第15-16章（轴对称和整式的乘法 ）重点知识点解答题 专项练-2025-2026学年人教版八年级数学上册期末复习

期末专题：第15-16章（轴对称和整式的乘法）重点知识点解答题专题练

2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册期末复习

I.计算：

（l）（2f3孙）疗

(3)(-3^)2.

2.先化简，再求值：

⑴(2+〃)(2-〃)+4(4-5/2)+3“%，+(-//>),其中ab=-g；

(2)2(2x-l)(2x+l)-5.r(-x+3y)+4.r-4x——y其中x=_|,y=2.

3.已知：（%+a）的结具中不含关于字母x的一次项，求（。+2）2-（3-〃）（-4-3）的值.

4.如图，C,。是A8的垂直平分线上两点，延长AC,DB交于点E,A5c交OE于点尸.

求证：

（1）48是/。1”的角平分线；

（2）ZFAD=ZE.

5.如图所示，在VA8C中，跖平分NA4C,DE///3C.

D/.~~\E

（1）请判断v/比陀的形状，并说明理由；

⑵若ZA=55。，ZC=70°,求/加应的度数.

6.如图，己知在等腰VA8C中，AB=ACt分别以48，4C为边向外作三角形，使得8D=AE.有

下列2个条件：©ZABD=ZC4E；②AD=CE.

A

E

D

BC

⑴请从上述条件中选择一个条件，使得△A8D名△C4E,你选择的条件为.(请填写序号)，

并说明理由;

(2)在(1)的条件下，若44比=65。,/。=120。，求NZME的度数.

7.如图，点。在等边VA3c的外部，E为BC边上的一点,AD=CD,DE交AC于点、F,AB//DE.

(1)判断麻的形状，并说明理由;

(2)若4c=10,3=4,求OE的长.

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,2),点B的坐标为(-3,4),点。与点4关于y轴

对称.

⑴写出点。的坐标，并在图中画出点4,C；

(2)画出V/仍。关)，轴对称的xKBC：

⑶在了轴上存在一点。，使得SAACO=SAABC，求点。的坐标;

(4)已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E,使得△ACE与VABC全等，

写出所有点E的坐标(点8与点石不重合).

9.如图，在VA8C中，A。平分/84C,G是8C中点，连接OG,过点。作八4于点E,DFJ.AC

交4c的延长线于点/，且8E=b.

⑴求证：DG1.BC；

(2)若A8=5.4C=3,求跖的长.

10.如图1,等边三角形ABC中，。是A5边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形矶＞C,连

接AE.

图1图2

(□△O4C和△外。全等吗？请说说你的理由；

⑵4E与8c的位置关系是：；

⑶如图2,当图1中动点。运动到边84的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE〃8C?

说明理由.

11.(1)如图1,/XACB和△DCE均为等边三角形，点4D、E在同一直线上，连接

①证明：VAC恒V8CE；

②请直接写出NA//的度数为二

(2)如图2,AACA和△OCE均为等腰直角三角形，ZACB=/DCE=90°,点A、D、E在同一直

线上，CM为△OCE中OE边上的高，连接应:.

①请求出/AE8的度数；

②若CM=1,4E=1.2,求线段AE的长.

12.【问题背景】

如图1,在VABC中，已知4B=AC,NB4C=90。，A”是V4BC的高，AH=4cm,BC=8cm,过

点C的直线MNJL8C,动点D从点C开始沿射线CB方向以女m/s的速度运动，动点E也同时从点C

开始在直线MV上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接A。、AE,设运动时间为北＞。)秒

(1)【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度(用含有，的代数式表示)：CD=_cm,C£=_cm

⑵当/为多少时，AABO的面积为12cm2?

(3)【深入探究】如图2,当点。在线段上，且人力_LAE时，△ABO是否与AACE全等？说明理

由，此时CO+CE的值为多少?

