2026年中考数学复习 分类训练21 特殊四边形的判定与性质（热考点基础练）

分类训练21特殊四边形的判定与性质热考考点基础练

考点I矩形的判定与性质

1.（2025德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（）

A.AB//CDB.AB=BCC.ZB=ZDD.AC=BD

（第1题）（第2题）

2.（2025内蒙古）如图,四边形ABCD是一个矩形草坪,对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的中点，连接OH,

且OH=20m,AD=30m,则该草坪的面积为)

42400〃尸*1800"，C.1200W20.60022

3.（2025辽宁）如图在矩形ABCD中点E在边AD上.BE二BC,连接CE.若AB=3,AE=4.则CE的长为（）

A.IB.5C.2V2。.两

（第3题）（第5题）

4.（2025绥化）一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个夹角为60。，则这个矩形的面积是（）

A.255.25v5C.25V5Z),50V5

5.（2025兰州）如图.四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点。点E,F分别在边AB,BC上，连接EF交对

角线BD于点P.若P为EF的中点/ADB=35。,则NDPE二)

A.95°B.100°C.II0°D.I45°

6.（2025广东）如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点连接DE.AF相交于点G,连接CG,若AB=8,

BC=12,则lan/GCF的值是()

（第7题）

7.（2025内江）如图在矩形ABCD中.AB=8,AD=6,点E,F分别是边AD,CD上的动点，连接BE,EF点G为BE的

中点点H为EF的中点,连接GH.则GH的最大值是

8.(2025青海)如图，在力灰'中,点O,D分别是边AB,BC的中点过点A作AE灰咬DO的延长线于点E,连接

AD.BE.

⑴求证：四边形AEBD是平行四边形；

(2诺AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明.

9.(2025云南)如图.在□44c中，口”090Q是AC的中点.延长BO至点D.使OD=OB..连接AD,CD.记.

力夕=〃40=/),0/。4的周长为11,而花的周长为4,，四边形ARCD的周长为b

(1)求证:四边形ABCD是矩形;

(2诺，2-/尸2,/3=28,求AC的长.

10(2025北京)如图，在口/BC中,D,E分别为AB,AC的中点.DF匚BC,,垂足为F,点G在DE的延长线上，DG

=FC.

(1)求证:四边形DFCG是矩形：

(2诺口5=45QF=3,OG=5,求BC和AC的长.

11.（2024长沙）如图、在中,对角线AC,BD相交于点O.□4809（）.

⑴求证:AC=BD;

⑵点E在BC边上，满足□C£。=口C。£若AB二6,BC=8,求CE的长及tan二1CEO的值.

考点2菱形的判定与性质

12.（2025泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是｛）

A.对角线相等B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对角相等

13.（2025云南）如图,四边形ABCD是菱形.对角线ACBD相交于点0.若AC=6.BD=5,.则菱形ABCD的面积是.

（第13题）（第14题）

14.（2025青海）如图,在菱形ABCD中,BD=6.E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,厕菱形ABCD的面积为

6（2025福建）如图.菱形ABCD的对角线相交于点0,EF过点0且与边AB,CD分别相交于点E,F.若（0A=2,0

D=l,则UAOE^口。。用］面积之和为

（第15题）（第16题）

16.（2025兰州攻口图,在菱形ABCD中.月EL18C,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若"=4y5,则AF=_.

17（2025辽宁攻口图在菱形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,

点F在线段OC上,OF=L,连接BE点G为BE的中点.连接FG,则FG的长为

（第17题）（第18题）

18.（2025内蒙古）如图.在菱形ABCD中.48=4五.对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点，连接

EF.若BF=3,则EF的长为.

19.（2025长春）如图，匚力灰力的对角线AC,BD相交于点O,AB=5:OA=4.OB=3,求证：□48C7）是菱彩

20新课标开放性试题（2025青岛如图，在34。。中.E为AB的中点产为ED延长线上一点，连接AF,BF,

过点B作8G□//,交FE的延长线于点G,连接AG.

（1）求证：口/EF匚DBEG.

（2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你

的结论.

金牛Q）：0CD；

条件②：EFUGD.

21.（2025贵州）如图，在U48CQ中，E为对角线AC上的中点，连接BE.且.8EEMC,,垂足为E.延长BC至F.

使（CF=CE,连接EF.FD,且EF交CD于点G.

