抽象函数（高三备考）教师版

第2题抽象函数综合问题(一题多解)

已知定义在R上的函数八制满足：对Vx,yeRJ(X+)，)/(%-)，)=/2(幻一尸”)，且/⑴=2,

函数f(3x+l)为偶函数，则()

A./(0)=0B./(4-x)+/(x)=0C./(x)为偶函数D.£f(k)=2

赋值法

思路分析

详细解析

令x=)，=。，所以/2(O)=/2(O)_/2(0)=O,于是八0)=0,A正确；

令4=0,所以=/2(O)-/2(y)=-f\y),于是/(3，)"(一)，)+/()，)]=0,

又〃y)不恒为0,所以f(y)+f(-y)=o,于是/⑶为奇函数,c错误;

因为函数.*34+1)为偶函数，所以函数的图象关于x=l对称，

于是其周期为4,所以/(4-幻=/(—)=-/(幻，因此B答案正确；

因为/(1)=2,/(0)=0,所以因2)=0,/(3)=-2,/(4)=0,于是/(1)+因2)+因3)+/(4)=0,

所以£/(幻=f(2025)=f⑴=2,D正确，故选ABD.

(2024・四川泸州•一模)

1.己知函数的定义域为R,若/(1+回+/(3-月=2,〃彳)一/(2-月=4-公，则()

A./(0)=4B./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=8

C./(x)+/(x+2)=8-4xD./(2024)=^K>43

【答案】BD

【分析】应用赋值法可求得/(2),/(0)和/(0)+/⑴+/(2)+/⑶，变换可得

/(2+x)+/(2-x)=2,与/(x)-/(2-x)=4-4x联立即可求得/(x)+/(x+2),应用

/(x)+/(x+2)=6-4x可得〃x)=/(x+4)+8,进而可得“2024).

【详解】因为〃1+力+〃3_力=2,所以〃1+1)+/(3_1)=2,所以〃2)二以

取4=0,由/(0)-/(2-0)=4-4x0可知，/(0)=4+/(2)=5,故A错误；

取x=0,由/(l+x)+/(3-x)=2知，/(1)+/(3)=2,

所以/(O)+/(l)+〃2)+f(3)=8,故B正确：

令“1+f,由〃l+x)+f(3r)=2知,/(2+/)+/(2-/)=2,即〃2+x)+〃2-x)=2,

又因为/(X)-/(2T)=4-4X,所以/(X)+/(K2)=6—4.E,故C错误；

由/“)+/(工+2)=6-4工得，/(x)=-/(x+2)+6—4x,

所以/(X+2)=—/(X+4)+6—4(X+2),

所以/(x)=/(x+4)+8,所以〃2024)=/(2020)-8,

X/(2O2O)=/(2OI6)-8,所以42024)=/(2020)-8=/(2016)-2x8,

所以/(2024)=/(0)-8x506=5-4048=-4043,故D正确.

故选：BD

构造函数

【利用正弦的和、差公式构造函数模型/(x)=2sin]x满足条件，一一判定选项.

sin2«-sin2/?=sin(a+尸)sin(a-〃)

二•不妨取/U)=Asin(ox

又/⑴=2J(3x+l)为偶，故可设/(x)=2si吟x,且周期7=4

对于A,/(0)=0,对于B,对称中心为(22,0)

有/(x)+f(4I)=0,故/(幻+/(4-幻=0

对于C,易知/")为奇函数

对于D,由上可知,/(1)+/(3)=0,/(2)=0,/(4)=0,

故/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2025

有£八k)=/(1)+/(2)+f(3)++/(2025)=606"⑴+f(2)+/(3)+/(4)]+/(I)

4=1

=606x0+2=2

故答案为ABD

■综合训练巧///

(24-25高一上•山东日照•期中)

2.设a>0,定义在R上的函数/(%)满足/(。)=1,且,

/(A-+y)=fMf(a-y)+f(y)f(a-x),则()

A./(0)=0B.f[2a-x)=f(x)

C./(x)为偶函数D./(2O2^)=0

【答案】ABD

【分析】对于A,令x=a,y=0,又f(a)=l,即可求得/(0)=0,即可判断；

对于B,令)，=〃，再由/(〃)=1,/(0)=0,即可得/(2a-x)=/(x),即可判断;

对于C,令丁=-工，可得/(X)+/(T)=0,从而为奇函数，即可判断；

对于D,可推得/*+4a)=/(x),即于x)的周期为4。,则/(2024〃)=/(0),即可判断.

