二项式定理（考点清单9个考点清单+9类题型解读）解析版

专题05二项式定理(9个考点清单+9类题型解读)

知识点01：,二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：3+"=C：M+CZ"»+...+C：/"+—+C»”(〃wN)

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(〃+〃)"的二项展开式.

式中的。；/一7/做二项展开式的通项，用I”表示，即通项为展开式的第r+1项：Tf=C；a”-E,

其中的系数C；(尸。，1，2,…，〃)叫做二项式系数，

知识点02：二项式(〃+》)”的展开式的特点

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第广十1项的二项式系数为C；,最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的索指数〃.字母。降暴排列，次数由〃到0；字母人升累排列，次

数从0到〃，每一项中，U,8次数和均为〃；

④项的系数：二项式系数依次是C〉c，c；,…，C；，…，项的系数是〃与〃的系数(包括二项式系

数).

知识点03：两个常用的二项展开式：

®(a-b)n=cy-cy-'b++(-\Y-C^an-rbr++(-"中"(八wN")

@(l+x)n=l+C>+C>2++C：£++x”

知识点04：二项展开式的通项公式

二项展开式的通项:二=C：a"(r=0,l,2,3,…川

公式特点：①它表示二项展开式的第〃+1项,该项的二项式系数是C：：

②字母〃的次数和组合数的上标相同：

③”与〃的次数之和为II.

注意：①二项式(。+力〃的二项展开式的第什1项和S+〃)"的二项展开式的第什1项是有

区别的，应用二项式定理时，其中的。和方是不能随便交换位置的.

②通项是针对在(。+份"这个标准形式下而言的，如(。-份"的二项展开式的通项是乙1=(-l)'C：，广7y(M

需把-b看成h代入二项式定理）.

知识点05：二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C=c；；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C2=C"+C'：.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c:

③二项式系数和令〃=〃=1,则二项式系数的和为c：+c：+c；+•+c：+…+c；=2"，变形式

c：+c；+…+C；+•+-1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令。=i,b=-\,

贝ijC-C+武-C：+…+（-1）"C；=（1-1）"=o，

从而得到：C：+c；+c：♦••+<?；’+•••=c：+c：+…+。：川+•••=；•2"=2"T.

⑤最大佰：

如果二项式的基指数〃是偶数，则中间一项的二项式系数d最大；

-2+1

n-ln+l

如果二项式的哥指数〃是奇数，则中间两项%,%讨的二项式系数汀，c?■相等且最大.

知识点06：系数的最大项

求S+法）”展开式中最人的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A，4,…，A*，设第r+1

项系数最大，应有,从而解出一来.

A+i—A-+2

知识点07：赋值法

常用赋值举例：

n{n22,nr,

（1）设（“+〃）"=C>"+C\a-b+C-a~b++Cna-b++C：b",

二项式定理是一个恒等式，即对〃，人的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取“，人的值.

①令〃=/?=],可得：2"=C：+C：++C；

②令0=1,6=1,可得:o=C-c：+c；-c：+（-i）"c;,即：

C：+C；+•,+&=《+£：++CT（假设〃为偶数），再结合①可得：

c：+Q+..+CY+G".—

n2

（2）若f（x）=+an_2x~+…+4X+%,则

①常数项：令x=0,得/=/（（））.

②各项系数和：令x=l,得/'（1）=4）+4+4++4一|+%.

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

【常用结论】

奇数项的系数和与偶数项的系数和

①5当〃为偶数时，奇数项的系数和为/+4+/+J（D+.T）；

偶数项的系数和为4+%+%+="）/—>.

（可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

②当〃为奇数时，奇数项的系数和为％+&+&+=/o）-/（-D;

偶数项的系数和为q+/+&+=./«）?（，）.

（可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

2n

若f（x）=a0+atx'+a2x++q_卢”“+anx,同理可得.