⑴求证：口相。力是菱形；

（2）若BE=EF,EC=4,求L1OC屈勺面积.

22.（2025扬州）如图，在38。中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.

（1球证:四边形AFCE是菱形：

⑵若AB=3.BC=5,CE平分匚4CD,求DE的长.

考点3正方形的判定与性质

23.（2024陕西）如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H若AB=6,CE=2,则

（第23题）（第24题）

24（2025湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处折痕BE交AC于点G若

。七=2体,则CG的长是（）

A.y/2.B.2C,.v5+I0.2彷-1

25新课标开放性试题（2024龙东地区）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件：

使得菱形ABCD为正方形.

（第25题）（第26题）

26.（2025北京）如图.在正方形ABCD中，点E在边CD上,（E1BE,垂足为F.若AB=1,ZEBC=30。,则△A

BF的面积为.

27.（2025浙江）【问题背景】

如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.

【数学理解】

（l）i亥机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出△ABE^ACBE的证明过程.

（2诺裁剪过程中满足DE二DA求机翼角”NBAE的度数.

28.（2025长沙）如图,正方形ABCD中点E,F分别在AB,CD上，且BE=DF.

⑴求证：四边形AECF是平行四边形；

（2旌接EF,若.BC=12,BE=5.求EF的长.

29.（2025广安）如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=1（）,DE二BF,连接AE,AF,CE,CF.

（l）^cilE：3ADE^LCBF\

（2）若四边形AECF的周长为4g,求EF的长.

综合能力强化练

30.（2025烟台）如图.在菱形ABCD中.匚历1。=60对角线AC=6cm.点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的

速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以6c加s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另

一点随之停止运动，连接AN,DM交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为cm.

（第30题）（第31题）

31.（2025南充）如图.AC为正方形ABCD的对角线,CE平分□月C优交AB于点E,把口◎£绕点B沿逆时

针方向旋转90得到延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N.给出下列结论:①CMJ_AF;②CF二AF;

③NCMD=45。；□合=75-1.以上结论正确的是________.（填写序号）

GV

32.（2025青岛）如图，在正方形ABCD中,E,F分别为CD,AD的中点.连接BF并延长交AE于点G,交CD的延

长线于点MH为BE的中点，连接GH,CH,CG.下列结论:①CH〃AE;②NM=30。;③Sacon二本正方形ABco;④AGM

F二CDAF.其中正确的是___________（填写序号）.

（第32题）（第33题）

33.（2025兰州）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm..对角线AC.BD相交于点O动点P从点O出发沿0-A

一B方向以应c加s•的速度运动，同时点Q从点C出发沿C-D方向以1cm/s的速度运动，当点Q到达点D

时PQ司时停止运动.若运动时间为x(s),△CPQ的面积为歹心刃,则点p分别在0A,AB上运动时，y与x的函

数关系分别是0

A.均为一次函数氏一次函数，二次函数

C.均为二次函数D.二次函数，一次函数

34(2025威海肥一张矩形纸片按照如图⑴所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如

图(2)或图⑶所示的正方彩若矩形纸片的长为m,宽为n,四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则

1D

2C由题意知点O是AC的中点又・・・H是BC边的中点，OH是△ABC的中位线,・・・AB=2OH=40m(依据：

三角形的中位线定理),，S细BABCD=ABAD=40x30=1200(m2).

3D:四边形ABCDCD=AB=3,AD=BC,ZA=90,BC=BE=4而+9732+4n=5,1AD=5,

□Z)£=5-4=1,CC£=VD£2+CZ)2=Vl2+32=>/70.

4B如图，矩形ABCD中,AC,BD交于点O,AC=10,/AOB=60。,，BO=AO=5,A△AOB是等边三角形,，A

B=5,2BAC=(>0\[405vx匚S加水8/88=44匚BC=25V1

5C,/四边形ABCD是矩形,JZABC=90o,ADZ/BC,AZDBC=ZADB=35°.VP为EF的中点.NAB

C=90°,.\EP=PF=BP,AZPFB=ZPBF=35°,/.ZEPB=70°,/.ZDPE=110°.