【详解】对于A,令x=a,y=0,得〃a)=〃a)〃a)+〃0)〃0),

因为所以/(())=0,故A正确；

对于B,令)，=〃，代入可得/(x+a)=f(x)/(0)+f(a)/S-x),

因为〃。)=1，/(。)=。，所以/(%+〃)=/(。一此，

从而，(2a-x)=，(x),故B正确;

对于C,令尸T,代入得/(0)=/*)/(〃+x)+,

又因为对VxwR，八。+外=以。-x)恒成立且不恒为0，

所以八#+/(一幻=0,从而得/@)为奇函数，

又一。)不恒等于0,故C错误;

对于D,因为/(工+勿)=f(-x)=-f(x),所以/(x+4«)=-/(x+2a)=f(x),

所以4〃为f(x)的周期，

所以/(2024a)=/(0)=0,故D正确.

故选：ABD.

(24-25高一上•吉林•期中)

3.已知定义在R上的函数满足/(x+2)+/(A)=/(2024),且J\x+1)是奇函数，则()

A.f(x)的图象关于点(1,0)对称

B./(0)=/(4)

C."2)=1

D.若/(；)=；，则/(%/⑴+/(1)+/⑵+/(1)+，(3)+/图+/(%=()

【答案】ABD

【分析】对A：由/0+1)是奇函数可得/(X+1)=-/(T+1),即可得解；对B：由

/(X+2)4-/(X)=/(2024),借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合

周期性与赋值法计算即可得;对D：由/(x+2)+/(法=/(0)=0,计算即可得.

【详解】对A：由/(x+D是奇函数，则/。+1)=-/(一工+1),又/。)定义域为氏，

故的图象关于点(1,0)对称，故A正确；

对B：由/*+2)+/*)=/(2024),则/(x+4)+/(x+2)=/(2()24),

故/W=/(x+4),故/(工)周期为4,故/(。)=/(4),故B正确；

对C：/(x+2)+/(x)=/(2024)=/(0),令x=0,有/⑵+/(。)=〃0),

故"2)=0,故C错误;

对D：由/(x+2)+/(x)=/(0)=0,

则吗[+〃1)+/(|"(2)+/(|)+〃3)+噌)+/(4)

=/出+/'图｝[/⑴+"3)]+虑)+,同]+62)+/(4)]=0,故D正确.

故选：ABD.

(2024高三・全国•专题练习)

4.已知函数的定义域为R,/(/(x+)，))=/(x)+/()，)，/⑴=1,则()

A./(0)=0

B./(X)的图象关于点(0,0)对称

c./3)的图象关于点(；,0)对称

D.7(2024)=2024

【答案】ABD

【分析】令K=I,y=o,可得/(o)=o,即可判断A；令丁=-不，即可根据奇函数的定义判

断B；由/(/(X+17))=7⑶+八17),可得1=/⑴+f(1-方，可判断f(x)的图象关于点(gg)

对称，即可判断C；结合奇函数的性质，即可判断D.

【详解】对于A,令x=l,y=0,则“AD)=/⑴+/(0),即/(1)=/。)+/(0),解得/(0)=0,

故A正确：

对于B,令尸F则f(fd))=f(x)+f(T),得于f(0))=，(%)+f(r),

由A可知f(0)=0,则/(0)=/(x)+〃r),即/(x)+/(r)=0,故f(x)是奇函数,B正确；

对于C,对任意的X都有f(f(X+lT))=f(X)+〃”X),可得l=〃X)+f(l-X),

因此/")的图象关于点(；,；)对称，故c错误；

对于D,由于l=/(x)+f(17)且/(X)是奇函数,得l=Dx)-〃x-l),

即/(%-1)+1,因此/(2)=/(1)+1=2,/(3)=/(2)+1=3,/(4)=/(3)+1=4,

)(2024)=2024,故D正确.