畲题型一：二项式定理展开及其逆运用...........................................................4

多题型二：二项展开式第火项...................................................................5

畲题型三：二项式系数（和）...................................................................7

畲题型四：指定项系数（有理项）...............................................................9

畲题型五：各项系数和........................................................................11

畲题型六：系数最大（小项）..................................................................13

畲题型七：三项展开式系数问题................................................................16

畲题型八：两个二项式相乘展开系数问题........................................................18

畲题型九：杨辉三角..........................................................................20

【题型一：二项式定理展开及其逆应用】

一、解答题

1.（23-24高二下•新疆省直辖县级单位•阶段练习）计算二项式：

（1）化简：（工-1）5+5（X-1）4+10（工-1）'+10（工-1）2+5（工一1）；

（2）写出（X+2），的展开式并化简.

【答案】⑴f7

（2）|>+2）4=x4+8/+24x2+32x4-16

【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果；

（2）根据二项展开式的通项公式分析求解.

【详解】（1）因为（x—l）'+5（x—l）'+10（x—iy+10（x—l『+5（x—l）

432

=q（x-l）^C：（x-l）+Cj（x-l）+CKx-l）+C；（x-l）+C?-l

=|-I+（A--I）15-I=A-5-I,

所以（."if+5（工-1）4+10（3-1）3+10（工一1）2+5（*-1）=/一1・

（2）因为（x+2『的展开式的通项为却=4-7=0,1,234,

所以（x+2?=x4+8x3+24.r2+32^+16.

2.（23-24高二上•全国•课后作业）当〃为偶数时，求证：C：+C：+C：+L+C；=C；+C：+C：+L+<27=2。

【答案】证明见解析

【分析】利用二项式（。+〃）”展开式，分别令。=〃=1和a=l,h=-\f得到方程组，解得即可.

【详解】证明：由二项式定理得（a+〃）"=Cy+C""+L+C；优-方+L+C/,（（）"<〃且rwN）

分别令4=人=1和4=1,b=-l,相应得到

C：+C；+c：+C：+L+C；-'+C：=2”①，

C”：+C：-C+L—-0②.

①+②得2©+C；+C：+.,+C：）=2”,

即C+C：+C：+L+£；=2口

①一②得C+C：+C：+L+C：T=2J

所以，当“为偶数时有C?+U+C：+L+a=C；+C：+C：+L+C：-'=2n-'.

3x/x+-^=1的展开式.

3.（23-24高二下.江苏.课前预习）⑴求

（2）化简:C（X+I）"—C；（X+I）I+C（X+I『一,,+（—1）,《（工+1厂++（-i）y.

I?I

【答案】（1）8I.r*+108x+544---1—z-；（2）工".

xx

【分析】利用二项式定理化简求值.

【详解】（1）法一：

G邛㈤+C")G)

12|

+《•=8Lv~+108x+54H---1——.

XX

+C；.(3X)'+C，(3X)2+C：.3X+1

=-!T(8IX4+I08X3+54X2+12X+I)=8IX2+I08.V+54+—4-4-

k'7xx~

⑵ca+i)”—ca+旷+c(x+L-+s)ya+广+…+(—i)y

C—C(x+广•(-1)+C(x+产(fj+C：(X+W++C：.(T)”

=[(X+I)+(T)T="

【题型二：二项展开式第々项】

一、单选题

1.（24-25高二下•全国•课后作业）（1-3幻6的展开式中含./的项的二项式系数为（）

A.15B.20C.540D.1215

【答案】A

【分析】求出（1-3.峭的展开式的通项，求出（］_3键的展开式中含/的二项式系数.

（详解］（1-3x）6的展开式的通项为九=C：•尸•（-3."=（-3，CK,

令2=4,则（1-3x）6的展开式中含的二项式系数为或=15.

故选：A.

2.（23-24高二下.陕西渭南•阶段练习）二项式的展开式中常数项为（)

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】C

【分析】利用二项展开式的通项公式求特定的项.

