第二章 圆锥曲线 全章复习（高效培优讲义）-北师大版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

第二章圆锥曲线全章复习

内容概览

教学目标、教学重难点

第二章圆锥曲线

强化训练

1.通过复习理顺本章重点知识，如椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质，直线与圆锥

曲线的位置关系等.

教学目标

2.能综合应用本章知识解决综合性强的问题，如定点、定值、最值及参数取值范围等

问题.

1.重点

(1)圆锥曲线的性质；

(2)直线与圆锥曲线的位置关系.

教学重难点

2滩点

(1)与圆锥曲线有关的点的轨迹问题.

(2)圆锥曲线中的定点、定值、最值、求参数取值范围等问题.

知识清单

一、回顾重点知识

知识点01椭圆

1.椭圆的定义

如果&是平面内的两个定点，〃是一个常数，且2a>尸正2|,则平面内满足的动点P的轨迹

称为椭圆，其中两个定点P,4称为椭圆的,两个焦点之间的距离IE4I称为椭圆的恁里.

特别说明：其数学表达式：集合西+|柴尸2|=2C,其中a>(),c>0,且。，c为常数：

①若2〃>2c,则集合P为椭圆；

②若2a=2c,则集合户为线段；

③若2a<2c,则集合户为空集.

IT桶画的标准方程与几何性质

汩方=15+方=1

标准方程

(a>b>0)(a>b>0)

y

图形

少〃2X

Bi

性范围

质对称性对称轴：______；对称中心：原点

A)_A\__>

____»_______，

顶点

Bi_____,Bi______，

Bi(0,b)Bi______

长轴4A2的长为____;

轴

短轴8由2的长为_____

焦距|FIF2|=—

离心率_____

a-----

a,b,c间的关系d=_____

知识点02双曲线

1.双曲线的定义

一般地，如果“1，”2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2。<方尸2),则平面上满足||产八|一|“"2||

=的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点a,B称为双曲线的,两个焦点的距离方乃|称

为双曲线的.

特别说明：数学表达式：集合集={MIIMRLIMBII=2a},产出|=25其中a,c•为常数且>0,c>0.

①若a<c,则集合户为双曲线：

②若。=c,则集合2为两条射线；

③若a>c,则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

x2f,

?-?=,

标准方程

(a>0,/?>0)(«>0,b>0)

图形

范围迂。或比一小R—

对称性对称轴：_____;对称中心：____

性

Ai______，A,_______，

质顶点

A2_____A2_______

渐近线——

离心率e-___,e£(l,+co)

实轴：线段4A2,依也|=_____

实虚轴

虚轴：线段8由2,网因二______

a,b,c

?=______

的关系

3.等轴双曲线

（1）定义：实轴与虚轴的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2-,v2=W0）.

（2）性质：①n=b；②e=巾;

③两条渐近线y=+r互相垂直；

④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.

4.共视双曲线（拓展）

（I）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为

共舸双曲线.

（2）性质：①它们有共同的渐近线：②它们的四个焦点共圆；⑤它们的离心率的倒数的平方和等于1.

知识点03抛物线

1.抛物线的定义

一般地，设F是平面内的一个定点，/是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到/的距离

的点的轨迹称为抛物线，其中定点尸称为抛物线的,定直线/称为抛物线的.

特别说明,其数学表达式；=为点”到准线/狗距离）.

2.抛物线的标准方程和几何性质

标准y1=2px)r=—2pxx2=2pyx1=~2py

方程(P>0)(p>0)(P>0)(P>0)

开口

向右向左向上向下

方向

NT.

图形irMf/

顶点0(0,0)

对称轴X轴y轴

哈°)而9的T)

焦点//°)

离心率e-=i

准线

方程

范围.r>0,>£R烂0,>GRy>0,x£R><0,x£R

焦半径

（其中P

|PQ=\PF]=\PF]=\PF]=

（入0，>'0）

在抛物

线上）

知识点（）4直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

（1）直线与圆锥曲线的位置关系有、、；相交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个

交点，相离无交点.