⑷请利用备用图探究，当点。在线段C8的延长线上，且时，CO与CE有什么数量关系？

请说明理由.

ah35；：=4x+6,按照这种运算规

13.我们规定一种运算:=ad-cb,例如=3x6-4x5=-2

cd46

定,

20222023

⑴用简便方法计算:

20212022

x+lx+3

⑵当x等于多少时,=0.

x-2x-\

14.一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用.对于“同底数幕的乘法”“哥的乘方皿积的乘方”

这几个法则的逆向运用表现为=/..“，am'=(am)n,afb"=(ab)n(如〃为正整数).

⑴已知〃/X344，c=4"，请把a,Ac用“V”连接起来：.

⑵若x"=2,/=3,求”+2〃的俏.

2022

/‘\2021

(3)计算:2飞)x(—3)

15.对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题.

【探究发现】

(1)(«-1)(«+1)=

(2)(4-1乂〃2+。+])=；

(3)+«2+«+1)=

【猜想归纳】

(4)(4一1)(d00+。99+〃98+...+〃2+4+1)=

【问题解决】利用上述规律解决下列问题：

(5)计算：2,50+2,49+2,48+...+22+2+1;

(6)若,/+/+〃5+/+/+/+〃+]=(),求。的值.

⑴用含字母的代数式表示图I中阴影部分的面积为;

⑵将图I的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长

方形的面积为：

(3)比较(2)、(1)的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式.

(4)【问题解决】利用(3)的公式解决问题：

①已知4"，一〃2=12,2m+n=4,则一〃的值为.

②直接写出下面算式的计算结果:(1塌(1-3弓)(今卜(1-志)•

17.【探究】

若X满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值.

设9一x=a,x-4=〃,则(9-x)(x-4)=a〃=4,a+〃=(9-x)+(x-4)=5,

(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2x4=17；

【应用】

请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)若x满足(5-X)(x-2)=2,则(5-4+(*2)2的值为

【拓展】

(2)已知正方形A4CD的边长为■E、尸分别是A。、QC上的点，且AE=Lb=3,长方形EMFD

的面积是8,分别以OF为边作正方形.

①MV=，DF=：(用含x的式子表示)

②求阴影部分的面积.

NR

18.如图①，在VABC中，AB=AC.N84C<60。，在/W的右侧作等边三角形八8Q.

(1)若NC4O=30。，求NC8。的度数

(2)试判断NC4O与NC3D的数量关系，并说明理由.

(3)如图②，作点。关于直线3。的对称点E,连接力ECE.试判断ZR4C与NACE的数量关系，并

证明.

19.乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图【所示的三种纸片，A种纸片是

边长为。的正方形，5种纸片是边长为力的正方形，C种纸片是长为〃，宽为。的长方形.并用A种

纸片一张、8种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形.

图1图2

⑴请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积.

方法1：;

方法2：；

⑵请你写出二个整式：(4+〃)'，/+〃，必之间的数量关系；

⑶根据(2)中的等量关系，解答下列问题：

①已知a+〃=5,/=21,求而的值；

②已知(23-a『+(a—20)2=10,求(23-。)卜/-20)的值；

(4)若用图I中的纸片拼成一个边长为%+36的正方形，则需要4类纸片张，B类纸片

张，C类纸片张.

20.阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法

叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因

式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题.

例如：求代数式：丁-12*+2020的最小值.

解：原式=V-12X+62-62+2020

-(“6)2十1984

(十一6『之0,

••・当。=6时，(Xi)?的值最小,最小值为0,

/.(X-6)2+1984>1984,

.■.当(工一6『=0时，(x-6y+1984的值最小，最小值为1984,

二代数式：f-l2x+2020的最小值是1984.

例如：分解因式：x2-120x4-3456

解：JMjt=x2-2x60.r+60:-602+3456

=(.V-60)2-I44

=(X-6O)2-122

=(x-60+12)(x-60-12)

=(x-48)(x-72).

⑴分解因式x2-46x+520;

(2)若y=*+Zt+13l3,求y的最大值;

参考答案

1.(1)3X"+4/+,Z

(2)-2/n3w3(x-y)5

【分析】本题主要考查了单项式乘法综合.熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数塞乘法的运算法

则，幕的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键.

