第17章 因式分解 能力提升测试卷-2024人教版八年级数学上册

第17章因式分解能力提升测试卷

(考试时间：90分钟试卷满分：100分)

一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。)

1.下列因式分解正确的是()

A.4-X2=(4+x)(4-x)B.x24-2.t-1=(x-I)2

C.2x2-2=2(x+l)(x-1)D.x2-2x+2=x(x-1)+2

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解的理解，根据其定义及理解即可解.

【详解】解：A、4-x2=(2+x)(2-x),不符合题意；

B、(％—l)2=M—2x+1H/+2%—1,不符合题意；

C、2x2-2=2(x+l)(x-1),符合撅竟：

D、为2一2%+2=-1)+2右边不是积的形式，不符合题意.

故答案为：C.

2.分解因式。一2)2—16的结果是()

A.(x+8)(%4-1)B.(%4-2)(%—6)C.(x-2)(%+4)D.(%—10)(x+8)

【答案】B

【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为(％-2+

4)(x-2-4),再整理即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：(x-2)2-16

=Q-2产―42

=(x-2+4)(x-2-4)

=(x4-2)(%-6),

故选：B.

3.若a+b=-5,c=2,则-ac-bc等于()

A.10B.-10C.3D.-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键.将-知-儿

提取一c得一c(a+b),然后代入求值即可.

【详解】解：-ac-be=-c(a+b).

把a+b=-5,c=2代入得:

原式=—2x（-5）=10.

故选：A.

4.已知/+4mx+16是完全平方式，则加的值为()

A.2B.±2C.6D.±6

【答案】B

【分析】本题考杳了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法(提公因式法、公式法、

十字相乘法、分组分解法、换元法等)是解题关键.根据/+4mx+16是完全平方式可

得/+4mx+16=(x±4)2,再计算完全平方式，由此即可得.

【详解】解：+16是完全平方式，

0X2+4mx+16=(x±4)2,

0x2+4mx+16=x2±8x+16,

04m=±8,

[Dm=±2,

故选：B.

5.若xy=3,x-3y=-5,则2%2y-6孙?的值为()

A.-15B.-1C.2D.-30

【答案】D

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关

键.

先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值.

【详解】解：=3.x-3y=-5.

02x2y-6xy2

=2zy(x-3y)

=2x3x(-5)

=-30.

故选：D.

6.若/一y2=7,贝|JQ+y）2（%一y）2的值为（）

A.14B.21C.49D.56

【答案】C

【分析】本题考查了平方差公式，幕的乘方和积的乘方，先利用塞的乘方与积的乘方得

到原式=[(%+y)a-y)]2,再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：0x2-y2=7,

0(%+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2=(x2-y2)2=72=49.

故选：C.

7.无论％,y为何实数，代数式/+2y2+2%一4y+10的值()

A.可能为零B.最小为7C.最小为10D.最大为10

【答案】B

【分析】本题考查了完全平方公式因式分解的应用，将原式化为(％+I)?+2(y-I)2+7.

根据偶次辕的非负性，即可求解.

【详解】解：x2+2y2+2x-4y+10

=x2+2x+1+2(/-2y+1)+7

=(x+I)2+2(y-l)2+7

12(%+1)2>0,(y-I)2>0

团原式大于或等于7,即最小为7

故选：B.

8.若实数a,b,c满足b-c=2,a?=一儿一1,则Q-b+c的值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键.由

b-c=2可得b=c+2,将其代入小=-be-1中并整理后利用偶次塞的非负性求得a,c

的值，然后求得b的值，将其代入a+b+c中计算即可.

【详解】解：♦.•b-c=2,

••b=c+2,

va2=—be-1,

•••a2--(c4-2)c-1.

整理得：a2+c2+2c+l=0.

则+(c+1)2=0,

那么a=0,c=-1,

因此力=c+2=1,

则a+b+c=0+(-1)+1=0,

故选：A.

9.已知x+y=l,xy=-1,求x(x+y)(x—y)—x(x+y)2的值.()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键.先

因式分解，然后利用整体代入法求值即可.

【详解】解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]

=-2xy(x+y),

']x+y=1,xy=-1时，

原式二-2x(―1)x1=2

故选：D.

