2026年高考数学二轮复习专题13 抛物线及其应用（热点）（天津）（原卷版）

专题13抛物线及其应用内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：抛物线是天津卷小题高频考点，多在单选/填空8-12题（5分），偶与圆、双曲线综合；解答题中极少单独命题，常作为圆锥曲线综合题的配角出现，侧重定义、焦点弦、准线性质，难度中档偏基础。近三年共性：分值稳定为5分，题型以小题为主；核心围绕定义、焦点、准线、焦点弦四大核心考点；常与圆、双曲线进行小综合，不考复杂联立运算，注重几何性质的灵活应用。预测2026年：题型与分值：大概率保持单选/填空5分的考法，解答题单独命题概率极低，可能作为椭圆/双曲线综合题的辅助条件出现。核心考查方向：1.

定义优先：抛物线上点到焦点与准线的距离转化，求距离、长度、最值等（必考）。2.

焦点弦性质：焦点弦的长度计算、焦点弦中点坐标、焦点弦与坐标轴夹角相关的面积问题。3.

小综合考法：与圆（相切、相交求弦长）、双曲线（焦点重合、渐近线与抛物线交点）结合，考查多曲线性质关联。4.

参数范围：抛物线上动点到定点距离的最值，或直线与抛物线相交时的参数取值范围。题型01抛物线的定义及概念辨析解｜题｜策｜略1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).例1（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．例2（2025·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左､右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（

）A．1 B．2 C．3 D．6【变式1】（2025·天津河西·一模）已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为．【变式2】（2025·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2题型02利用定义求距离和差最值解｜题｜策｜略与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．例1（2026·天津北辰·月考）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．例2（2025·天津·调研）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点，则的最小值为.【变式1】（2025·天津和平·月考）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．【变式2】（2026·天津东丽·月考）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为.题型03抛物线标准方程的求解解｜题｜策｜略1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．例1（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（

）A． B． C． D．例2（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为．【变式1】（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为．【变式2】（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为.题型04抛物线的中点弦问题解｜题｜策｜略设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：例1（2026·天津滨海新·月考）若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为.例2（2025·天津宁河·月考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为1，则等于.【变式1】（2025·天津·月考）已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程；（Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由.【变式2】（2026·天津·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．（2026·天津静海·调研）若点是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为，则题型05抛物线的弦长问题解｜题｜策｜略1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.例1（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为例2（2025·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（

）A．16 B． C．8 D．【变式2】（2025·天津红桥·三模）已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点，点为平面内一点，且满足点到直线的最大值为（

）A． B． C． D．题型06直线与抛物线综合应用解｜题｜策｜略求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．例1（2025·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．例2（2025·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津·一模）已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津·一模）直线l与双曲线的一条渐近线平行，且l过抛物线的焦点，交C于A，B两点，若，则E的离心率为（

）A．2 B． C． D．（建议用时：40分钟）1．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则.2．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（

）A． B． C．或 D．或3．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为．4．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为.（写出一个即可）5．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为.6．（2025·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为.7．（2025·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为．8．（2025·天津·模拟预测）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（

）A． B．C． D．9．（2025·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．10．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（

）．A．2 B． C． D．311．（2025·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．或4 B． C．或4 D．412．（2025·天津红桥·一模）已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为．13．（2025·天津南开·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F作直线l