(1)根据单项式乘以单项式运算法则得出即可；

(2)应把x-y与y-x分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项

式运算法则以及同底数哥的乘法运算法则得出即可：

(3)先根据积的乘方的法则与幕的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数寻

的乘法运算法则运算得出即可.

【详解】⑴解：(2小打(-30).，；已

=2X(-3)X-1)(x,,+l-x-x2)|/-y)z

-3xn+4/+lz；

(2)-6in2n(x-y)3--mn2•(-x)2

=-6m2n•(x-),)3•；nur-(x-y「

=-6xi(/n2-/«)(«-n2)[(x-y)2

=-2"?、3(1一),)5；

2.(1)一2血4,5

(2)-3/-25盯一2,45

【分析】本题考查整式乘法的化简求值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键.

(1)先利用多项式的乘法展开，然后合并化简，再整体代入解题即可；

(2)先利用多项式的乘法展开，然后合并化简，再代入数值解题即可

【详解】(I)解：(2+a)(2—一5》)+34%'+

—4—a2+a2-5ab+3ab

=-2ab+4,

1（

当"〃=_孑时，原式=-2x--+4=5；

2\2）

（2）解：2（2x-l）（2x+l）-5A（-x+3y）+4.r^-4x-|y

=8x2-2+5x2-15^-16f-10盯

=-3x2-25xy-2,

当x=_l,y=2时，原式=_3_25x（T）x2_2=45.

3.16

【分析】此题主要考查了整式的化简求值.熟练掌握多项式乘以多项式的法则，完全平方公式，平方

差公式，合并同类项，不含型问题，是解题的关键.

首先利用多项式的乘法法则化笥已知式.由结果中不含关干字母x的一次项.令一次项系为0.求得

。的值，然后把所求的式子化简，然后代入求值即可.

【详解】解：(x+a

•・•结果中不含关于字母x的一次项，

.3

4

・・・(4+2)2一(3-硕-4-3)=/+44+4一年—9)=4〃+13=4x(+13=16.

4.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.

(1)由C8=C4,推出NCR4=NC4B,由A尸〃8c交OE于点尸，推出NBA/=NC8A,可得

/BAF=NCAB.

(2)由ZDZM=NE+NC40,ZDAB=/FAD+ZBAF,ZCAB=ZBAF,可得ZE=NMD.

【详解】(1)证明：•.•点C是A3的垂直平分线上的点，

:.CB=CA,

,-.ZC/M=ZC4B,

•;AF〃BC交DE于点、F,

:.ZBAF=ZCBA,

即AB是NC4/7的角平分线.

(2)解：•.•点。是48的垂直平分线上的点，

DB=DA，

；.〃)BA=/DAR,

•.ZDBA=NE+NCAB,ZDAB=ZFAD+ZBAF,ZCAB=ZBAFt

:.N=bAD.

5.(1)VA。七是等腰三角形，理由见解析

(2)125°

【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，热练掌握以上知以点是解题的关键.

(1)根据踮平分/ABC,DE//BC,可知/钻石=/。①，所以8£)=。石，从而可知V80E是等

腰三角形；

(2)根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案.

【详解】(1)解：V8DE是等腰三角形，理由如下：

分/AAC,

:.ZABE=NCBE,

•;DE〃BC,

:.NDEB=NCBE,

:.NABE=NDEB,

:.BD=DE,

;.BDE是等腰三角形；

(2)解：vZA=55°,ZC=70°,

.­.zfA^C=180o-ZA-ZC=180o-55o-70°=55o,

DE//BC,

.•.N3DE+NABC=180。,

NBDE=180°-^ABC=180°-55°=125°.

6.(1)①，见解析

(2)110°

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角用定理的应用，等边对等角；

(1)选择①，根据SAS证明△48。g△C4E,选择②，根据SSS证明△ABD4ZXC4E；

(2)由等腰三角形的性质得ZA8C=N4C8,由(1)知NABO=NC4E,进而根据三角形内角和定

理，即可求解.