【详解】二项式展开式的通项为：

(.、6-AJt3*

，x=C壮)(-五)=(-l)yxi/=(_[)y”

令$6=(),解得，2=4,

所以二项式（--五）的展开式中常数项为第5项7；=（-1）七：=15.

故选：C.

fiog'S一"2）展开式的常数项为（）

3.（2024•浙江•二模）

氏*DY

【答案】A

【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0,得出常数项的项数，即可得常数项.

【详解】展开式的通项公式为呜3广］-r,23r

=q.(iogs3f.(-7i^2px-

令12-3厂=0,解得r=4,

所以常数项为7；=C：•（10以3广（-/嗝2『=亡•（；晦3xglog,2Y15

=15x—=—

)3612

故选：A.

4.（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）已知。＞0,若的展开式中，常数项等于240,则。=（）

A.3B.2C.6D.4

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解.

【详解】由二项展开式的通项公式可得=晨，厂目="c产"

令12-3r=0,解得/*=4,

即常数项为4=/或=240,解得〃=2.

故选：B

5.：22-23高二下•浙江杭州•期中）若二项式（：+五)(z?e

N）展开式中含有常数项，则〃的最小值为（)

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】设二项式通项，待定系数计算即可.

【详解】设3+4）”（"武）的通项为却=1（2/厂（1）=心=£「2~媪,若有常数项，则只需

〃=耳「，MneN*＞显然〃的最小值为3,此时r=2.

故选：A

【题型三：二项式系数（和）】

一、单选题

1.（2024.山东•一模）在（3/一L的二项展开式中，所有二项式系数之和为64,则展开式的项数是（）

Ix,

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】先由二项式系数公式求出n,再由二项式展开式定理即可得解.

【详解】由题得2"=64n〃=6,

所以二项式3x2的展开式的项数是6+1=7.

X）

故选：A.

2.（24-25高二下•全国•课后作业）（3x+l）”的展开式的第3项的二项式系数为15,则〃=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】由第3项的二项式系数为15,可列方程C；=15,解方程可得〃的值.

【详解】（3x+l）”的展开式的第3项的二项式系数为：C；,

由C：=15=①»=15,解得〃=6或"=-5（舍去）.

故选：C

3.（24・25高三上.云南昆明•阶段练习）若（L+Jf的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数

最大的项为（

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】C

【分析】由（T+xJ的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得G=C：,求出八=8,即可求

得展开式中系数最大的项.

【详解】由f4+x丫的展开式中第2项与第8项的系数相等，

由x的展开式的二项式系数和项的系数相等,

x

所以C；=C：,所以〃=8,

则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，

故选：C.

4.（24-25高二下•全国•课后作业）已知（2阪--的月

对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（）

【答案】C

【分析】先写出通项，再结合题意解出〃，最后求出结果即可；

nk

【详解】j2五-：丫的展开式的通项为TM=2--f-lVCM喂,

依题意可知2"TXL〃=3X2-xflYx也二。，解得〃=5,

3⑶2

（）

所以展开式中的二项式系数最大的项为岂=三«和9=-募40X--6.

故选：C.

5.（23-24高二下.全国・单元测试）已知二项式（，>0）的展开式奇数项的二项式系数和为256,

展开式中V项的系数为84,则〃的值为（）

A.1B.-C.2D.一

42

【答案】A

【分析】根据条件，利用二项式的性质得〃=9,再利用二项展开式的通项公式

4=（2）9-%系（r=0,1,2,⑼，即可求解.

【详解】由展开式奇数项的二项式系数和2“T=256,可得〃=9,

则展开式的通项为加=/〃6产（」=），袋（/•=0,1,2,…,9）,

令;一号=2,则,=3,•..C"-3=CQ6=84,解得〃=±I,

26

v«>0,:.a=\.

故选：A.

【题型四：指定项系数（有理项）】

一、单选题

1.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）的展开式中，常数项为（)

A.-120B.-60C.120D.60

【答案】D

【分析】由二项式展开式通项公式可得答案.

