的方程为.（2）（i）记，由题意知.设直线的方程为，代入椭圆得.则有，①设与的斜率分别为，则所以.（ii）设满足，则②将代入②，并化简得，③将（2）中①代入③得：，即.又因为直线和直线的交点为.故满足的点都在以为直径的圆上.因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线.则，所以，即.所以，解得，所以.19．(1)；(2)；(3)，时，取得最大值.【详解】（1）由题意，点可能的坐标为.（2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为.①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.故为坐标原点的概率.（3）当不是3的倍数时，显然有.以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.