【详解】(I)解：选择①，理由如下:

在△48。和aCAE中，

BD=AE,

-ZABD=ZCAE.

AB=CA,

.△ABD^AC4E(SAS).

选择②，理由如下：

在△48。和△€?1£中，

BD=AE,

<AD=CE,

AB=CA

.■^ABD^^CAE(SSS).

(2)解：vAB=AC,

/.ZABC=ZACB.

'.ZABC=65°

..ABAC=180°-2ZABC=50°.

由(1)知NA8O=NC4E,

/.ZDAE=ZDA13+^I3AC+ZCAE=ABAC+/DAB+ZABD=ZR4C+(180°-ZD)=110°.

7.(1)等边三角形，见解析

(2)6

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等

内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用.

(1)利用平行线的性质，证明NCE/=N4AC,NCFE=/CAB,然后利用三个角相等的三角形是等

边三角形即可解答；

(2)连接8。，证明8。是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得3。平

分NA8C,最后根据角平分线和平行证明V8E陀是等腰三角形即可解答.

【详解】(1)解：是等边三角形，理由如下：

理由：・・・VABC是等边三角形，

，ZABC=ZACH=ZBAC,

*/AB//DE,

・••NCEF=ZABC,NCFE=NG43,

，Z.CEF=Z.CFE=ZECF,

•••△(7即是等边三角形：

•・•VABC是等边三角形，

，AB=BC=AC,

'：AD=CD,

・•・8。是线段AC的垂直平分线，

，BD平分NABC,

/.ZABD=NCBD,

*/AB//DE,

，ZABD=/BDE,

：・/BDE=/CBD,

:.BE=DE,

由(1)得，△<?功是等边三角形，

:,CE=CF=4,

・•・BC=BE+EC=DE+CF,

ADE=BC-CF=\0-4=6.

8.(1)点C的坐标为(4,2),图见解析

(2)见解析

(3)点D的坐标为。(0,4),A。。)

(4)点E的坐标为甲-3,0),刍。4),的坐，0)

【分析】本题考查了作图一轴对称变换，三角形面积，灵活运用对称是解答关犍.

(1)根据对称来画出图形即可；

(2)根据对称画出图形即可；

(3)利用同底等高画出图形即可.：

(4)根据对称画山图形即可.

【详解】(1)解：点。的坐标为(42),点A,C如答图所示.

(2)解：如答图，即为所求.

(3)解：＜SMCO=SawAC=AC,

•••点。到AC的距离与点B到AC的距离相等，

即点。的纵坐标为4或0.

又•・•点。在)'轴上，

・•・如答图，点D的坐标为。©4),4(0,0).

(4)解：如答图，点E的坐标为5-3,0)©(3,4),$3,0).

9.⑴见解析

(2)1

【分析】本题考杳了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确

添加辅助线是解题的关键.

(1)连接BD,CD,根据角平分线性质定理得到DE=DF,再证明△夙癖△CDE(SAS),则BD=CD,

再由等腰三角形性质即可证明；

(2)先证明RS4O修Rtd4O"HL),则他=诙，那么4?-8月=4C+b,再代入数据求解即可.