（2）判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+8），+C=0代入圆锥曲线C的方

程.消去y（或x）得到一个关于变量M或），）的方程加+/»+。=0（或〃./+⑥+°=0）.

①当时0时，，可考虑一元二次方程的判别式』，有/>0时，直线/与曲线C；4=0时，直线/与

曲线C；/V0时，直线/与曲线C.

②当4=0时，即得到一个一次方程，则/与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线

/与双曲线的平行；若C为抛物线，则直线/与抛物线的平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长公式

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（xi,y1）,8（x2，yi），则|4B|==

或IA阴==,左为直线斜率且以0.

二、熟记重要（二级）结论

椭圆中的常用结论：

1.焦半径：椭圆上的点夕（天,％）与左（下）焦点片与右（上）焦点尸2之间的线段的氏度叫做椭圆的

焦半径，分别记作?=|「制百二|尸用.

=1(〃彳=白+维心=a-ex0；

00

(2)21+工=1(。>h>0),/=a+ey,r=a-ey

a-2b«~9Q2Qi

（3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近FI点与远日点）.

2.焦点三角形：椭圆上的点网飞,%）与两焦点构成的AP"鸟叫做焦点三角形，々"2=33

的面积为5,则在椭圆.+卞中

（1）当户为短轴端点时，。最大.

（2）S=1P用归国•s力戒=/5《=d,

当|）'o|=b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为be.

（3）焦点三角形的周长为2（。+。）.

2b2

3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长着力=—.

a

22

4.48为椭圆，+方的弦，人（斗）［）,3（,%%），弦中点例（玉pNo），则

⑴弦长/=Ji+父M-％|=，+（Jy-%|；

2

（2）直线AB的斜率心8二--bAx.

Co

双曲线中的常用结论：

I.双曲线的焦点到其渐近线的苑离为〃.

2.若P是双曲线右支上一点，耳心分别为双曲线的左、右焦点，则伊用.=4+。,归周，而=­

3.同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为丝■:异支的弦中最短的为实

a

轴，其长为2a.

4.若。是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，耳，鸟分别为双曲线的左、右焦点，则

-2

Syg=f，其中。为刊，

tan-

2

22

5.若P是双曲线£一£=1（。＞0,〃＞（））右支上不同于实轴端点的任意一点，白，鸟分别为双曲线的

左、右焦点，/为一尸耳行内切圆的圆心，则圆心/的横坐标为定值。.

抛物线中的常用结论：

设A3是过抛物线y2=2px(〃>0)焦点尸的弦，若4(内,)[),以与％)，则

〃2

⑴x}x2=-,yxy2=-p；

(2)\AF\=—E—,\BF\=—E—,弦长|45|=%+%+〃=——(Q为弦的倾斜角)；

11\-cosa111+cosa11sin~a

112

(3)----1--------

|W||FB|P，

(4)以弦A3为直径的圆与准线相切；

(5)以A尸或B尸为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.

圆锥曲线的切线方程

22

⑴过椭圆二+2=1上的点p5,%)的切线方程为：学+弹=1；

b屋b一

22

(2)过双曲线与一盘=1上的点P(%,y。)的切线方程为：斗一斗二1；

a"b~a"b~

⑶过抛物线y?=2px上的点P(x。,%)的切线方程为：方。=〃。+玉)).

圆锥曲线的切点弦方程

22

(1)椭圆二+与=1的切点弦方程为为+半=1;

a-b-/lr

22

(2)双曲线「一与=1的切点弦方程为叁-卒=1；

a~b~a-lr

(3)抛物线尸=2px的切点弦方程为=〃(x+x0).