故选：ABD.

(23-24高三上,江西九江•期末)

5.已知函数/：R-R满足对任意x,y,z都有g/3)+g/(xz)-/(x)〃z)2；,则()

A./⑼彳

B.

C.函数/(x)=g为奇函数

D.函数/(x+g)为偶函数

【答案】AD

【分析】

用赋值法判断AB：求出函数的解析式，即可判断C：根据C中函数的解析式，即可判断

D.

【详解】

「

对于A,令x=y=z=O,则有/2(0)-/(0)+^140,即/(O)-^1K0,所以/(。)=5I,

故A正确；

I14

对于B,令x=)，=z=l,则有尸(1)二八1)+^40,即/(1)-1<0,所以/(1)=5,

故B错误;

对于C,令)，=z=l,则有一/⑴即/.(HNg,

令x=0，则有〃0)-〃0)〃z)吟〃z)4,所以对任意xeR,则有〃x)=g；

经检验，对任意实数月y,z,有个)+g/az)-〃x)/(z)=；,满足题意，所以

/(x)=g,此时函数为偶函数，故C错误;

对于D,由C可知有/(x)=：111

，所以有/-V+-=5为偶函数，故D正确.

故选:AD.

(2024・四川德阳•一模)

6.定义在R上的函数小)满足〃"+小)=/(昼|/(三卜⑴=1,则下列结论正

确的有()

A./(O)=2B./(X)为奇函数

2024(，\

C.6是/(x)的一个周期D.Z/2=4052

%0\、2)

【答案】ACD

【分析】利用赋值法求解逐项判断即可.

【详解】该函数满足/(刈+/(丁)=/(亨)/(牙)巨/(1)=1,

对于A,令X=)，=l,可得/(1)+/(1)=/(1)/(0)，解得/(。)=2,故A正确;

对于B,令广T,/(x|+/(-x)=/(O)/(x),所以/(T)=/(X),所以〃力为偶函数,

故B错误；

对于C,令x=x+l,y=x-h

可得〃x+l)+/'(x-l)=/(x),令x=x+l,可得/(x+2)+/(x)=/(x+l),

将两式相加得：/(x+2)-/(x-l)=0,所以/(x+2)=-〃x-l),

所以/(x+3)=-/(x),所以〃x+6)=-/(x+3)=/(x),

因此，6是〃力的一个周期，故C正确；

对于D,令心、>'=(),〃k)+〃0)=叱)所以叱[=小)+2,

2024(b\2024

所以工尸勺=Z[/(公+2]=/(0)+〃1)+-+〃2024)+2X2025,

因为"0)=2,/(1)=1,

因为/(x+2)+/(x_l)=0,令x=0,/(2)+/(-1)=0,所以62)=寸⑴=7,

令x=l,/(3)+/(0)=0,所以〃3)=-2,

令x=2,/(4)+/(1)=0,所以/(4)=一1,

令x=3,/(5)+/(2)=0,所以/⑸=1,

由于6是/(力的一个周期，

所以

“0)+/⑴+...+/(20241=337["0)+〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+"5)]+/(0)+-1)+〃3)=2

2024(卜、2024

所以ZUJ=2[/'(修+2]=〃。)+/(1)+-+/(2。24)+2乂2()25=2+4()5()=4()52，故口

ho12/k=Q

正确；

故选：ACD

(24-25高二上•贵州遵义•阶段练习)

7.定义域为｛巾工0｝的函数/(力对任意的非零实数x,y都满足/(-)=/(力+/(注当

0cx<1时，/(x)<0.下列结论正确的是()

A.〃力=馆岗B./(x)满足了:=/(-')-/(>')

\,yj

c./(-I)=0D.外力在(3,0)上单调递增

【答案】BC

【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证/月+“'，)=/(；)，)=/("，即可判断；

C令x=y=l、x=.y=-l即可判断；D先说明奇偶性，再利用单调性定义及题设条件证明

(0,+8)的单调性，即说明(-oo,0)上单调性.