【详解】(1)证明：连接BDC。，如图,

A

力E/AA于E,。/XAC交AC的延长线于F,

；.DE=DF,

在V4QE和VCD尸中,

BE=CF

•ZBED=ZCFD=90°,

DE=DF

：,△«DE^ACDF(SAS),

:.BD=CD,

•••G是BC中点,

.\DG1BC；

(2)解：由(1)知：DE=DF

A£)=AD

在RtziAOE和RSAD/中，一厂

RtdQ虑RM力"(HL),

：.AE=AF

:.AB-BE=AC+CF\

♦.・BE=CF,AB=5fAC=3,

;.5-BE=3+BE

10.(1)全等，理由见解析

(2)AE//BC

(3)AE//BCf理由见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，确定二角形全等

的条件是解题的关键；

(1)由aABC和△EOC都是等边三角形得出/BCO=4CE,再结合已知边相等，可得出

4DBCqAEAC；

(2)由3cg△E4C可得/3=NC4K=NAC4=60°,可得人石〃BC；

(3)与(I)同理，由△ABC和△瓦心都是等边三角形得出N8CQ=NACE,再结合已知边相等，可

得出△O8C4△石4C,进而得HlN8=NC4E=NAC8=60。，可得仍有AE〃8C

【详解】(1)解：ADBCWAEAC,理由如下：

•・•“18。和△££)C都是等边三角形，

/.13C=AC,DC=EC,ZACB=/B=/DCE=60。,

・••ZACT-ZACD=ZDCE-ZACD,

/./BCD=ZACE,

在△O4C与△E4C中，

BC=AC

«/BCD=NACE

DC=EC

：.ADBC^AEAC(SAS)：

(2)解：AE//BC,理由如下：

*/ADBC咨LEAC,

・・・N8=NC4E,

又•・,ZACB=ZB=60°,

・••ZC4£=ZAC^=60°,

/.AE〃BC、

(3)解：仍有AE〃故，理由如下：

•・•△A8C和△&C都是等边三角形，

ABC=AC,DC=EC,ZACB=/B=/DCE=60。,

:.ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

/.ZBCD=ZACE,

在△r>3C与△£XC中，

BC=AC

</BCD=/ACE

DC=EC

：.△OBC空△EAC(SAS),

工Z^=ZG4E=60°,

，ZC4E=Z4C/?=60°,

工AE//BC.

11.<1）①见解析；②60。；（2）①90。；②3.2

【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握

全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

（1）①运用等边三角形的性质证明△€!加丝△CE8,即可作答.

②根据全等三角形的性质进行列式计算，即可解答；

（2）①证明根据全等三角形的性质、直隹三角形的性质解答.

②根据等腰直角三角形的三线合一的性质得出CM=/W=ME,再结合=进行分析，即可

作答.

【详解】证明：（I）①•••△AC4和均为等边三角形，

AZACB=ZDCE=6O°,CA=CB,CD=CE,

・••ZACD=ZBCE,

在和中，

CA=CB

NACD=NBCE,

CD=CE

/.△CD4=△CE8,

②,:ADCE为等边三角形,

:.ZCED=ZCDE=60°,

/.ZCDA=180o-60°=l20°

由①得△C/)A丝/XCEB,

•••ZCEB=ZCm=120°,

・•・ZAE5=120o-60°=60°；

则ZAC3=NDC£=90。，ZCDE=ZCED=45°

；・AC=BC,CD=CE,ZADC=180°-45°=135°

•・•ZACB-NDCB=NDCE-ZDCB,

即公CD=/BCE,

在AACD和△BCE中，

CA=CB

-4ACD=NBCE,

CD=CE

・•・AACDq公BCE,

AD=BE,ZBEC=ZADC=135°.

，/AEB=/BEC-4CED=135°-45°=90°；

②在等腰直角△/)("：中，CM为斜边OE上的高，

:・CM=DM=ME,

:.DE=2CM,

由①得A。=BE

・•・AE=DE+AD=2CM+BE,

'：CM=\,«E=1.2,

，AE=2+1.2=3.2.

12.(1)31；2t

214

⑵当t为］或T时，△48。的面积为12cm2；

o

⑶当/=?时，△44。与△4CE全等；理由见解析，此时，CE+CD=8；

(4)CZ>-CE=8,理由见解析

【分析】本题考查了列代数式，解一元•次方程，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握

全等三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据题意列代数式即可；

(2)分点。在线段3c上，点。在延长线上两种情况计算即可；

(3)由得到/84£)=NC4E,根据A4=4。得到NAAC=NACA=45。，再根据例NJ_4c得

至l」NACE=N8CK-NACB=45。，得出44笈恒△ACE,即可得到CO+CE=8cm；

(4)证明即可得到CO-CE=8cm.