说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方以其中一个照抄，另一个将变量用已知点的

相应坐标代入(从曲线上一点C%,%)作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出：

9->依，)、％)‘，-9,)―卢

2'2

题型精讲

题型01利用圆锥曲线的定义求方程

【典例1-1](24-25高二上•湖北孝感•阶段练习)一动圆与圆/+)，2+61+5=0外切，同时与圆

/+/-64-91=0内切，则动圆圆心的轨迹方程是()

22

.x~y~.xyi「厂y~1n厂y~1

A.—+—=IBD.....-=lC.—+—=lD.....-=l

36273627167167

【典例1-2](24-25高三上・辽宁・期末)已知A(-3,0),3(3,0),。为坐标原点，点N是圆O:/+产=4上

任意一点，点M是圆。外一点，老乙\MN=/BMN,MN1BN,则点〃的轨迹方程为()

2222

A.-^--y=1(x^0)B.亍4二1(尸0)

2222

C.—-21=j(v^o)D.^--—=1(x^0)

43。"431»

方法技巧

利用圆锥曲线的定义求轨迹方程

当点的轨迹符合圆锥曲线的定义时，可以利用定义法求其轨迹方程.其中在用定义法求双曲线方程时，

还应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线.

【变式匚T】34-25高二上•江西赣州•期中联考）已知点？（（）/），动点/在直线/：），=一上，过点/亘至

直于x轴的直线与线段M户的垂直平分线交于点尸，记点尸的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为（）

A.x2=-4yB.x2=4yC.x2=-2yD.x2=2y

【变式1-2］在平面直角坐标系X。），中，点尸的坐标为（2,0）,以线段尸P为直径的圆与圆O:f+y2=3相

切，则动点P的轨迹方程为（）

题型02利用圆锥曲线定义求距离的最值

【典例2-1】已知AI两点的坐标分别是（2,0）,（4,4）,动点M到A的距离比到直线户-3的距离小1,则

|MA|+|M8|的最小值为（）

A.4B.5C.26D.6

22

【典例2-2］（24-25高二上•河南郑州•期中）设尸是双曲线工—二=1上一点，M,N分别是两圆：

916

（工-5）2+），2=：和（力5）2+〉，2=：上的点，则|PM|—|PN|的最大值为.

方法技巧

利用圆锥曲线定义破解距离和或差的最值问题

1.在遇到椭圆、双曲线中线段和或的最值问题时，常利用其定义及三角形三边关系转化求解，即利用定

义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解.

2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现

由点到点的距离与点到直线的距离的转化.

【变式2-1］（24-25高二下•安徽•阶段练习）已知椭圆。:二+多=l（a>b>0）的右焦点为尸（2,0）,离心率

cr

为,.若点P是C上的任意一点，则IP4I+I勿'I的最大值为（）

A.3+逐B.6C.4+6D.6+后

【变式2-2］（25-26高二上•湖南长沙•阶段作业）已知尸是抛物线卜=二的焦点，P是抛物线上的一个动

4

点，A（l,3）,则...周长的最小值为.

题型03圆锥曲线的焦点三角形问题

【典例3・1】（24-25高二下•云南曲靖•阶段练习）已知椭圆。：5+£=1（〃>/>>0）的左、右焦点分别为£，尸2,

离心率e=g,点产为该椭圆上一点，且满足/［。鸟=m，若，干P5的内切圆的面积为3兀，则，耳尸鸟的外接

圆的面积为（）

A.2兀B.4nC.6nD.12兀

【典例3・2】（多选）（25・26高三上•四川•升学考试）记双曲线E：「-汇=1（。>0）的左、右焦点分别为

cr3

K，工.若6（2,0）,以巴为圆心、4为半径的圆与E的右支交于2，Q两点，点”为瓦上一点，满足

±,则（）

A.E的渐近线方程为），=±2XB.△”片鸟的面积为3

C.西-陷<4D.cosZP/-C=—

方法技巧

椭圆、双曲线中焦点三角形问题的求解策略

对于焦点三角形△大户鸟的处理，通常是从以下三个角度入手：

（1）椭圆、双曲线的定义；（2）正、余弦定理；（3）整体思想..

