成对数据的统计相关性 第二课时 课后练习-2025-2026学年湘教版高中数学选修第二册

4.1成对数据的统计相关性第二课时

班级:姓名：

1.某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理

成绩（单位：分，满分100分）的散点图如图所示：

,物理成绩/分

100■

90■••

80・•

70*

60

501--111-->-------->>

5060708090100数学成绩/分

根据以上信息，有下列结论：

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；

②从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80

分，乙同学的数学成绩为6（）分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学

的物理成绩高；

③从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80

分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学

的物理成绩高.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如图是根据x,），的观测数据（与）。《=12・..,10）得到的散点图，可以判断变

量x,y具有线性相关关系的图是（)

A.①②B.③④C.②③D.①④

3.下图是某地区2009年至2018年芯片产业投资额y（单位：亿元）的散点图，

为了预测该地区2019年的芯片产业投资额，建立了y与时间变量，的四个线性

回归模型.根据2009年至2018年的数据建立模型①；根据2010年至2017年

的数据建立模型②；根据2011年至2016年的数据建立模型③；根据2014年至

2018年的数据建立模型④.则预测值更可靠的模型是（）

，投贵

200920102C1I20)22013201420152016201720U年份

A.①B.②C.③D.④

4.以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是（)

05101520253035

（2）相关系数为u

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

0510152025303505101520253035

（3）相关系数为G（4）相关系数为？

A.rI>r2>r3>r4B.r4>r3>r2>r]C.弓D.r}>r2>r4>r3

5.［多选］在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是

D.

6.［多选］中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建

立茶水温度y随时间％变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，

得到若干组数据（不乂），（&,%），…，（七，%），绘制了如图所示的散点图.小

明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度)随时间x的变化情况，函数模型

一：y=^r+Z?(Zr<0,x>0)；函数模型二：y=+/?(/:>0,0<«<l,x>0),p*

列说法正确的是()

I，八

90-

80-•

*

70-••.

]______।_________।________।_________।_________\__

°12345

A.变量了与工具有负的相关关系

B.由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的

拟合茶水温度随时间的变化情况

C.若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到)=女优+〃的图象一定经过点

(可

D.当尤=5时，通过函数模型二计算得＞=65.1,用温度计测得实际茶水温度

为65.2,则残差为0.1

7.如图，有5组(x,y)数据，去掉点对应的数据后，剩下的4组数据

的线性相关程度最大.

y

2

1•£(10,12)

0

9•0(3,10)

8

7

6

5

4•C(4,5)

3.•8(2,4)

27(1,3)

0123456789101112%

8.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他

们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表:

学生编号12345678

数学成绩6065707580859095

物理成绩7277808488909395

给出散点图如下:

［物理成绩/分

100

90・・

・

80・

70,

60

5°5060708090100数学成绩/分

根据以上信息，判断下列结论:

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;

②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；

③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成

绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.

其中正确的个数为.

9.有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统

计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：

温度/℃-50471215

热饮杯数156150132128130116

温度/℃1923273136

热饮杯数10489937654

（1）画出散点图；

（2）你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗?

10.为推进北方地区冬季清洁取暖，国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶

植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加，下面条形图（图1）反

映了某省2020年1〜7月份燥改气、煤改电的用户数量（单位：万户）.

（1）在给定坐标系（图2）中作出煤改气、煤改电用户数量），随月，分才变化的

散点图，并用相关系数说明y与Z之间具有线性相关性；

(2)建立)，关于/的回归直线方程(系数精确到0.01),并预测11月份该省煤

改气、煤改电的用户数量.

77

参考数据：ZX=9.24,2日=39.75,«0.53,

/=1i=i

7___

2（北一'）（/一丁）=2.79,77«2.646.

/=1

11.从去年开始，全国各地积极开展“一盔一带”安全守护行动，倡导群众佩戴

安全头盔、使用安全带.为了解相关的情况，某学习小组统计了国内20个城市的

电动自行车头盔佩戴率X%)和电动自行车驾乘人员交通事故死亡率＞'(%),并

整理得到下面的散点图.

电

动

自

1

行70

■

车65

驾

A..

乘60

V•

人55.

.•

员50

交*

■）

通1

事40•A.

故

死

亡301-----------------------------

率102030405060708090100

(电动自行车头盔佩戴率（％）

*)

(1)求这20个城市的电动自行车头盔佩戴率大于50%的概率；

(2)通过散点图分析y与X的相关关系，说明佩戴安全头盔的必要性；

(3)有四名同学通过计算得到y与X的相关系数分别为0.97,0.62,-0.45,

-0.98,请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出y关于X的线性回归方

程.