【详解】(1)解：由题意得，CD=3/cm,CE=2/cm：

(2)解：由题意得，当点。在线段3c上时，BD=BC-CD=(S-3t)cm,

•：S.ABD=；AH.BD,

：.-AHBD=\2

2t

.•1x4x(8-31)=12,

2

Z=3：

当点。在C8延长线上时"O=CO-4C=(3/—8)cm,

-AHBD=\2,

2

^x4x(3r-8)=!2,

14

Z=T;

?14

当，为，或W时，△A3。的面积为12cnr.

JJ

(3)解：CD+CE=8cm,

理由如下：

VAZ)±A£,

：.ZDAE=90°,

•.•NW=90。，

NBAD+^DAC=NCAE+ZDAC,

N8AO=NC4E,

vAB=AC,NB4C=9O。，

：,ZABC=ZACB=45°,

♦；MNLBC,

.\ZBCE=90°,

ZACE=NBCE—ZACB=45°=ZABD,

:^ABD^^ACE(ASA)t

BD=CE,

:.CD+CE=CD+BD=BC=&m,

此时3r+2r=8,

5

(4)解：CZ)-CE=8cm,理由如下，

如图，-：AD1AE,

:.ZDAE=90°,

•/ZBAC=90°,

...N/)A4=NE4C',

MN工BC,N54C=90),

备用图

:.ZABD=ZACE=\35°,

.△ABD^ACE,

BD—CE,

,/CD-BD=BC=8cm,

CD-CE=8cm.

13.(1)1

(2)5

【分析】本题考查新定义运算，平方差公式,整式的混合运算.理解新定义是解题的关键.

(1)利用新定义将原式变形为2022x2022-2021x2023,再利用平方差公式进行简便运算；

(2)根据新定义将原式变形为(x+D(x-D-2)*+3)=0,通过整理可得一元一次方程，解方程

即可.

20222023

【详解】(1)解:

20212022

=2022x2022—2021x2023

=20222-(2022-1)x(2022+1)

=20222-(20222-12)

=20223-20222+12

(2)解:=0,

U+l)(x-l)-(x-2)(x+3)=0,

X2-1-(X2+3X-2X-6)=0,

x2-1-x2-3x+2x+6=0,

—3x+2A'=1—6♦

x=59

x+lx+3

所以当x=5时,=0.

x-2x-\

14.(\)a<c<b

(2)72

(3)-1

【分析】本题考杳同底数新的乘法、某的乘方、枳的乘方的逆运算，掌握运算法则并灵活运用是解答

的关键.

（1）利用哥的乘方逆运算法贝J将。、b、c化为指数相同的数，再比较底数的大小即可求解;

（2）利用同底数幕的乘法、辕的乘方的逆运算求得即可;

（3）利用同底数事的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可.

【详解】⑴解：4=255=(2-5)"=32",/?=344=(34)"=81,,c=4w=(43)11

*/32<64<81.

A32"<64"<81"，

••a<c<b,

故答案为：a<c<b；

(2)解：・・"=2,f=3,

2b

=(4•(行

=23X32

=8x9

=72；

z\2O22

1（。\2成1

(3)解：22O23X-x（-3）

2021

11

=-22X22O2,X—X—X32021

6八6

门、，1V021

=-22x—x2x—x3

16；I6J

=-4xlxI202,

6

2

=3.

15.(1)a2-l；(2)(3)/-I；(4)a101-1；(5)2,51(6)-1

【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关

键.（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到i般的方法，有时通过类比、联想，

还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析•，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜

想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，

从而求解问题.

K探究发现】（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果；

K猜想归纳?（4）根据K探究发现》归纳出规律即可：

R问题解决》（5）利用归纳总结得到（2-1乂2150+2|49+2.+…+2?+2+l）=2⑸-1,即可求出所求式

子的结果；（6）利用得出的结论可得。8-1=（4-1）（47+*+/+/+〃+/+。+［）=。，从而可得到

结果.

【详解】解：K探究发现1：（I）（。-1）（。+1）="+。一。-1=/一1：

（2）（4-1）卜/+4+1）=/+/+〃-/-1=/-1.