【变式3-1］（25-26高三上•河北・开学考试）已知双曲线C:/-?=l（q>0）的左、右焦点分别为6,

K，抛物线V=8>/L:的焦点与双曲线C的右焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则（）

A.双曲线。的渐近线方程为尸±缶B.\PF2\=542

C.耳町的面积为8#D.cosZFlPF2

【变式3-2］（多选）已知椭圆°：二+上=1的左、右焦点分别为《，尸?，点P为椭圆。上一点，则

42

（）

A.若/旧E=60。，贝IJZ^Z2的面积为26

B.存在点P,使得/"夕6=90。

11f

C.若直线。月交椭圆于另一点Q,则西+函=2

D.使得薛尸/人为等腰三角形的点尸共有4个

题型04求圆锥曲线的标准方程

［典例4dl已知直线3X-y+6=°经过椭圆Ap（a>b>。）的左焦点B,且与椭圆在第二象限的交点为M,

与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点，且|MN|=|MFJ则椭圆的方程为（）

A.0卜B.9产1

D.=1

106

【典例4-2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点吊入分别为卜石，。）和（石，。），点。在双曲线上，且

PF±PF2f尸耳工的面积为1,则双曲线的方程为（）

R产I

A.

32

方法技巧

求标准方程的i般方法：

（I）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法.

【变式4-1】已知抛物线C：产=2外（〃>。）的焦点为凡A（4,〃?）（〃»0）为C上一点，且|AF|=5.

⑴求P；

2j

⑵若点〃（一21）在椭圆7：^+^r=\（a>b>0）i.,且直线AB与椭圆/相切，求椭圆了的标准方程.

【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程:

⑴与椭圆工+工=1有公共焦点,且过点（-2,加卜

2516

（2）焦点在），轴上，焦距为8,渐近线斜率为土g；

（3）经过点（4,3）,且一条渐近线的方程为），=gx.

题型05圆锥曲线的几何性质

考向1椭圆、双曲线的离心率问题

2o

【典例5-1］（25-26高三上•河北衡水・开学考试）过双曲线C:£-营=1（。〉0力〉0）的顶点A作双曲线。

的一条渐近线的垂线，垂线与）'轴交于点3,若线段A/3的长度等于双曲线C的焦距的一半，则双曲线C

的离心率为（）

3r-

A.5B.72C.73D.2

考向2双曲线的渐近线问题

【典例5-2】（辽宁省大连市部分高中学校2025-2026学年高三上学期适应性演练一数学试题）已知双曲线

。的离心率为2,焦点在x轴上.圆A的方程为（x-a『+（y+2f=4,圆A与双曲线C的一条渐近线/：

产h（Q0）相切，则。的值为（）

A.-逑B.述或一2石C.土地D.

3333

考向3抛物线的焦点弦问题

【典例5-3］（25-26高三上•重庆•开学考试）设。为坐标原点，直线），=有（1-1）过抛物线

C:y2=2px（p>0）的焦点，且与。交于M,N两点，/为C的准线，则（）

Q

A.〃=2B.\MN\=-

C.以A/N为直径的圆与/相切D.oOWN的面积为逆

3

考向4圆锥曲线上点的范围问题

【典例5-4］（24-25高二上•甘肃酒泉•期末）设椭圆C：工+上=1的右焦点为尸，过原点。的动直线/与椭

43

圆。交于A、“两点，那么%的周长的取值范围为（）

方法技巧

圆锥曲线中的几何性质问题求解策略

1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：

（I）椭圆中有两条对称轴，“六点”（两个焦点、四个顶点），要注意它们之间的位置关系（如焦点在长轴上等）以

及相G间的距离（如焦点到相应顶点的距离为a-c）,过焦点垂直于长轴的通径长等.

r2y2

⑵设椭恻一r+一二l（a>b>0）上任意i点P（x,y）,则当x=0时，|OP|有最小值儿这时，P在短轴端点

a~b~

处；当x=a时，|OP|有最大值小这时P在长轴端点处.

（3）椭圆上任意一点P（.r,挑#0）与两焦点人（一c,（））,6（。,0）构成的4夕人尸2称为焦点三角形，其周长为2（。

+c）.