6B・・・E,F分别是BC边的三等分点,.)BE;EF=FC=4,「.EC=8.・・.AD〃EF,・・・4ADGsaFEG(相似模型广8”字型

FGFF1

相似)，口片=而=3如图过点G作GH1BC于点H,则GH〃DC,・・.Z\EGHs^EDC(相似模型:“A”字型相似)，

EHGHEG1.“EGHI

□一=-=——=-,•FH=GH=?*CH=6Ltan!JCCr=——=-.

ECDCED•匕门Un,，♦•°，CH3

【解析】如图，连接BD,BF.VAB=8,AD=6,工BD=赤=10「・,点G为BE的中点，点H为EF的中

点,・・・BF=2GH,・••当BF有最大值时,GH有最大值.•・•点F是边CD上的点,工当点F与点D重合时,BF有最大值,

为10,/.GH的最大值为5.

8⑴证明:•・•点O为AB的中点.

/.OA=OB.

VAE/7BC,

・•・ZEAO=ZOBD,ZAEO=ZBDO.

在AAEO和^BDO中，

JEAO=[OBD,

{JAEO=BDO,

OA=OB,

AAAEO^ABDO(AAS),

AAE=BD.

VAE/7BD,

・•・西边形AEBD是平行四边形.

(2)当AB=AC时.四边形AEBD是矩形.

证明如下；

•••AB=AC，点D是BC边上的中点，

AAD1BC即NADB=900.

由⑴得四边形AEBD是平行四边形，

・•・西边形AEBD是矩形.

9.10

⑴证明:•・•O是AC的中点,••・OA=OC.

又•・・OB=OD,

・•・西边形ABCD是平行四边形(依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形).

又tZABC=90°,

・•・平行四边形ABCD是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形).

(.2Kl}=OA+OB+AB,l2=OB+OC+BC,OA=OC,

：.\2-li=BC-AB=b-a=2,13=2(AB+BC)=2(a+b)=28,

(b-a=2,4=6,

%+q=I4八6=8,

匚48=6,808,DAC=<AB^BC2^0.

10⑴证明:•••D,E分别是AB,AC的中点,・•・DG〃FC.

又DG=FC,J四边形DFCG是平行四边形.

VDF1BC,/.ZDFC=9O°,

・・・西边形DFCG是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形).

(2)VNB=45°,/DFB=90°,DF=3,

・•・BF=3,・•・BC=BF+FC=BF+DG=3+5=8.

•••DF分别是AR,AC的中点，

：DE=gBC=4,AC=2CE,

.,.EG=DG-DE=5-4=1,

四边形DFCG是矩形,・•・CG=DF=3,

[CE=Vl2+32=^,

：AC=2CE=2屈.

(I)证明:因为四边形ABCD是平行四边形，且/ABC=90。.所以四边形ABCD是矩形，

所以AC=BD.

(2底)RIAABC中，AC=/452+5C2=V^2+82=10.

所以CO=[AC=5.

因为/CEONCOE,

所以CE=CO=5.

如图，过点0作OF_LBC于点F.

因为四边形ABCD是矩形.所以0B=0C

所以CF=gBC=4,

所以EF=CE-CF=5-4=1.

在RCACOF中，0F=-/0C2-CF2=y/52-42=3.

【解析】•:E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,・・・AC=2七尸=4,「6-="。口阴》94乂6=12.

HRziOCC/ZL

15.1

思维导引

菱形ABCD------->AB〃CD,OA=OC―>△COE^AAOE->

Sncor=S「AOE-S/OE+Soop=SCOD

【解析】:在菱形ABCDAB//CD,AC1BD,OC=OA=2,/.NOCF=NOAE.又丁ZCOF=ZAOE,/.ACOF^A

AOE,口5口。。尸$匚月05，口6【/OE+S[DOP=S[JCOP+S〔a。尸S匚COD=；CO0D=\.

164

【解析】•・•四边形ABCD是菱形,，8c=48=4v5.如图，连接AC*AE_LBC,BE=CE,AAE垂直平分BC,BE

=2V3Z.AC=AB=BC,A△ABC会边三角形,；.ZABE=60°,AZFBE=ZABF=ZBAF=30°,/.AF=BF=-BE30°

=4.