【详解】（2x+白）的展开式中的第（-+1）项为：乙尸鼠=C；-26-

46-jr=0=>r=4,则常数项为C：♦2?=6（）.

故选：D

手-（〃eN'）的展开式中的常数项为15,则〃=

2.（2024高三・全国・专题练习）已知)

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】根据二项式定理，写出展开式的通项，令字母部分的指数为零，建立方程求得参数，可得答案.

【详解】性图的展开式的通项为“C住）｛步号为"衿，其中r=0,1,2,…”

令g-,=o,得〃=3厂，故iz^_c，=（一l）y,.=15，得/*=2,所以〃=6,

--2~'

故选：C.

3.（24-25高三上・甘肃白银•阶段练习）Id一孚）的展开式中fy的系数为（）

1313

---C-D--

A.4B.444

【答案】B

【分析】先写出展开式的通项公式，根据已知条件确定「的值代入展开式即可求解.

【详解】展开式通项大2,）,

6-2r=2

根据题意令r.,解得厂=2,

12

所以含人心的项为；,3,

C3xy=2xy

即［/一半）的展开式中Yy的系数为

故选：B

4.（2024高三•全国・专题练习）的展开式中的整式项系数和是（）

A.192B.-192C.32D.-32

【答案】C

【分析】根据二项展开式的通项可得心=（-1）'仁2j产2『，令5_2〃WN,运算求解即可.

【详解】展开式的通项公式为7；+LC；（2X）5[T]=（-1）'G2〜产2丁=

令5-2rwN,则r=0J2,

整式项系数和为（―1）“2,€：；+（—『2七；+（—2y=32—80+80=32.

故选：C.

5.（2024高三・全国•专题练习）已知x2—（其中a>0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理

IVXJ

项的系数和为（）

A.43B.-43C.27D.-27

【答案】D

【分析】根据题意结合二项展开式解得〃=7,«=1,令4一2-^7邑*工,运算求解即可.

【详解】展开式的第7项为<=&（巧"=（_〃）6cxT4,

由题意可得2〃-14=0,(-4『C=7,(«>0),解得〃=7,«=1,

则展开式的通项为2=（-1?孰"7（5）42-7立

=(-1)0『2=0,12,7,

令3'"£z,贝1］攵=0,3,6,

所以展开式中的有理项的系数和为(-1)℃+(-1)3仁+(-1)6<2"1-35+7=-27.

故选：D.

【题型五：各项系数和】

一、单选题

1.（24-25高三上•四川眉山•阶段练习）己知卜-：）的展开式第3项的系数是60,则展开式所有项系数和

是（）

A.-1B.1C.64D.36

【答案】B

【分析】首先根据题意求出〃的值，然后在［-1J中令X=1即可求解.

【详解】由题意C：（-2）21）=60,注意到〃是正整数，所以解得,2=6,

则展开式所有项系数和是（1-2）6=1.

故选：B.

2.（23-24高二下•北京海淀•期末）设（2-〃骁）$=4+q.t++%丁，若/+4+/+/+&+6=1，则4=（）

A.8（）B.40C.-40D.-80

【答案】C

【分析】令X=l,求出〃2=1,结合〃3为『的系数，求出X’这一项即可求出的.

【详解】令X=l,则可得（2-〃?）5=%+4+生+/+。4+。5，

又4+4+生++。4+=1，贝=1,

又出为V的系数，且（^22（-“3=~40竟

因此％=-40.

故选：C.

3.（23-24高二下•新疆•期中）已知（x+2）"=4+&r+…+4以"，则％+%++孙=（）

A.B.3U-1C.D.3"+1

22

【答案】A

【分析】赋值法求解即可.

【详解】令x=l,得％+4+…+%|=3"①,令x=T,得/一4+-%=1②，

①一②.得2（4+4+…+。"）=3”—1,即q+q+…+a“—.

故选：A.