（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中“是斜边，a2=b2+c2.

2.己知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的。、b,利用/=/+〃求出°,

再按定义找出其焦点，焦距，实轴长、虚轴长，离心率，渐近线方程.

3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、宜观的特点来解题，特别是涉及焦

点、顶点、准线的问题更是如此.

4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和。的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建

立关于参数。、。、力的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.较多时候利用

【变式5-1］如图，设6分别是椭圆。：5+£=1（。＞8＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使

得线段尸匕的中垂线恰好过焦点E，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

【变式5-2】己如双曲线「的方程为V—（=1,丹分别为其左、右焦点，P（为,%）为右支上一点

6的平分线交x轴于点M（见0）,贝1」飞+2加的最小值为（）

C.2后

【变式5-3］（25-26高三上•陕西咸阳•阶段练习）已知网1。为抛物线£）?=2PMP＞0）的焦点，A4为

E上的两个动点，则下列命题正确的是（）

A.若点。的坐标为（3,0）,则的最小值为3

B.若|4叫=6,则线段AB的中点到＞轴的最小距离为2

C.若线段A8的中点的横坐标为3,则|AB|的最大值为8

D.若直线AB过点/，则O4OB（0为坐标原点）的斜率之积为定值

题型06直线与圆锥曲线的位置关系

22

【典例6-1】（24-25高二上•江西・期末）直线2+==1与椭圆二十与=1（。＞方＞0）的位置关系为（）

abcr

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【典例6-2】点尸伍），），定义*P）=4—［,如图为双曲线［一*=1及渐近线，则关于点A、B、

C,下列结论正确的是()

A.F（A）＞F（fi）＞F（C）B.F（B）＞F（C）＞F（A）

C.F（/1）＞F（C）＞F（B）D.F（C）＞F（B）＞F（A）

方法技巧

直线与圆锥曲线位置关系的判断方法

I.直线尸心十〃?与椭圆的位置关系，判断方法：

y=kx-\-m,

联立"4+4=।消)'得一元二次方程.

当/＞()时，方程有两解，直线与椭圆相交；

当力=0时，方程有一解，直线与椭圆相切；

当』V0时，方程无解，宜线与椭圆相离.

2.把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为苏+以+。=0的形式，在疔0的恃况下考察方

程的判别式.

(1)/＞0时，直线与双曲线有两个大同的公共点.

(2)4=0时，直线与双曲线只有一个公共点.

(3%＜0时，宜线与双曲线没有公共点.

当。=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.

2

3、设直线/：,=履+加，抛物线：＞'=2PA(/7＞0),将直线方程与勉物线方程联立整理成关于x的方程好『十

2(km-p)x+m2=0.

⑴若存0,当/＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当』=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当1＜0时，直线与抛物线相离，没有公共点.

(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

【变式6-1](多选)(24-25高三上•甘肃武威•期末)已知双曲线C的两个焦点为(6,0),(-6,0),点

（-技在双曲线C上，则（）

A.双曲线C的离心率为更

2

B.双曲线C的离心率为6

C.直线），=；*-3）与双曲线C只有一个公共点

D.直线），=r-3与双曲线C的左支和右支各有一个交点

【变式6-2]（多选）（24-25高二上•山西太原・期末）已知直线/：工=，号+（26+1）,抛物线C：x2=4y,

则下列结论正确的是（）

A.直线/过定点（一2,1）

B.当帆=-1时，直线/与抛物线C相切

C.当-1＜〃?〈；时・，直线/与抛物线C有两个公共点

D.当直线/与抛物线。无公共点时，阳＜-1或〃?＞：

题型07圆锥曲线中的弦长问题

【典例7】若椭圆（+：=1的弦A8的中点P（2,l）则弦长|蜴=（）

A.4B.5&C.2D.26

方法技巧

求圆锥曲线中弦长的方法

1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求.