【解析】：四边形ABCD是哪,・・・AC_LBD,OA=OC=J.C=4,OB=OD=；BD=6,口BC=dOB、()d=V62+42

=2VB.：AE=2,OF=1,・・・OE=4-2=2,FC=4-1=3,，EF=2+1=3,，EF=FC又：点G为BE的中点,，GF是△EBC的中位

线,，G尸

—多解

利用坐标求解.如图，以点O为原点，直线BD为x轴；建立平面直角坐标系易知E(0,2),F(0「l),B(6()).,・,点G

为BE的中点.G63,"□尸6=斤声而7=/，

18.V85

【解析】如图，连接AC交BD于点O厕AC_LBD.过点E作EGJ_OD于点G,则EG〃AC,，△DEGs^DAO,

/.EGAO=BG/OD=丝=：,□四边开?ABCD是菱形,，AD=AB=4x/5,BO=OD=[BD=^AO=VADL-OD1=^—=

・AD224

—=EG=2,DG=4,AFG=BD-BF-DG=16-3-4=9,□EF=y/FG2+EG:=>J92+22=V85.

o2

19证明:,・,J52=52=25,OJ2=42=16,O52=32=9,

COB2+OA2=AB2,

□408=90（依据：勾股定理的逆定理）,

AAC1BD.

又•・•四边形ABCD是平行四边形，

，四边形ABCD是菱形（依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

20⑴证明:BG〃AF,JZAFE=ZBGE,ZFAE=ZGBE.

•・・E是AB的中点,・・・AE=BE,

/.AAEFg△BEG(AAS).

Q塔案一:①

四边形AGBF是矩形.

证明:由(1)知4AEF^ABEG,/.AF=BG.

XVAF/7BG,

・•・西边形AGBF是平行四边形（依据：有一缈寸边平行业相等的四边形是平行四边形）,

LEF=^FG.

,:四边形ABCD是平行四边形,JAB=CD.

LEF=\CD^EG=AB

・♦・西边形AGBF是矩形（依据：对自线相等的平行四边形是矩形）.

答案二：②

四边形AGBF为菱形.

证明:由⑴知△AEF^ABEG,AEF=EG.

又TEA=EB,

，四边形AGBF为平行四边形（依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形）.

■:四边形ABCD是平行四边形.AB/7CD.

又「EF_LCD,・•・EF_LAB,

・•・西边形AGBF为菱形（依据：对角线互相垂直的平行四边形是益形）.

21⑴方法一（利用线段的垂直平分线）；

・・・E是对角线AC的中点,BE_LAC,

・・・BE是AC的垂直平分线，

・・・AB;CB.

・•・平行四边形ABCD是菱形.

方法二（利用全等三角形）：

,:E是对角线AC的中点,・•・AE=EC.

VBE1AC,.*.ZAEB=ZCEB=90c.

5Z.VBE=BE,.\AABE^ACBE（SAS）,

・・・AB=CB,

・•・平行四边形ABCD是菱形.

方法三（利用对角线互相垂直且平分判定菱形）：

如图，连接ED,

•・•西边形ABCD是平行四边形，

・•.AD〃BC,AD二BC,・・・ZDAC=ZACB.

E是对角线AC的中点,，AE=EC,

/.△AED^ACEB（SAS）,

/.ZAED-ZBEC-ZAEB-90°,ED-EB.

・・・B,E,D三点共线（注意:连接ED后不能直接得出B,E,D三点藏，需要合理证明）.

VBE1AC,

/.BD±AC,

・•・平行四边形ABCD是菱形.

2成6

BC「

(2)如图,,・•BE=EF,AZl=Z4.

VCF=CE,AZ3=Z4,.\Z1=Z4=Z3.

・・・/2是4CEF的外角,

AZ2=Z3+Z4=2Z4.

设Nl=x,则N2=2x.

VBEXAC,.'.Zl+N2=9A3・x+2x=90。,解得x=30\BPZl=Z4=Z3=30°,Z2=60Q.

在RsBEC中,BG2EO8.

V四边形ABCD是菱形，

/.Z5=Z2=60°,CD=BC=8,

/.Z2=Z5=Z6=60°.

VCF=CE,/.CG±EF,

・••在RtZkCGF中，GF=CF1sin60=2v5,

「SCD-GF=x8x2V3=8A/3.

22(1)证明:•四边形ABCD是平行四边形.

JAD〃BC,・・・ZDAC=ZBCA.

又AO=CO,ZAOE=ZCOF,

AAAOE^ACOF,

AAE=CF.

又・・・AE〃CF,

・•・西边形AFCE是平行四边形.