【详解】由〃司=怛此易知定义域为｛小工。｝,满足/3，)=/(x)+/(y)且0<x<l

时/(丫)<0,必要性成立，

但满足题设要求的函数不一定是/(x)=lg|X，A错；

由/土+/(y)=/(--J)=/(x),则/住=f(x)-f(y)tB对；

令X=)，=l,则+=/⑴=。，

令x=y=_|,则〃1)=〃T)+/(_1)=/(_[)=O,c对，

令)，=T，则〃T)=/(H+/(T)=/(X),定义域为上|工工0｝,即为偶函数，

令内>占>0,贝lj/(芭)一/(占)=/(司)-/(—•8)=f(8)-/(X)-/(%1)=-/(三)，

%%X

由。<受■<1,则/区)>/(9)，即/(X)在(0,+8)上递胤故(­,0)上递减，D错；

故选：BC

(24-25高一上•湖南•阶段练习)

8.已知定义域为(f0)U(0，y)的函数/(力满足：/(个)=/&)+/(#-4,且当工>1时，

/(x)>4,则()

A./(-1)=4

B.“X)的图象关于y轴对称

C.外可在(0,+功上单调递减

D.不等式/⑵+〃》+2)</(公1)+4的解集为(一5,-2)U(-2,-1)

【答案】ABD

【分析】A选项，赋值法得到"1)=4,进而赋值得到〃-1)=4；B选项，令)，=-1得，

/(-x)=/(x),B正确；C选项，令x=$,y=土，0<x,<x2,由定义法得到了(力在(0、+e)

上单调递增，C错误；D选项，变形得到〃2x+4)</a-l),在BC基础上，得到不等式,

求出解集.

【详解】A选项，/(x，)=/(x)+/(y)—4中，令x=y=l得/(1)=2/(1)—4,

解得/⑴=4,

令x=y=_|得/(1)=2/(-1)_4,解得/(T)=4,A正确；

B选项，/(孙)=/(力+/(力一4中,令y=-l得,

/(-x)=/(x)+/(-l)-4=/(x),故的图象关于丁轴对称，B正确；

C选项，/()=/(x)+f(y)_4中，令x=$,y=*，其中0<%<七，

x\

则/(々)一/(%)=/(£)一"

/\

因为当x>l时，/(x)>4,且±>1,所以/上>4,

%I%"

所以%)一/(芭)>。，/(%)>/(%),

所以“X)在(0,+8)上单调递增，C错误；

D选项，因为“外)=/(、)十〃)，)—4,所以/(2)十〃%十2)—4=/(2x+4),

故/(2)+〃x+2)<〃xT)+4n/⑵+小+2)-4〈/"-1),

即〃2x+4)<〃x—l),

由BC选项知，/(x)在(0,y)上单调递增，又/5)为偶函数，

/(|2x+4|)</(|x-l|)=>|2x+4|<|x-l|,且2.r+4/0,x-1工0,

|2x+4|<|x-l|两边平方得/+6X+5V0，

解得一5cx<-1,且工工一2、xwl,

所以不等式/(2)+/(x+2)</(x—l)+4的解集为(―5,-2)J(—2,-1),D正确.

故选：ABD

【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值,

再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解

(24-25高三上•江西•阶段练习)

9.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且〃x)+g(3T)=3,g(x)-f(x-6)=l，若f(x)

为偶函数，且/(。)=-2,则()

A./(力的图象关于点11对称

B.g(x+6)=g(x)

C.g(24)=l

*-0

D.38仕)=35

【答案】BD

【分析】由g(x)6)=1得到g(3x)/(3%)=1,再结合/(x)ig(3x)=3,确定

/(x)+/(x+3)=2,进而通过“力的对称性、周期性逐项判断即可.