2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为幺被圆锥曲线截得弦A8两端点坐标分别为（汨，＞'1）,（X2,力），则

弦长公式为：|A冏=41+1・》（川+X2]—4X1X2=71+/61+殍）2-4月”.

3.焦点弦长,利用焦半径公式求解，如：设过抛物线焦点的弦的端点为4（即，yi）,B（X2,”），则忸用=加+也+

P-

【变式7-1】已知A是双曲线£-£=1的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以A为圆心且过原点的圆截

16

得的弦长为（）

n12

B.—cY

5-y

【变式72】倾斜角为60。的直线/过抛物线C:./=4x的焦点，且与C交于A,“两点.

(I)求抛物线的准线方程及焦点坐标;

(2)求弦长|AB|.

题型08圆锥曲线的中点弦问题

【典例8】(1)过点M(2,l)的直线与椭圆｝=1相交于A8两点，若M为线段48的中点，求直线

164

的方程.

(2)已知双曲线5=1,经过点能否作一条直线/,使/与双曲线交于AB,且点M是线段

AB的中点？若存在这样的直线/,求出它的方程，若不存在，说明理由.

方法技巧

解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法

(1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与

系数的关系以及中点坐标公式解决：

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点

坐标和斜率的关系.

（3）椭圆、双曲线中点弦的斜率公式:

①己知A。］,a）,8（X2,闻是椭畛+卓=1（420）上的两个不同的点，M（X0,和）是线段4B的中点，则以8

-2

ayo

丫2v2按双

②设M（x。,%）为双曲线上一二=1弦4B（48不平行）'轴）的中点，则有心8=西.

a-/r

【变式8-1］（多选）（24・25高三下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）己如O为坐标原点，经过点例（0,〃?）的直

线4与抛物线犬=2），交于《不凹）、*士,％）两点，直线小广辰+2是线段A5的垂直平分线，且4与4

的交点为N（X.，NO）,则下列说法正确的是（）

A.若机=：,则XH=1B.若==则S八8°=—

2Z2

C.No=1D.in>-1

【变式8-2】已知曲线。是平面内到（L0）和（-1.0）的距离方和为2友的点的轨济.

（1）求曲线。的方程：

（2）斜率为1的直线与曲线。相交于点A,B,弦长43=亚，求直线的方程；

3

（3）求斜率为1的直线交曲线。的弦的中点，的轨迹方程.

题型09圆锥曲线的切线、切点弦问题

【典例9】（2025•湖南长沙质检）过抛物线），=/外一点夕（2.0）作抛物线的两条切线切点分别为

A8,另一直线/>=2与抛物线交于点N,与直线A8交于点。，求证：

（1）点N处的切线与直线48平行；

⑵AQ=QB.

方法技巧

1.求圆锥曲线的切线方程

方法有:⑴判别式法.即设出切线的斜率匕联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通

过求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法.

（2）切线公式法.常见的切线公式有：①过圆（1-〃）2+（），-份2=产上的点（马,先）的切线方程为

（工-。）（/一。）+（V—份（%一份=/②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备）（3）几何性质法.

对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径（即d=r）”来速求其切线方程.

2.双切线（切点弦）问题求解策略

过圆锥曲线外一点P,作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类

问题一般的处理步骤是：

（1）设切线的斜率为〃，写出切线的方程；

（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；

（3）由方程满足判别式△=（）,建立关于k的一元二次方程，两切线的斜率勺#2为方程的两根；

（4）结合韦达定理，计算々+〃2，勺22等，并将之用于其他量的计算。

【变式9］（24-25高二下•江西南昌・期末）已知曲线G：/+y=3和曲线G：5+V=L

（1）若曲线G上两个不同点A、B的横坐标分别为M，/，求证：直线A4的方程：y=-（玉+占*+斗G+3；

（2）若直线/：¥=的+小与曲线相切,求证：病=2r+1；

⑶若曲线G上任意点P向曲线c,引两条切线交C1于另两点为。、R,求证：直线。R与曲线c相切.

