第十四章 全等三角形 中点的处理方法 （培优练习）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形中点的处理方法

板块一中点处理（一）知中点

类型倍长中线倍长类中线作垂直

AA

Sc

图形

、、、»D

•/

EFF

条件BD=CDBD二CDBD=CD

方法

延长AD至点E,DE=AD延长ED至点F,DF=ED作CE_LAD,BF_LAD于点E,F

®AADC^AEDB;①△EDCdFDB;①△EDCdFDB：

结论

②BE=AC,BE〃AC.②BF二EC,BF〃EC.②BF二EC,DF=ED.

典例精讲

题型①倍长中线（或作平行线）

【例1］如图,AD是乙ABC的中线.

(1)求证:AB+AO2AD;

（2）若AB=6,AD=4、求AC的取值范围.

题型②倍长类中线（或作平行线）

【例2】如图，在△ABC中,D为BC上一点,E是BC中点EF〃AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG

=CF,求证:AD为AABC的角平分线.

题型③作垂直

【例3】如图，在△ABC中,AD平分口8力。，点E,F分别在BD,AD上，且.DE=CD、EFAB.求证:EF=AC.

A

实战演练

1.如图，在四边形BEFC中,D为BC的中点,NEDF=90)BE=4,CF=1.若EF的长为整数.求EF的长.

2.如图，在四边形ABFG中,NA=/B=9(r,E为AB的中点，且EG_LEF.若AG=2,BF=3,求GF的长.

3.如图,AD是4ABC的中线.且CD=AB,AE是口/出。的中线.求证：AC=2AE.

A

4.如图,AB—AD,AC-AE/BAD=/CAE—9(r,F为DE中点，连接AF.求证:BC—2AF.

板块二中点处理（二）证中点

类型作平行作垂直作延长

A

图形

FE

过点B作BE〃AC,再证△作85口力。,。尸匚42再证仆BDE知BF〃AC,延长AD,FB交于点

方法

BDE^ACDA.^△CDF.E,证LUS-OEBD.

结论BD=CDBD=CDBD=CD

典例精讲

题型①作平行

【例1］如图,AB,CD交于点E,AD=BC,/C+ND=180。.求证:AE=BE.

D

题型②作垂直

【例2】如图.D为BC上一点,F为AD上一点BF=ACy[BFD=C4D求证：BD=CD.

A

题型③作延长

【例3】如图、在四边形ABCD中.AD匚BC,,点E为AB上一点,CE平分口8。。,且DE平分口力。。.求证：E

为AB的中点.

实战演练

1.如图,AB=AC,D为AB上一点,CD=CE,NBAC=NDCE=9(r,BE交AC于点F.求证:F为BE的中点.

2.如图.在△ABC中，月于点D,力£MC,且AE;CD,,连接BE交AC于点F.求正BF=EF.

3.如图，在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD上的一点,AB二BF,BC=2BE,且DDFC=C瓦,求证:E

是AD的中点.

AD

F

C

:1

4.如图，AB=ACiUBAC=96,nADC=\35,F为BD上一点，且.□。肝=45.、求证：BF=DF.

板块一中点处理(一)知中点

典例精讲

［例I］解:⑴延长AD至点E,使DE=AD,连接BEjlikADCgZ\EDB(SAS),.・.AC=BE「・•在△ABE中,AB+BE>

AE,.\AB+AC>2AD;

(2)V在&ABE中,AE-ABvBEvAB+AE,Z.8-6<BE<6+8,.\2<BE<14,2<AC<14.

【例2】证明:过点C作CH〃AB,交FE的延长线于点H.则△ECHgZXEBG(ASA),

・•・CF=BG=CH,ZBGE=ZH=ZF.

•••EF〃AD,；.ZBAD=ZBGE,ZDAC=ZF,

.,.ZBAD=ZDAC,/.AD为△ABC的角平分线.

［例3］证明：过点C,E分别作AD的垂线，垂足分别为G,乩则4CDG^AEDH(AAS),ACG=EH,

VEF//AB,AD平分NBAC,

ZEFD=ZBAD=ZCAD,

・•・/\EFHACAG(AAS),AEF=AC.

实战演练

1.解:延长FD至点A,使AD=DF.连接AB,EA,

・•・△BADgACFD(SAS),；・CF=BA=1,

VDF=DA,ZEDF=90°J1EAADE^AFDE(SAS),

二EA=EF,VEB-AB<AE<EB+AB,

.•.4-l<EF<4+I,BP3<EF<5,

VEF的长为整数,・・・EF=4.

2解:延长GE,FB交于点AEG^ABEH(ASA),

/.EG-EH,BH-AG-2,

又「ZGEF=ZHEF=90°,EF=EF,

/.△GEF^AHEF(SAS),

GF=HF=BF+BH=3+2=5.

3.证明：延长AE至点F,使EF二AE,连接DF,可得△ABE^AFDE(SAS),

ADF=AB=CD,ZEDF=ZB.

VAB=CD=BD,AZBAD=ZBDA,

・•・ZADC=ZBAD+ZB=ZADB+ZEDF=ZADF,

・•.△ADFdADC(SAS),，AC=AF=2AE.

4.证明:延长AF至点G,使FG=AF,连接DG以IUAFE^AGFD(SAS),/.DG=AE=AC,ZG=ZEAF.

・•・DG〃AE,・•.ZADG+ZDAE=180。=ZBAC+NDAE,

・•・ZADG=NBAC.又YAB=AD,

；・AADG^ABAC(SAS),BC=AG=2AF.

板块二中点处理(二)证中点

典例精讲

【例I】证明:过点A作AF〃BC交CD于点F,

AZAFC=ZC,

ZAFD+ZAFC=180°,ZC+ZD=I80°,

工ZAFD=ND,・,•AD=AF,VAD=BC,Z.AF=BC，又＜ZAEF=/BEC,，△AEFg△BEC,，AE=BE.

【例2】证明：分别过B,C两点作AD的垂线，垂足分别为ACHg△FBG(AAS),

・•・BG=CH,.\ABDG^ACDH(AAS),BD=CD.

【点睛】也可作BM〃AC,交AD的延长线于点M.

【例3】证明:延长DE交CB的延长线于点F.

：AD〃BC.；・ZADC+ZBCD=180°.

二NEDC+NECD=90°,，ZDEC=90°,

VEC=EC,ZDCE=ZFCE,

A/\CED^ACEF(ASA),

ADE=EF,・•・△AED丝△BEF(ASA),

・・・AEnBE.即E为AB的中点.

实战演练

1.证明:过点E作EG_LAC于点G.

•・•ZACD+ZACE=ZDCE=90°,ZCEG+ZACE=90。，

/.ZACD=ZCEG,

■:DC=CE,△ACD@△GEC(AAS),

二EG=AC=AB,\AABF^AGEF(AAS),

・・・BF=EF,・・・F为BE的中点.

2.证明:过点B作BM_LAC于点M.

可证△ABM^AACD(AAS),

.二CD=BM=AE.工AAEF^AMBF,/.BF=EF.

3.证明:过点A作AH〃BD交BE的延长线于点H,

AZH=ZEBD.

,rZDFC=ZDBC+ZBCF,ZCBE=ZDBC+NEBD,NDFC=NCBE,

.*.ZBCF=ZEBD=ZH,

VZABD=ZCBE,.\ZABE=ZCBF,

y/AB=BF,.\AABH^AFBC(AAS),

・\BC=BH=2BE,BE=EH,

又：ZAEH=ZDEB,ZH=ZEBD.

/.△AEHgADEB,AE=DE,/.E是