10.已知a>b>c,M=a2b+b2c4-c2a,N=Q/+儿？+cM,则M与N的大小关系是

().

A.MNNB.M=NC.M>ND.MVN

【答案】C

【分析】本题考查了整式的加减运算，整式比较大个，因式分解，掌握相关知识是解决

问题的关键.多项式比较大小，采用"作差法"，将多项式因式分解，再根据已知条件判

断M-N的符号.

【详解】解：：M—N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+be2+ca2),

=Q2b+b2c4-c2a-abz-be2-cd2,

=a2(b—c)+bc(b-c)—ab2+ac2,

=a2(Z;-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c),

=(b-c)(a2+be—ab—ac),

=(b—c)(a—c)(a—b),

乂a>b>c,

:.M-N=(b—c)(a-C)(Q—b)>0,

即M>N.

故选：C.

22

11.因式分解:x-4y=(x+2y)-Af则代数式4等于()

A.x+yB.x-yC.x+2yD.x-2y

【答案】D

【分析】本题考查用平方差公式因式分解.先将/-4y2用平方差公式因式分解刊/一

4y2=(%+2y)(x-2y),再结合题意,即可求解.

【详解】解：0x2-4y2=(%+2y)(x-2y),

X0x2-4y2=(x+2y)-A,

团A=x-2y,

故选：D.

12.在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分

组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解.如:ax+ay+bx+by=

+y)++y)=(a++y).下列说法中:

①因式分解：x2-2xy+y2-l=(x-y+1)(%-y-1)

②若a,4c•是△ABC的三边长，且满足02+加=炉+碇，则为等腰三角形.

③若外b,c为实数满足a2+2》2+c2+28=4Q+8b+8c,则以a,b,c作为三边

能构成等腰三角形.其中正确的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：①将进

行分组(/一2xy+y2)一1,再因式分解，即可判断；②通过分组因式分解得小一/一

(ac-bc)=O.再进行下一步因式分解，即可判断；③将原等式化成(。2-4。+4)+

(2d2-8d+8)+(c2-8c+16)=0.再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判

断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键.

【详解】解：0x2-2xy+y2-1

=(x2-2xy+y2)-1

=(x—y)2—l2,

=(%-y+1)(%-y-1),故①正确；

②由a?+be=b2+ac得标—b2—(ac—be)=0.

0(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,

即(a—b)(a+b—c)=U

团Q,b,c是△4BC的三边长,

团a+b—c>0,

(3a-b=0,

Sa=b>

即\4BC为等腰三角形.故②正确；

③由a?+2b2+c2+28=4a+8b+8c

22

得(a2-4Q+4)+(2b-88+8)+(c-8c+16)=0

Q(a-2)2+2(b-2)2+(c-4)2=0

0a=2,b=2,c=4,

0a+b=2+2=4=c,

用以a,b,c作为三边不能构成三角形，故③错误，

综匕正确的有①②,共2个.

故选：C.

二、填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分.)

2

13.若x+y=-4,xy=6,则/y+Xy=.

【答案】-24

【分析】本题考查因式分解、代数式求值.先提公因式得到/y+xy2=xy(x+y),再

整体代入求解即可.

【详解】解：0%4-y=-4,xy=6,

0x2y+xy2

=xy(x+y)

=6x(-4)

=-24.

故答案为:-24.

14.因式分解：Q2(X-y)+4(y-％)=.

【答案】(Q+2)(Q—2)(x—y)

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.先提公因式

(x-y)，再利用平方差公式因式分解即可得到答案.

(详解]解；原式=[a2—4)(x—y)

=(a+2)(a-2)(x-y).

故答案为：(Q+2)(a—2)(x-y).

15.若x、y满足m=/-6盯+lOy?一4x+6y+79的，则，〃的最小值.

【答案】66

［分析】依据题意得，m=x2-6xy+10y2-4x+6y+79=(x-3y-2)2+(y-

3)2+66,结合(x-3y-2)2N0,(y-3)2>0,从而可得m二(无一3y-2)2+(y-

3)2+66^66,进而可以判断得解.

本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是

关键.

