第十四章 全等三角形 夹半角模型（培优练习）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形央半角模型

板块一90。角夹45。角

模型1:45。角在90。角内部模型2:45。角部分在90。角内部

条件:正方形ABCD,ZEAF=45°条件:正方形ABCD,ZEAF=45°

方法:延长EB至点G,使BG=DF方法:在BC上截取BG=DF

AD刍

回

GBECECGB

结论:△ADF^AABG,AAEF^AAEG.结论:△ADF^AABG,AAEF^AAEG.

典例精讲

题型①45。角在90。角内部

［例I］如图，在正方形ABCD°.E,F分别是BC,CD上的点,/EAF=45。.

⑴求证:EF=BE+DF;

⑵求证:EA平分NBEF,FA平分/DFE.

题型②45。角部分在90。角内部

【例2】如图.在△ABC中,AC=BC,NACB=90。,点D在^ABC外部，点E在AB边上,NDCE=NDAC=45。.

求证:AD+DE=BE.

D

EB

实战演练

1.在例1的条件下，若点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，其余条件不变.

(1探究EF和BE,DF三条线段之间的数量关系并证明；

(2探究NAFD与/AFE之间的数量关系并证明.

2.如图.在四边形ABCD中8=/13,匚历1。=匚。=90〕,,E,F分别为BC,CD上的点，口以产=45.探究EF,BE,DF

之间的数量并证明.

3.如图，在匚力灯?中，AC=BC,nACB=90yADJAB3于点A,点E在AB上.且口。。£=451求证：AD+BE=DE.

D

板块二120。角夹60"角

模型1:60。角在120。角内部模型2：60。角部分在120。角内部

条件:/BDC=120o,BD=CD2EDF=60。,等边△

条件:NBDC=120。,BD=CD,NEDF=60。,等边△ABC.

ABC.

方法:延长EB至点G,BG=CF方法在BA上截取BG=CF

结论:△CDFg△BDGQDEF^ADEG.

结论:△CDF^ABDG.ADEF^ADEG.

典例精讲

题型①60。角在120。角内部

【例】如图，在四边形ABCD中.BC=CD,NBCD=120o,E,F分别为AB,AD上的点NECF=/A=60。.

⑴求证:EF=BE+DF;

⑵求证:点C在/BAD的平分线上.

实战演练

题型②60。角部分在120。角内部

如图在△ABC中,AC=BC,NACB=120°,E为AB上一点,NDCE=/DAE=60°.求证:AD+DE=BE.

板块三2a角夹a。角

模型1:a。角在2a。角内部模型2:a）角部分在2a。角内部

条彳牛：匚BAD=2a0/B=AD,条件：匚B4D=2a0/B=AD、

口£4尸=。。,口。+口3力。=180°E£4/7=&。,匚8。。+匚84。=180°

方法:延长FD至点G,使DG=BE方法：截取.DG=BE

GA

L\

DGC,

♦一一'c

结论：匚4DGD1ABE,DAEF3QAGF.

结论:△ADG^AABE,AAEF^AAGF.

典例精讲

题型①a。角在2a。角内部

【例】如图，在四边形ABCD中,E为AB上一点,F为AD上一点,（C^=CZ）,D^CZ）=2ZECF,ZB+ZD=180o.

(1求证:EF=BE+DF;

(2求证:EC平分NBEF,FC平分/DFE.

实战演练

题型②a。角部分在2a。角内部

如图在四边形ABCD中,AB=AD,NB+NADC=180。,点E,F分别在BC,CD的延长线上,NBAD=2/EAF.求证:

EF=BE-DF.

板块一90。角夹45,角

典例精讲

【例1】证明:⑴延长EB至点G使BG=DF,连接AG.

则△ADF丝△ABG(SAS),

/.AF=AG,ZDAF=ZBAG,

・•・ZDAF+ZBAF=ZBAG+ZBAF,即ZGAF=ZBAD=90°.

NEAF=45°,・・・ZGAE=ZEAF=45°,

•••△GAE丝Z\FAE(SAS),

:.EF=EG=BE+BG=BE+DF;

(2)VAGAE^AFAE,

・，.ZAEB=ZAEF,AAE平分NBEF.