【详解】/(x)+g(3—x)=3①，

g(x)-/(x-6)=l②，

由②可得：g(3-x)-/(-3-x)=l③，

@@联立可得：/(x)+/|-3-x)=2@,

所以/(x)的图象关于点卜|，1)对称，A错；

由④，又/(切为偶函数，所以/(x)+/(x+3)=2,

所以/(x+3)+/(x+6)=2,两式相减可得：/(x+6)=/(%),

又g(x)=/(x-6)+l,g(x+6)=/(x)+l,结合/(x-6)=/(x)

所以#(x+6)=g(x),B对，

g(24)=X⑹,由g(x)-.f(x-6)=l,可知：g(6)-/(O)=l,

所以g(6)=l+/(0)=-l,所以g(24)=—l,C错；

由g(x)—/(x-6)=l,可得g(x)=/(x—6)+l,结合/(x+6)=/(x),

得：g(x)=/(x)+l,

氏=0hC

所以与g(Z)=*V(Z)+19,

又/(x)+/(x+3)=2,所以。(1)+((4)=Z〃2)+/(5)=2J(3)+。⑹=2,

即/(1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=6,/(x+6)=/(x),/(0)=-2,

£二0

所以点/(4)=-2+3X6=16,

A=0

所以4g(%)=35,D正确.

故选：BD

(24-25高三上•四川自贡•期中)

10.已知定义在R上的函数/'("满足〃x+3)+/(x+l)=〃2024),且/(2x+l)是奇函数，

则()

A./(3)=/(-1)B./(2)=1

C.小)的图象关于点(⑼对称D.若/出=；，则却(-

【答案】ACD

【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到了")的周期性和对称性，由此

可知ABC的正误；根据周期性可求得(4〃+1)，4〃+£|+(4〃+2)/(4〃+3+

(4〃+3)/(4〃+|[+(4〃+4)/(4〃+'的值，由此可计算得到D正确.

【详解】对于A,/(x-3)+/(x+l)=/(2024),

.•J(x+2)+/(x)=/(2024),/(.r+4)+/(x+2)=/(2024),

.*./(x+4)=/(x),即f(x)是周期T=4的周期函数,

,-./(3)=/(3-4)=/(-1),A正确;

对于CQ/(2x+l)为奇函数，.■J(l_2x)=_/(2x+l),

即“l-x)+〃x+l)=0,\/(x)关于点(L0)中心对称，C正确；

对于B,/(x+3)+/(x+l)=/(2024),/.^x=2021,则了(2024)+/(2022)"(2024),

.,.42022)=0,又〃2022)=/(4x505+2)=〃2),.•J(2)=0,B错误;

对于D,Q/(2)=0且/⑴关于点(1,0)中心对称，.•.〃0)=0,

/,/(2024)=/(4x506)=/(0)=0,/./(x+3)+/(x+l)=0,

又〃l_x)+〃x+l)=0,.•./(x+3)=〃l_x),\/(x)图象关于x=2轴对称,

又关于点（1。中心对称，\/（x）的图象关于）'轴对称;

4〃+g=7

二.当〃eN时，f4/2+14M

/(4〃+2T卜d4〃+|3卜-卜

2(22'

/"+3一£|=/(4吗=同=3一/=

22）04

f\4n+4-^=f\4n+^=f

2

37、

「.(4〃+1)《4〃+g)+(4〃+2)/4〃+g+(4〃+3)++++(

22)

=(4〃+l)xg+(4〃+2)x+(4〃+3)x4-(47z+4)x—=0,

(199)

+•■•4-1007

~)

+2/(|1+3f

=25x/

100/

2g，。正确，

22J

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下:

（1）若/（X+〃）=/ST）,则/（X）关于直线工=等成轴对称;

(9.)若〃x+a)+/(〃-x)=c,则关于J成中心对称•

（2024高三・全国•专题练习）

11.已知函数/（力不为常数函数，且对任意2£%都有/（1+）=1）=2"力/3，则（）

A./⑴=gB./(x)>0恒成立

C.〃力为偶函数D./(A)4-/(2-X)>1

【答案】ABD

【分析】根据赋值法可求得选项A,令x=y,用换元法得到函数，可判断B；根据偶函数

的定义可判断C,结合选项B中的结论可判断D.

【详解】对于A,令y=l,^/(%)=2/(x)/(l)(xeR).

由题意，得“X)不恒为零，所以/⑴=g，故A正确；

L/、I，

对于R,令工―，得/⑵」1)=2[/()疔，再令2y—1=f,得/“)=2/(詈)>0,

于是得到W'tR