【详解】解：由题意得，m=x2-6xy+10y2-4x+6y+79

=x2+9y2+4-4x-6xy+12y+y2-6y+94-66

=(r-3y-2>+⑶-3)2+66.

(x-3y-2)2>0,(y-3)2>0,

•••m=(x-3y-2)24-(y-3)2+66>66.

•t-zn的最小值为66；

故答案为：66.

16.己知△ABC的三边的边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2-2b(a+c)+c2=0,判断

此三角形的形状为一.

【答案】等边三角形/正三角形

【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式变形为(a-b)2+(b-c)2=0,艰据

平方的非负性可得a=b，b=c,进而可得a=b=c,即可求解.

【详解】解：0a24-2b2-2b(a+c)+c2=0,

0a2+2b2—2ab-2bc4-c2=0.

S(u2-2ub+b2)+(疗-2bc+c2)=0,

回(a—b)2+(b—c)2=0,

国a—b=0,b—c=0,

0a=b=c,

=b=c,

团△ABC是等边三角形，

故答案为：等边二角形.

三、解答题(本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(8分)因式分解：

(l)x2-4y2(2)x2-5x+6(3)3a2-Gab+3b2

【答案】⑴(x+2y)G-2y)

(2)(x-2)(x-3)

(3)3(a—b)2

【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法.

(1)利用平方差公式进行因式分解即可；

(2)利用十字相乘法进行因式分解即可；

(3)先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】⑴解:x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；

(2)解：x2-5x+6=(x-2)(x-3)；

(3)解：3a2-6ab+3b2=3(a2-2ab4-b2)=3(a-b)2.

18.(10分)已知x+2y=5,xy=1.求值：

(l)2x2y+4xy2

(2)(x2-2)(2y2-1)

【答案]⑴10

(2)-17

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分解因式，正确计算是解题的关键.

(1)把所求式子分解因式得到2%2y+4xy2=2xy(x+2y),据此利用整体代入法求解

即可；

(2)先根据多项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后变形为2(9)2-

(x4-2y尸+4xy+2,据此利用整体代入法求解即可.

【详解】(1)解：(3%+2y=5,xy=1,

E2x2y+4xy2=2xy[x+2y)=2x1x5=10；

(2)解：0x+2y=5,xy=1,

S(x2-2)(2y2-1)

=2x2y2—4y2—%24-2

=2x2y2-(4y2+x24-4xy)+4xy+2

=2（孙）2-（%+2y）2+4xy+2

=2xl2-52+4xl+2

=-17.

19.（10分）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a?+川=2。。+14b-99,

求△ABC周长的最大值.

【答案】△4BC周长的最大值为23

【分析】本题考查的知识点是运用完全平方公式变形求值、三角形三边关系的应用，解

题关键是熟练掌握完全平方公式.

先运用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得到。、力的值，再根据三角形的三边

关系求出。的值即可求解.

【详解】解：团2a2+乂=20a+14b-99,

整理，得2a2-20a+50+*一14b+49=0,

2（a2-10a+25）4-（b2-14b+49）=0.

2（a—5产+（b-7）2=0,

0a-5=0.6-7=0.

解得a=5,b=7,

由三角形三边之间的关系，得7-5<cV7+5,艮12VcV12,

•••c为正整数，△ABC周长最大，

c-11

Q+匕+c=5+7+ll=23,

即A/BC周长的最大值为23.

20.（10分）阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），

不仅可以筒化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便丁观察如何进

行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法"，卜.面是小涵同学用换元法对多

项式（7-9）（无2+1）+25进行因式分解的过程.

解：设/=y,

原式=（y-9）（y+1）+25（第一步）

=y2-8y+16（第二步）

=（y-4）2（第二步）

=(x2-4)2(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：；

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：：

⑶请你用换元法对多项式(7+2x)(/+2%+2)+1进行因式分解.

【答案】⑴C

(2)(%+2)2(%-2/

⑶a+I)4

【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公

式法分解因式是解题的关键.

(1)根据完全平方公式进行分解因式：

(2)最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止；

(3)仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式.