4.（24-25高二下•全国•课后作业）设（2-3."二%+4工+生工!+。/3+。4工4+452+4616，则

同+同+|闻+kl+kl+|%l=（）

A.13344B.14625C.15561D.18773

【答案】C

【分析】利用赋值法，先求得劭的值，再赋值＜=-1,即可出现所求式子，进而求解即可.

【详解】令X=0,则阳=的，

易知4，%,%皆为负值，《）,小，《，他皆为正值，

令x=T,则56=64+|%+同+闻+同+闻+同，

故同+同+同+闷+同+闷=56-64=15561.

故选：C

5.（2024・四川德阳•一模）设。+以丫=%+4/+%42++%丁满足%+生+…+%=-2,则生+仆=（）

A.120B.-120C.40D.-40

【答案】A

5

【分析】利用赋值法令尸0/=1可计算得出。=-2,再令x=-l求出（1+2）5=/-q+生-6+--a3=3

构造方程组计算可得.

55

【详解】因为（1+办）=%+41+%/+・+a5x,

令工=1,即可得（1+。丫=/+4+&+…+火=_2+q）①，

令工=0,即可得（l+ax（））5=《）=1,可得（1+4）'=-1,所以。=一2；

令工=-1,即可得（1+2『=4-4+%-。3+,-4=3'②，

①+②得2（/+。2+。4）=-1+35，得〃0+。2+4=121,

所以《+%=120.

故选：A.

【题型六：系数最大（小〉项】

一、单选题

1（23-24高二下.江苏南通•阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（)

A.第4项B.第5项C.第6项D.第5项和第6项

【答案】B

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

=C；-x9^.(-l)r,

【详解】的通项公式为乙产C；・产，,H)

根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大，

第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大

故选：B

2.(2023•四川雅安•一模)(l-x尸的展开式中，系数最小的项是()

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

【答案】C

【分析】利用二项式定理求得dr严的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.

【详解】依题意，(17严的展开通项公式为J=C；°(r)'=(-iyC；o,OqWlO/€N),其系数为(-DP；。,

当，为奇数时，(-l)'C；。才能取得最小值，

又由二项式系数的性质可知，C：。是｛C；。｝的最大项，

所以当r=5时，(-1)'册°取得最小值，即第6项的系数最小.

故选：C.

3.(24-25高二下•全国•课后作业)(2x-)，)6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为()

A.第1项和第3项B.第2项和第4项

C.第3项和第1项D.第4项和第2项

【答案】B

【分析】写出(2x-y)6的二项展开式的通项，进而可知项的系数为(-1)尺2i公，进而可知当k取奇数时，

系数为负值，因此分别求出々=1、％=3、攵=5时的项的系数，进而可知最小值；因为(2.・)，)6的展开式有

7项，因此中间一项的二项式系数最大.

【详解】(2x-y)6的展开式的通项为4=(T)*2"y产R,

当取奇数时，系数为负值，

当上=1时，7；=-192x5y,当攵=3时，4=-160Tb'当攵=5时，7；,=-12A/,

所以第2项的系数最小；

因为(21-y)6的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第^+1=4项的二项式系数最大.

故选：B.

4.（23-24高三上.全国•阶段练习）已知［3+2）（〃＞（））的展开式中唯有第5项的系数最大，则〃的取值范

围是（）

【答案】A

【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解.

【详解】B+乌］的展开式的通项为&=9卜3厂.住［=晨

45

由题可知〈解得K弓

故选：A

5.（23-24高二下•重庆•阶段练习）已知。+土）的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系

数最大的项是第（）项

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据第4项的二项式系数最大求出,?=6,再通过通项公式得出展开式中项的系数为2-（。接着

2-rC；>2-(~)(2/

由，即可求解.

