第4章 一元一次方程期末复习（知识清单）挖空版 -2024苏科版七年级数学上册

第四章一元一次方程

思维导图

④合并同类项①系数化为1

一元一次方程设未耽

列方程

解决向18步■

解方程

检踪

写答案

TB-次方程£5用

常见向18类叟

方案选择向翅

动点问题

知识清单

知识点1：方程的概念

1.定义：含有的叫做方程.

一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①—；②.

2.方程的解：使方程相等的____值，叫做方程的解.

判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点：

①它们是方程中未知数的值；

②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是.

3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程.

知识点2：等式的基本性质

1.等式的概念：用符号来表示相等关系的式子叫做等式.

2.等式的性质：

(1)基本性质1：.

数学语言表示：.

(2)基本性质2：______________

数学语言表示：.

名师点拨

(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两大必须同时进行完全相同的变形；

(2)等式基本性质2中，c《0这一条件必不可少。

知识点3:一元一次方程

1.一元一次方程的定义：只含有_未知数(元)，且含有未知数的式子都是,未知数的次数都是这

样的方程叫做一元一次方程.

名师点拨

一元一次方程中的“元”是指一，"次''是指的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件:

①是一个;

②必须只含有一个;

③含有未知数的式子都是___;

④未知数的次数都是____.

2.一元一次方程的解法：

步骤数学依据具体做法注意事项

(1)不要漏乘_____________

方程两边都乘以各分母的

1.去分母等式性质2(2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

(1)不要漏乘括号里的项

2.去括号—去括号

(2)不要弄错符号

含有未知数项都移到方程

3.移项移项要______

—左边，常数项都移到右边

合并同类项

4.合并同类项把方程化成©=6的形式系数相加减，其他都不变

法则

方程两边都除以未知数的

系数a,得到方程的解

5.系数化成1不要把分子、分母写颠倒

—b

x=­

a

名师点拨

解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不

一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减.

知识点4:用一元一次方程解决实际问题

1.列方程解应用题的基木思路为：问题德＞方程鬻》解答.

由此可得解决此类题的一般步骤为：

名师指点

（1）“审''是指读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，

寻找等量关系：

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为羽但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同

一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可：

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

2.常见一元一次方程应用题类型：

（1）吁程问题

①三个基本量间的关系：

②基本类型有：

相遇（或相向）问题：A.基本量及关系：相遇路程=速度和x相遇时间

B.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.

追及问题：A.基本量及关系：追及路程二速度差x追及时间

B.寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；

第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.

③航行问题：A.基本量及关系：,

逆流速度=静水速度一水流速度，

顺水速度一逆水速度=2x水速；

B.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.

解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.

（2）工程问题

三个基本量间的关系：:“一般把设为1”;

3.利润问题

常用数量关系如下：

（1）黯100%=利润率

（2）标价=成本（或进价）x（1+利润率）

（3）实际售价=标价x打折率

（4）利润=售价一成本（或进价）=成本*利润率

注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的

十分之几或百分之几十销售.

4.方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结

论.

易错总结

一、正确理解一元一次方程的概念

9

错误：认为“'+1=3%”是一元一次方程。

X

注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式“，而整式包括单项式和多项式，这个方

程中含有二，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程；

X

二、要熟练掌握一元一次方程的一般解法

错误：对一元一次方程的5步解法掌握不熟练导致各种错误.

注意：一元一次方程是所有方程的基础，解法必须要非常熟练，而不是会就可以，每个步骤中都有易

错的地方.

例如：

第1步去分母中，学生最易犯的错误就是去分母时，不含分母的项忘记乘以各分母的最小公倍数。

第2步去括号中，学生最易犯的错误就是去括号时，括号前面是减号时，括号内的各项要改变符号。

第3步移项中，学生最易犯的错误就是移项忘记改变符号，记住：所有穿过等号的项都要改变符号。

第4步合并同类项中，学生最易犯的错误就是合并同类项的法则，系数相加减，其他都不变。

第5步系数化为1中，不能整除的，分子分母最容易写错位置。

三、一元一次方程应用

错误：一元一次方程不会找等量关系.

规则：对一元一次方程的应用题中找等量关系，首先要分清题目类型，对各种类型的基本数量关系要

非常熟练，只有熟练这些基本的数量关系，才能借助各种解题策略正确找到等量关系，解题的常用策略有：

画示意图，画线段图，列表等。

易错训练

题型01兀次方程的概念

1.下列一元一次方程中，解为x=2的是（)

2cX+1,

A.1—=0B.­=1

x

C.3x-2=-1-3D.X2=4

2.下列方程是一元一次方程的是（）

A.x+—=1B.2x-y=6C.2X2-\=\D.0.4x-3=5

x

3.下列方程中，是一元一次方程的是()

A.3x+2y=10B.6x-9=7C.2x2-x=3D.—=-5

4.下列四个方程中，一元一•次方程是)

A.x+y=lB.-Li

X

C.x2-x+2=0D.X+1=2x4-1

5.下列方程是一元一次方程的是（)

A.--x=\B.X2+2X+1=0

x

-x+1.,X

C.x+----=3D.1——=y

22.

题型02一元一次方程的解法

i.下面解方程的过程，你认为正确的是（）

A.方程8.L3X=-IO,合并同类项，得5x=IO

B.方程2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）,去括号，得2x+3-5+5x=3x-3

C.方程合'-1去分母，得2（2x+l）-3x-2=6

3

D.方程5工=一3,系数化为1,得工=一1

2.解方程：

2x+l10x+1.

(l)5x-(x+l)=19⑵x---------1

~4~6

3.解方程：

2x—4x-1

(l)3(x-l)-2(l-x)+5=O；(2)2-.---------

36

4.解下列方程：

x+15+x

(l)7x-8=5x+2⑵

26

5.以下是圆圆解方程七一-土「=1的过程.

去分母，得3(x+l)—2(x—3)=l.

去括号，得3x+l-2x+3=l.

移项、合并同类项，得x=-3.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过

程.

题型03一元一次方程的应用

1.在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从A站向8站行驶.甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米,

两车同时出发半小时后，一辆列车也从A站向〃站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车.列车从追

上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟.当列车完全超过乙车时，列

车离开A站多远？(列方程解应用题)

2.某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过30m1则每立方米按2.5元收费；若每月每户用

水超过30m1则超过部分每立方米按3.5元收费.

(1)李明家上个月用水35ml，他上个月应交水费多少元？

⑵若当月用水量为.vn?(x>30),请你用含x的式子表示当月所付水费金额；

⑶如果王鹏家12月份所交水费的平均价为每立方米2.9元，那么王鹏家12月份用水多少立方米？请你设未

知数列方程完成此间.

3.暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社

给出两种优惠方案(只选其中一种方案)：

方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元：

方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折.

当参加研学的总人数是Mx>50)时.

(1)请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元；

⑵当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数.

4.为推进我国“碳达峰、碳中和“双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目.某公司计划建设一

座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周.

(1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？

(2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程

队施工了几周？

5.《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五

寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？''译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后

量木条，木条多出1尺.问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题.

6.已知A,8两点在数轴上所表示的数分别为mb,且小方满足|a+3|+(b-9)z=0.

⑵如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点。移动到点。时,

点D所对应的数为力，当点。移动到点。时，点C所对应的数为〃，求玩具小火车的长度；

⑶在(2)的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当会=3时，请求出点C所表示的数.

7.已知数轴上ARC三点对应的数分别为-1,3,5