【详解】(1)解：由y2—8y+16=(y-4/可知，小涵运用了完全平方公式法进行因

式分解，

故选：C；

(2)解：由(“2_4)2=[(%+2)(%-2)产=(x+2)2(%-2/得该因式分解的最后结果

为(％+2)2(%—2/，

故答案为：-+2)2(》-2)2；

(3)解：依题意，设产+2%=丫，

(x2+2x)(x2+2%+2)+1

=y(y+2)+l

=y2+2y+1

=(y+1)2

=(x2+2x+I)2

=[(x+l)2]2

=(x+l)4.

21.(10分)“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通

过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.我们学习过•元•次方程，因此在求

解二元一次方程组时，通过"消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比

求解二元一次方程组，小明对一元二次方程/+8x-9=0求解过程提出了如下思考：

①若ab=0,则有a=0或者6=0；

②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，%2+8x-9=(%+9)(x-1),

③当欠2+8x—9=0时，(%+9)(%—1)=0

④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程和，这是一个"降次"的过

程.

⑤即％=-9或%=1

请根据小明的思考过程，完成下列问题：

⑴序号④中的两个一元一次方程分别为和

⑵应用小明的思路，求解卜.列两个一元二次方程：

①/_7x-18=0：②2/+Sx-3=0

【答案】(1)%+9=0；%-1=0

(2)①与=-2,x2=9;②/=px2=-3

【分析】本题主要考查因式分解一十字相乘法解一元二次方程，解答本题的关键是熟练

掌握因式分解的方法.

(1)根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零〃可得答案；

(2)①把一18分解成一9与2的积，且-9+2=-7,方程可变形为(％+2)(%-9)=0.

故可解答：

②把2分解成2XL-3分解成一lx3,而1x(-1)+2x3=5,故方程可变形为

(2%-1)(%+3)=0故可解答.

【详解】(1)解：Q+9)(%-1)=0,

0为+9=0或%一1=0，

故答案为：%4-9=0；x-1=0；

(2)解：①/一7%-18=0,

(x+2)(%-9)=0,

x+2=0或x—9=0.

=—2,%2=9：

@2x2+5x-3=0，

(2无一1)(乃+3)=0,

2x-1=0或x+3=0.

团％1=1,x2=-3.

22.(12分)阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式/+bx+c变形为a+m)2+zi的

形式，然后由(x+m)z>0就可求出多项式/+以+c的最小值.

例题：求多项式/-4x+5的最小值.

解：x2-4x+5=%2-4%4-4+1=(%-2)2+1.

因为(％—2)220所以(％—2)2+)N1,当-=2时:0-2)2+1=1,

因此(无一2)2+1有最小值，最小值为1,即/一4x+5的最小值为1.

通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

⑴【理解探究】

①已知代数式A=/+10x+20,则A的最小值为；

②将代数式一/+6汇+15化为a(x+m)24-k的形式;，并求出它的最大值.

(2)【类比应用】

张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是(3Q+2)米、(2a+5)米,

乙菜地的两边长分别是5。米、(Q+5)米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，

并说明理由；

【答案】⑴①一5；②一(工一3)2+24,24

(2)S甲〉S乙，理由见解析

【分析】此题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关犍.

(1)①仿照材料的方法将代数式/+10%+20变形为(％+5产-5,再利用非负数的

性质即可求出最小值；

2

②仿照材料的方法耨代数式-/+6x+15变形为-Q-3)十24,再利用非负数的性

质即可求出最大值；

(2)用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可

得出结论.

【详解】(1)解：®A=x2+10x+20=x2+10x+25-5=(x+5)2-5,

因为Q+5/NO所以(x+57一5之一5,当％=-5时，(%+5)2—5=-5,

因此Q+5)z-5有最小值,最小值为-5,即％2+10%+20的最小值为-5,

:A的最小值为一5；

故答案为：-5；

@—x2+6%+15=-x2+6x-94-24—(x2—6x4-9)4-24=—(x—3)2+24,

因为a-3)2NO,所以-a-3)2KO,

所以-0-3)2+24w24,当％=3时，一(％-3)2+24=24,

因此一(无一3尸+24有最大值，最大值为24；

(2)甲菜地的面积S甲=(3a+2)(2a+5)=6a2+19a+10,

乙菜地的面积S乙=5Q♦(Q+5)=5a2+25a,

S甲一S乙=(6a2+