2y>2-(r+,)C：+,

【详解】由题意二项式系数仅c：最大，故〃=6,

（'+土），其通项公式为

所以二项式为二2~C"丐〉=0,1,2,3,4,5,6,

2yN2-s)cr

设二项式展开式中第〃+1项的系数最大，则有1

2-fC；^2'(r+,)C6+l，

；3,即54＜厂＜57,故广=2,经经验符合题意,

r＞—

3

所以展开式中系数最大的项是第3项.

故选：B.

6.（23-24高二下•陕西咸阳•阶段练习）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对

值最大的项是（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

【答案】C

【分析】先求出展开式的通项从而依据展开式中第9项是常数项得到〃=10,

再依据第r+1项的系数绝对值大于或等于第r+2项且大于或等于第「项列不等式组即可求解.

【详解】由题意得二项式停-展开式的通项公式为：&,

因为展开式中第9项为常数项，故2〃-|x8=0=〃=10,

故第〃+1项的系数绝对值为'C；o,

设展开式中第r+1项的系数绝对值最大，则有J

2>

10!>10!1>1

2r!（I0-r）!"（r+l）!（9-r）!2x（10-r）-7+T1922

=><=<n—<r<—

10!、10!1、133

r!（10-r）!-2（r-l）!（ll-r）![r-2（ll-r）

又因为rwNZ故r=7,所以第8项的系数绝对值最大.

故选：C.

【题型七：三项展开式系数问题】

一、单选题

I.（24-25高二下•全国•课后作业）（V+K+），）5的展开式中所有项的系数之和为（）

A.243B.240C.237D.234

【答案】A

【分析】根据题意，令x=），=l,即可求得所有项的系数之和，得到答案.

【详解】由多项式（f+x+），）'，令x=y=l,可得所有项的系数之和为3$=243.

故选：A.

2.（23-24高二下.安徽阜阳・期末）（x—L+21的展开式中产的系数为（）

Vx）

A.120B.80C.60D.40

【答案】D

【分析】写出「-'+2丫展开式通项，令x指数为2,即可求解.

\x）

【详解】卜一十2）展开式通项为：J=C；卜—J-2r=2rC；C；iy-r-m.（-if=2rC；C；l/-r-2,n.（-if,

令5—r-2"?=2,BPr+2/zz=3,

当/•=1,〃?=1时，f的系数为2'C；C；•（T）=-40；

当『=3,力=0时,/的系数为2^C;（-1）O=8O；

所以V的系数为80-40=40,

故选：D

3.（2024.湖南衡阳•一模）。2-'+），）6的展开式中盯的系数为（）

x

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】D

【分析】写出通项（/-[+."=§令/=1,再求心（/-■!■产展开式中x系数为1时的系数，

XMXX

然后相乘即可；

【详解】u2--+y）6=aC-Uy,

XkOX

I515

肛'项对应i=l,C：（Y-）g=c；（ZC#*F（—）'）=6（ZCRj（-1）’）,

Xr=OXr=O

外项对应r=3系数为~60,故，,+），）6展开后个系数为-60.

X

故选：D.

4.（23-24高二下・江苏徐州•期中）（x+2y-3z）s的展开式中所有不含x的项的系数之和为（）

A.-32B.-IC.1D.243

【答案】B

【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.

【详解】（x+2y-3z）5=［（2y-3z）+x『展开式的通项公式为&=G（2y-3z产

若展开式中的项不含q则r=（）,此时符合条件的项为（2y-3z）5展开式中的所有项，

令y=z=l,得这些项的系数之和为（-1）5=-1.

故选：B

5.（23-24高二下•河南郑州•期中）（3/-5丁+1）5的展开式中，除含炉的项之外,剩下所有项的系数和为（）

A.-299B.299C.-301D.301

【答案】B

【分析】先令x=l,求出展开式中所有项的系数和，然后求出V项的系数，从而可得答案.