（3）+片+。+1）+/+。2+。一。3一。2一。-1二〃'-1

故答案为：（1）a2-\.（3）/7.

K猜想归纳》（4）（。一1乂〃00+4*+498+…+/+〃+1）=〃。-1.

故答案为："3—1.

K问题解决》（5）原式=（2—1N（29+2“9+*+…+2?+2+l）=2⑸—1.

（6）a7+ah+a5+a4+ay+a2+a+\=0

：.+a6+a5+a4+/+/+a+l）=O.

"—1=0.

解得a=-l或a=l（舍）.

的值是-1.

16.（1）a2-b2

⑵（。+勿（。一〃）

（3）a2-b2=（a+b）（a-b）

【分析】本题考杳了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解

题的关键.

（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，W可求解;

（2）经分析，图2中长方形长为（。+〃）、宽为（〃-3.根据长方形面积公式，即可求解:

（3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解；

（4）①根据平方差公式，进行计算即可求解.

②连续使用平方差公式，进而即可求解•.

【详解】（1）解：由题意得

s明彬二s大正方形一s小正方形

=（r-b12；

故答案为:a2-bh

（2）解：由题意得

拼接后的长方形长为（。+匕）、宽为（。一8）,

S阴影=（。+〃）（。-〃）；

故答案为:（a+b）（a-b）；

（3）解：•.・阴影部分图形拼接前后，面积不变，

a2-b2=（a+h）｛a-b）；

故答案为：a2-h2=(a+b)(a-b)；

(4)解：(D*.04m2—n2=12>

...(2"7+〃)(2相一〃)=12

2ni-n=3

故答案为：3；

，+

?2023

12024

-X----

22023

1012

一2023

1012

故答案为:

2023

17.(1)5；(2)X-1,A-3；②12

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景.应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意

义；主要围绕图形面积展开分析.

(1)设5-x=a,x-2=〃，根据已知等式确定出所求即可；

(2)①设正方形A8CO边长为人进而根据图象可以表示出Mb与。尸；

②根据MQ。尸=(x-l)(x-3)=8,阴影部分面积=*-1)2-3打，运用题中方法求出阴影部分面积

即可.

【详解】解：(I)设5-x=a%-2=A,

则(5—x)(x-2)==2,a+Z?=[5—x)+(x-2)=3,

/.(5-x)2+(x-2)2=a2+b-

=(a+b)2-lab

=32-2x2

=9-4

=5；

(2)①•・•四边形EMFD是长方形、AE=\.四边形48co是正方形、

/.AD=CD=BC=x,DE=MF,

:.MF=DE=AD-AE=x-\,DF=CD-CF=x-3t

故答案为：x-l，x-3.

②•・•长方形£704)的面积是8,

.■./WF-DF=(A:-1)(X-3)=8,

阴影部分面积=M尸-DF2=(x一1巧一(x-3-，

设x-l=a,x-3=〃，

贝lj=4〃=8,4_。=(*_1)_(工_3)=2,

/.(a+b)2=(a-b)2+4ab=2:+4x8=36,

.•.〃+〃=±6,

又•.•〃+〃>0,

:.a+b=6,

(x-1)2-(x-3)2=a2-b'=(〃+历(a-/?)=6x2=12.

即阴影部分的面积是12.

18.(1)15°

(2)Na\/)=2NCB£>.理山见解析

(3)ZACE=120°+1ZB/1C.证明见解析

【详解】解：(I)•.•△ABD为等边三角形,

Z£?A£>=ZABZ)=60°.

ZC4D=3O°,

/.ZE4C=30°.

A/3=AC,

ZABC=1x(180°-30°)=75c,

2

:.ZCBD=ZABC-ZABD=753-60°=15°.

(2)ZCAD=2ZCBD.理由如下：

设=

•.•△■/，)为等边二角形.

/BAD=ZABD=3,

N8AC=600-a.

vAB=AC,

/ABC=g[l