•・•直线EF是对角线AC的垂直平分线,

・・・AE=CE（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），

・•・西边形AFCE是菱形（依据：一组邻边相等的平行四边形是盖形）.

(2)由⑴知AE=CE,.\ZEAC=ZECA.

VCE平分NACD,；・ZECD=ZECA,

AZECD=ZEAC.

又・・・NCDE:NADC,

CDE0°AADC,

CDDE3DE

石=靛即i=T

DE=\.

23BSSSMRTWAD=CD=AB=6.GF=CG=CE=2,/.DG=4.VAD!/BE//GF,/.△ADH^AFGH,..YF==O8,1即\

=瑞，Um.

24B如图，设AC,BD交于点0「・•四边形ABCD是正方形,二.NBOC二NBCD=90。,，/1+/3=90。,/2+/4=9

00.由折叠得NBFE=ZBCD=90°,EF=EC,Z1=N2,・，・N3=N4.又N3=Z5,AZ4=Z5,/.CG=CE,ACG=EF.V

ZDFE=90°,ZBDC=45°,DE=2V2,.\EF=2,/.CG=2.

一题多解

方法一思路如下：易得CE=EF=2,.'.AB=CD=2+2V2匚4C=4+2&.□/iZHCO,□匚/BGEICEG,□会=黑=手

CGCE2

T|店口。＜7-*ZC-&x(4i2②-2方法二思路如下：如图，设AC,BD交于点O.易得CE=ZTF-2,□C£＞-2I2

位,□。＞2+凌.过点G作GH±BC于点H易证OG二GH.在RsCGH中,NGCH=45o,，CG=五GH=五

OG,n0C=0G+GC=0G+Vl0G=2+&,匚OC=V2,CG=2.

25AC=BD（答案不唯一）AC=BD

【解析】如图，过点F作.FG匚48于点G,贝!1FG匚BC,□□GF5=QE^C=30BC=AB=1,ABF=

号BcW〔GF=gBF="sAB^ABFG=^"扛（

27⑴证明:在正方形ABCD中,

BA=BC,ZABD=ZCBD=45°.

在AABE禾口△CBE中，

BA=BC,

{JABE=UCBEy

BE=BE,

所以△ABE^ACBE（SAS）.

方形ABCD+，ZBAD=9C'°,ZADB=45°.

因为DE=DA,所L头/DAE=NDEA=67.5。，

所以UBAE=90-67.5=22.5°.

28⑴证明:•・•四边形ABCD是正方形，

・・・AB〃CD且AB=CD.

又〈BE=DF,

・•・AB-BE=CD-DF,

・・・AE;CF.

又・・・AE〃CF.

,四边形AECF是平行四边形(依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).

(2)如图.过点E作EH1CD于点H.

•••西边形ABCD是正方形.BO12,

.CD=BC=12,ZB=ZBCD=90°.

又：ZEHC=90°,

・・・西边形EBCH是矩形，

AHC=EB=5,EH=BC=12.

又DF=BE=5,

・•・HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.

在对△EHF中,由勾股定理彳导EF=/EH2+FH2=V122+22='/i45=2x/37.

29⑴证明:♦・•四边形ABCD为正方形.

・•・AD=BC,ZADE=ZCBF=45°.

AD=CB,

ADECBF中，｛UADE=^CBF,

DE=BF,

/.AADE^ACBF(SAS).

⑵如图，连接AC交BD于点0.

■:四边形ABCD为正方形,BD=10,

ABD±AC,OA=OC=OB=OD='。=5,

AAF=CF,AE=CE.

由⑴知△ADE^ACBF,

・•・AE;CF,JAF=CF=AE=CE,

・•・西边形AECF是菱形,，EF=2OF.

,:四边形AECF的周长为4V34,

匚后，

4

OF=>]AF2-OA2^

AEF=6.

30呼

【解析】由题意可知2=%如图过点D作DE_LAC于点E,则心EC=）C=3碗）（依据:等腰三角形“三线

GVV32

合一”）,□月。=—^-=26（。〃）,□丝=至=q=3,口空=空.又YNDAM=ZACN=30O,/.ADAM^AACN,.\ZNAC

cos30AC63V3CArAC

=ZMDA.VNAPM=ZPAD+ZMDA=ZPAD+ZNAC=ZDAM=30°,.\ZAPD=150