20202020

参考数据：＞＞，=1°8°，£（七一T）~二6800,—歹）=1700.

i=\f=l/=1i=\

之（%-可（州-方

参考公式：相关系数.二I「〃，回归方程R&+良中斜率和

\之（七-元）5"「寸

\/=1/=1

ZU-J）（x-y）

截距的最小二乘怙计公式分别为：♦=上―----------，a=y-bx

£（七-可2

：=1

参考答案

1.C

【分析】

由散点图及统计知识可得结论.

【详解】

由散点图，知两个变量具有线性相关关系，所以①正确；

利用统计知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以②错误，③正确；

所以正确结论的个数为2.

故选：C.

2.B

【分析】

根据变量xy具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从

左下到右上，再依次判断即可.

【详解】

若变量x，y具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从左

下到右上，

所以③④图的变量羽y具有线性相关关系.

故选：B

3.D

【分析】

根据散点图特征根据2014年至2018年的数据建立模型更具有可靠性.

【详解】

根据散点图可以发现，2013年到2014年出现明显的增长，且前后几年的增长

速率差异明显，若要进行对2019年的预测，显然根据2014年至2018年的数据

建立模型更具有可靠性.

故选：D

【点睛】

此题考查根据散点图选取合适的数据建立模型进行预测，关键在于读懂图象，

根据图象特征正确判断辨析.

4.C

【分析】

根据散点图分析相关系数的大小关系，从而得出结果.

【详解】

根据散点图可知：图（1）与图（3）为正相关，相关系数大于（），

图（2）与图（4）为负相关，相关系数小于0

图（1）和图（2）的点相对比较集中，所以图（1）对应的相关系数接近1,图

（2）对应的相关系数接近-1,

所以4＞弓＞9＞4，选项C正确，选项ABD错误，

故选：C.

5.BC

【分析】

根据相关关系的定义，结合图示即可判断是否具有相关性.

【详解】

A中两个变量为函数关系，不是线性相关，所以A错误；

B中两个变量有明显的正相关，所以具有线性相关性，所以B正确；

C中两个变量有明显的负相关，所以具有线性相关性，所以C正确；

D中两个变量不具有相关性，所以D错误.

综上可知，正确是为BC,

故选：BC.

【点睛】

本题考查了由散点图判断相关关系，属于基础题.

6.ABD

【分析】

根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断选项A；根据水温的变化

情况，以及指数函数的单调性，即可判断B是否正确；根据最小二乘法可求出

的回归方程一定经过（/，可，即可判断选项C是否正确；根据“残差=真实值・

预测值”即可判断选项D是否正确.

【详解】

观察散点图，变量工与y具有负的相关关系，A正确；

由于函数模型二中的函数丁=3'+〃（女>0,0<〃<1/之0）,在X20时，函数单

调递减，可得5正确；

若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过（下，3,C错误;

由于残差=真实值■预测值，因此残差为65.2-65.1=0.1,故。正确.

故选:ABD.

7.D

【分析】

根据线性相关的意义，结合图形分析即得解.

【详解】

解：・.・A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远.

去掉。点剩下的4组数据的线性相关性最大

故答案为：D

8.1

【分析】

根据散点图的信息，对选项进行逐一判断，即可得出答案.

【详解】

由散点图知，各点都分布在一条直线附近，

故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物

理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；

若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩

可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.

综上，正确的个数为1.

故答案为：1

9.（1）图见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）根据表中数据描点即可得出散点图.

（2）观察散点图即可得出具有相关关系，且负相关.

【详角军】

⑴以X轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图如图.

八热饮杯数

60

40

20

00

80

60

40

20

-50510152025303540

(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，

因此，气温与热饮销售杯数之间是具有相关关系，

即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.

10.(1)散点图见解析，线性相关性很强；(2)9=0.92+0.101,2.02万户.

【分析】

(1)由条件可作散点图，通过图象及相关系数即得；

(2)利用条件及公式即可求回归直线方程，即得.

【详解】

(1)作出散点图如图所示:

由条形图数据和参考数据得7=4,为(5)二28,又位(》一7)二0.53,

i=lVi=\

£（上；）（》—5）=2.79,所以

i=l

火”2T

279

i=l=。-----------X0.99,

20.53x2x2.646'

V/•=!i=l

因为y与I的相关系数接近1,说明y与，的线性相关性很强，从而可以用线性

回归模型拟合），与，的关系.

£”）（二）

-Q24八279

（2）由>=芋=1.32及（1）得人=

28

右二亍_心1.32-0.10x4=0.92,

所以y关于r的回归直线方程为$=。.92+0.10，，将/=11代入回归直线方程得

9=0.92+0.10x11=2.02,

所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户.

11.（1）（2）答案