题型10圆锥曲线中的面积问题

【典例10-1】设0为坐标原点，直线/：x=）+2与抛物线C:y2=8x交于M,N两点，与C的准线交于点

H.若HM=2MN，点F为C的笑点,则与的面积之比为（）

A.?tC-ID一

【典例10-2］如图,已知椭圆C：土+上=1的短轴端点分别为办，电,点M是椭圆。上的动点，且不

189

与历,&重合，点N满足NB2LMB2.

（1）求动点N的轨迹方程；

（2）求四边形MBzN/力面积的最大值.

方法技巧

圆锥曲线中的面积问题求解策略

1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解：

(1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高.

(2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|XrX2|或伙少2|

2.对于四边形的面枳，则常分割成三角形的面积求解.

3.多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”

的特点，从而可将面积的关系转亿为线段的关系，使得计算得以简化

4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过

程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.

【变式10-1】已知双曲线C：4-^=1(«>0,Z?>0)的左、右焦点分别为K，鸟，点尸在C上，

a-b’

•.PRg的内心为/.若△川鸟，的面积满足匕旦旦=；,则。的渐近线方程为()

'胆2

A.y=±-xB.y=+^-xC.y=D.y=±2x

【变式10-2】已知顶点在坐标原点。，焦点在坐标轴上的抛物线过点?(2,4).

(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；

⑵过点。作直线/交抛物线于另一个交点Q(。在第四象限)，设直线OP1Q的斜率分别为附匕，若

4+2自=0,求△OPQ的面积.

题型11圆锥曲线中的最值或范围问题

【典例11-1］若椭圆C:工+工=1的左、右焦点分别为匕、尸2,点尸为椭圆C上一动点，则下列说法中

43

不正确的是()

A.当点P不在x轴上时，户6人的周长是6

B.当点户不在x轴上时，面积的最大值为G

C.存在点P,使尸匕，尸人

D.|町|的取值范围是［1,3］

方法技巧

求圆锥曲线中最值、范围问题的方法

(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.

⑵数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.

(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围.

【变式11-1】已知尸是抛物线。：尸=2/犹(〃>0)的焦点，A,6是抛物线C上不同的两点，且满足

4阳=三，设4,4到抛物线C的准线的距离分别为4，d2t则卡冢的最大值为()

A.型B.V3C.—D.\

333

【变式11-2】已知椭圆E:乂+与=1(。>〃>0)的左、右焦点分别为离心率e=*,P为椭圆上一动

cr2

点，，/耳鸟面积的最大值为2.

(1)求椭圆七的方程；

⑵若C。分别是椭圆正长轴的左、右端点，动点M满足：MDtCD,连接CM交椭圆于点N,。为坐标原

点，证明：OMON为定值.

(3)若点。为圆f+)，2=8上的动点，点网0,4忘)，求|。如+|。"-|尸局的最小值.

题型12圆锥曲线中的向量问题

【典例12］已知抛物线。:)尸=2〃%(〃>0)的焦点与椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线。的方程：

(2)如图，若过点(4,0)的直线/与抛物线C交于不同的两点A,B,。为坐标原点，证明：OA1O8.

方法技巧

圆锥曲线中的向量问题求解策略

(I)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向最用坐标表示，转化为代数问题.

(2)利用性质：结合圆锥曲线定义(如椭圆定义)、焦点弦等性质，简化向量关系。

(3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。

(4)参数法：设参数(如椭圆参数方程),将向量关系转化为三角函数式求解。

(5)几何意义：借助向量几何意义(如垂直、中点)，结合圆锥曲线几何性质解题。

【变式12-1］已知椭圆C:4+E=l(a＞力＞0)的离心率为且，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面枳

a'h~2

为4

⑴求椭圆。的标准方程：

(2)记椭圆。的左顶点为A,右顶点为〃，过点〃作不垂直于坐标轴的直线/交椭圆于另一点G.过点A作/

2・

的垂线，垂足为〃，且BG=gBH，求直线/的方程.

【变式12-2］设焦点在x轴上