•.,△GAE^AFAE,/.ZAFE=ZG.

:△ADF0△ABG,；・ZAFD=ZG.

・••ZAFD=ZAFE,.\AF平分NDFE.

【例2】证明在AB上截取BF=AD,连接CF.

*.*ZDAC=ZB=45°,AC=BC,

:.Z\DACg△FBC(SAS),

ACD=CF,ZDCA=NFCB,

・•・ZDCF=ZACB=9O0,/.ZDCE=ZECF=45°,

5^VCE=CE,/.ADCE^AFCE(SAS),

:,DF=FF,.\AD+DF=RF+FF=RE

实战演练

1.解:(I)EF=BE-DF.证明如下:在BE上截取BG=DF,连接AG.则AADFgZ\ABG(SAS),

；・AF=AG,ZDAF=ZBAG,

；・ZDAF+ZDAG=ZBAG+ZDAG,

即NGAF=NBAD=90°.

NEAF=45。,，ZGAE=ZEAF=45°,

.,.△GAE^AFAE(SAS),

・•・EF=EG=BE-BG=BE-DF;

(2)ZAFD+ZAFE=180。.证明如下:

由［1)知4ADF^AABG,AGAE^AFAE,

・•・ZAFD=ZAGB.ZAFE=ZAGE,

・•・ZAFD+ZAFE=NAGB+NAGE=180°.

2.解:EF=BE+DF证明如下：

延长CD至点G,使DG=BE.

由NBAD=NC=90。得ZABC+ZADC=180°,

，ZADG=ZABE,.\Z\ABE且△ADG(SAS),

AAE=AG,ZBAE=ZDAG,

AZGAE=ZDAG+ZDAE=ZBAE+ZDAE=ZBAD=90°=2ZEAF,

・•・ZGAF=ZEAF,Z.△AGF丝ZXAEF(SAS),

:.EF;GF=DG+DF=BE+DF.

3.证明:延长AB至点F,使bFnAD,连接CF.

VAC=BC,ZACB=90°,

/.ZCAB=ZCBA=45°,VAD±AB,AZDAE=90°,

.*.ZCAD=ZCBF=135°,.*.ACAD^ACBF(SAS),

ACD=CF,ZACD=ZBCF,VZDCE=45°,

IZDJCD+lBCE=90-45D=45，口匚BCE+匚8C尸=45口

工ZDCE=ZFCE=45°,VCD=CF,CE=CE,

.*.△CDE^ACFE(SAS),

・•・DE=EF,,•・AD+BE=BF+BE=EF=DE.

板块二120。角夹60。角

典例精讲

【例】证明:⑴延长FD至点G.使DG=BE.连接CG.

EDJ+CBCD=60J+\20]=180,

/.ZB+ZADC=180°,

・•・ZCDG=ZB,AACBE^ACDG(SAS),

・•・CG=CE,ZDCG=ZBCE,

・•・ZECG=ZBCD=120°=2ZECF,

工ZECF=ZGCF,AAECF^AGCF(SAS),

，EF=GF=DG+DF=BE+DF;

(2)过C作CMJ_AB于点M,CN±AD于点N.证CM=CN,・,•点C在/BAD的平分线上.(或利用CE平分NB

EF,CF平分/EFD说明也可).

实战演练

证明:在BA上截取BF二AD.连接CF.

VAC=BC,ZACB=120。,/.NCAB=ZB=30°.

ZDAE=60°.AZDAC=60°-30°=30°.

/.ZDAC=NB.，△ACD^ABCF(SAS),

・•・CD=CF,ZDCA=ZBCF.

ZDCA+ZACE=ZDCE=60°,

AZBCF+ZACE=60o,

EDFCF=120-60=60,□□PC^DFC^,

VCD-CF,CE-CE,.\ACED^ACEF,

ADE=EF,，AD+DE=BF+EF=BE.

板块三2a。角夹a。角

典例精讲

【例】证明:⑴延长AD至