【详解】令x=l得（3-5+1）5=-1,

所以（3/一5/+|）5的展开式中所有项的系数和为T,

由（3_?_+ip为5个因式（3/—+1）相乘，

要得到V项，则五个因式中有一个因式取3/,一个因式取-5/，其余三个因式取1,然后相乘而得，

所有（3/一5/+1）’的展开式中含x5的项为C；（3/）'C：（-5.?）'=-300.?,

所以（3工3-5/+1）'的展开式中，除含V的项之外，剩下所有项的系数和为-1-（-300）=299.

故选：B.

【题型八：两个二项式相乘展开系数问题】

一、单选题

1.（22-23高三上.江苏扬州•期末）（x-），）（x+y『的展开式中YjJ的系数为（）

A.20B.20C.28D.-28

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】依题意，的系数为ixC；Y=C；Y=C；-C；=8-28=-20.

故选：B

2.（24-25高三上•湖南•阶段练习）若（1-办）（2+幻4（〃£2的展开式中炉的系数为-40,则〃的值为（）

A.1B.2C.-4D.-6

【答案】B

【分析】利用二项展开式定理，即可求解.

【详解】因为，（2+x）4的展开式的通项公式为乙i=C：x25y

所以，（1-6）（2+x）4（aeR）的展开式中/的系数为：x2=-,

解得〃=2,

故选：B.

3.（2024.江西.一模）（:9+彳3）。-1）r7的展开式中的常数项为（）

x-x3

A.147B.-147C.63D.-63

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出11展开式中"A丁项即可列式计算即得

【详解】二项式＞-1）7展开式中立的项分别为ck（-l）5,C"（-l）4,

所以（彳+*）*-1）7的展开式中的常数项为2C；（T）S+3C；（-1尸=63.

XA

故选：C

4.（22-23高三下•河南安阳•开学考试）己知（彳-1）卜工-@［的展开式中，常数项为-128（）,则。=（）

A.-2B.2C.-41D.1

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.

【详解】由题意，（21-。）”的通项公式为却=（2；（2工厂｛?）=晨26-（_4产2『，

令6—2，=0,贝ij，=3,

7

令6-2广=-1,贝!），■=/不符合题意，

所以的常数项为＜23（-4=7280,

解得〃=-2.

故选：A.

5.（23-24高三上.四川内江•阶段练习）已知（a・l）（l+4）6展开式各项系数之和为64,则展开式中产的系

数为（）

A.31B.30C.29D.28

【答案】C

【分析】赋值法得到方程，求出。=2,求出（1+6『展开式通项公式，得到（=C*2=15X2,T1=X\从

而得到展开式中Y的系数.

【详解】3-1）（1+4）6中令x=l得（0-1）（1+71）6=64,解得。=2,

（1+4）6展开式通项公式为=C"?，0WrW6/eN,

当r=4时，4=C*2=i5f,当r=6时，/，

故展开式中/的系数为15x2-1=29.

故选：C

【题型九：杨辉三角形】

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中

被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（）

行

人0

41

行

4人1

11

行

人2

乂I21

uA3行

1331

4行

行14641

人5

，1510105I

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】利用二项式定理求解即可.

【详解】由杨辉三角知：

第1行：C；,C；,

第2行：C?,C'C"

第3行：C；,C；,C；,Cj,

4Arzc。k3小4

4仃*'。4，^4，。4，

由此可得第〃行，第r（lMY〃+l）个数为C：J

所以第15行第15个数是C；；=C]S=15.

故选：B

2.（23-24高二下•湖北•期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：1,3,6,10,15,…,

则该数列前10项的和为（）

第

0行

第

1行

第

2行

第

3行

第

4行

第

5行

第

6行

A.66B.120C.165D.22（）

【答案】D

【分析】由题意可知：前10项分别为C；,c；,c：,…,C3结合组合数的性质运算求解.

【详解】由题意可知：前10项分别为C；,c；,c：,…,C3

贝IJG+C+C；+…+C：产C；+C；+C；+…+C]

=C：+C：+…+C[=…y+C：=C：2=220,

所以前10项的和为220.

故选：D.

3.（23-24高二下.安徽芜湖•期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中