广东省东莞五校2025-2026学年高二年级上册联考数学试题+答案

广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.数列一1,：,一；,：,一：……的一个通项公式为（）

2345

A.2B.二C.SD.3

nnnn

2.若等差数列｛册｝满足%+Qii=%则。7=（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图，已知平行六面体力BCD-48'。'。'，则而+反+沅）

A.ATB.BDC.~ACD.FD

4.设£R,向量日=（l,x,y），b=（2,—4,2）,。〃力，则2T—y=（）

A.-7B.-5C.-3D.I

5.中心在原点，顶点在工轴上，且一个焦点在直线3%-4y+12=0上的等轴双曲线的方程

是（）

A.y2-%2=4B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.x2-y2=8

6.若两定点4（-1,0）,B（l,0）,动点P满足&|P川=|PB|,则动点P的轨迹围成区域的

面积为（）

A.2TTB.4TTC.4V2TTD.8TT

7.已知椭圆盘+\=1（Q>b>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,焦距为4,若直线y=

-当。-2）与椭圆交于点M,满足乙MF[Fz=2乙MF2A，则离心率是（）

A.V3—1B.y/3+1C.—D.—

23

8.如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：P=2%绕具顶点分别逆时针旋转

90°,180°,270°后所得的三条曲线及抛物线。闹成的，则卜列说法错误的是()

A.开口向上的抛物线的方程为y=：/

B.四叶图上的点到点。的距离的最大值为2a

C.四叶图的面积小于6

D.动直线％+y=C被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为苧

二、多选题

9.下列说法中，正确的有()

A.已知直线，1：x+ay-a=0,"始终过定点(0,1)

B.直线y=kx-2在y轴上的截距是2

C.直线y二63+1的倾斜角为30。

D.过点(5,4)并且倾斜角为90。的直线方程x-5=0

10.已知平面a与平面77的法向量分别是可，石，直线，的方向向量为出则下列命题正确的是

()

A.若可••五=0,则al。B.若可/阻，则Z1/?

C.若可•/=(),贝〃_LaD.若荻•五二0,贝

11.已知曲线C：mx2+ny2=1,则下列命题中，正确的是()

A.若m=则曲线C表示圆，且半径为户

Nm

B.若nmVO,则曲线C表示双曲线，且渐近线为y=±&x

C.若m=0,72>0,则曲线C表示两条直线

D.若0<m<九，则曲线C表示焦点在工轴上的椭圆

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.两平行直线3%4-4y-1=0和6%+8y-11=0的距离为.

13.已知点力(1,2)在抛物线C：y2=2px±,则点A到抛物线C的准线的距离为.

14.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行在每一列都分别是等差数列.记第“亍

第1列的数为(其中"WN+),则%,7=，数字2026在表中总计出现次.

234567•••

35791113・・・

4710131619・・・

5913172125•••

61116212631…

71319253137•••

・・・•••・・・・・・・・・・・・・・・

四、解答题

15.已知数列｛%)前几项和为品=n2+1.

⑴试写出数列｛斯｝的前3项，并判断数列｛册｝是否等差数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式斯•

16.已知圆C的圆心在x轴上，且经过力(-1,1)和8(1,3)两点.

(1)求圆C的方程：

(2)过点P(3,2)的直线I被圆C截得的弦长为6,求直线，的方程.

17.记又是公差不为0的等差数列也〃｝的前〃项和，若。3=$5，。2a4=S〃

(1)求数列｛册｝的通项公式册；

(2)求使配成立的〃的最小值.

18.在正四棱柱ABCD-AiBiGDi中，力①=2AB=2,E为CC1的中点.

(1)求证：AG〃平面8DE；

(2)求证：&E_L平面8DE：

(3)若尸为BBi上的动点，使直线力/与平面8DE所成角的正弦值是李求0尸的长.

19.已知椭圆嘘+”1(2＞坟＞0)的离心率为今

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(2,0)的直线，交椭圆C于4B两点，且|48|=2应，求直线，的方程；

(3)如图，直线GH为椭圆。与抛物线G：y2=2Px(p＞0)的公切线，其中点G,〃分别在椭圆。与

抛物线Q上，线段OH交C于点N,求△NG"的面积的最小值.

试卷第4页，共4页

《广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBCBDDADADAB

题号11

答案ACD

1.D

【分析】根据数列的规律性进行判断即可.

【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第九项的数字是匕结合正负性，

n

所以该数列的一个通项公式为

n

故选：D.

2.B

【分析】利用等差中项的性质进行计算.

【详解】因为｛Qj是等差数列，所以。7=空答=2.

故选：B

3.C

【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可.

【详解】因为平行六面体ABC。-A&C'。，,

所以6+BC=AC,AC-^CC1=42，

所以n+BC+CC1=AC1.

故选：C.

4.B

【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可.

【详解】因为2=(l,x,y),b=(2,-4,2),2〃。，

所以］2=2y,解得％=Ty=1.

所以2%-y=-5.

故选：B.

5.D

【分析】由题意可求出直线3x—4y+12=0与x轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条

答案第1页，共12页

件双曲线为等轴双曲线即可得出结论.

【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在％轴上，所以双曲线的焦点在％轴上，

又因为双曲线的一个焦点在直线3%-4y+12=0匕令y=0,得x=-4,

所以c=4,又。2=坟=12=8,所以等轴双曲线的方程为“2一、2=8.

故选：D.

6.D

【分析】设P点的坐标为（x,y）,利用两点间的距离公式代入等式企|P川=|PB|,化简整理

得（x+3）2+y2=8,所以点P的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出

所求图形的面积.

【详解】设P点的坐标为（x,y）,•・•?1（—1,0）,B（l,0）.动点P满足迎上川=|PB|,

:•五yj（x+1）2+y2=Ja-1）2+y2,两边平方化简得a+3）2+y2=8,

・••点P的轨迹是以（一3,0）为圆心、2鱼为半径的圆，

因此，点P的轨迹所包围的图形的面积S=n-（2V2）2=87r.

故选：D

7.A

【分析】先根据直线过定点尸2求出乙河尸2&,进而可判定△MFiF2为直角三角形，根据椭圆

的定义即可求出a，进而可求出椭圆的离心率.

【详解】因为焦距为4,所以c=2,所以£（-2,0）,尸2（2.0）.

因为直线》二一苧（工一2）过点尸2（2,0）,斜率为一日，所以2MF2尸1=30°,

那么4MF/2=60°,所以尸2为直角三角形，

所以IMFJ=［尸闻=2,|M砧=当田⑥=2V3.

根据椭圆的定义得IMF/+\MF2\=2a,所以Q=1+6.

所以椭圆的离心率为e=£==V3—1.

故选：A.

答案第2页，共12页

【分析】对于A,利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B,

联立抛物线方程，求出点A的坐标，即得四叶图上的点到点。的距离的最大值|0川：对于

CD,由图像对称性，当与。4平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何

意义可求切点根据对称性再得到N6,1),即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一

半的面积小于S”做与SNQQ的差，所以求出5A°AQ与S“QQ的差，即可判断阴影区域面积小

F6.

【详解】由题知p=l,开口向右的抛物线方程为y2=2%,焦点/G，0),

所以开口向上的抛物线方程为无2=2y,即y=故A正确;

乂/=：=I；：；，所以4(2,2),

(xz=2y

所以四叶图上的点到点。的距离的最大值|。*=2V2,故B正确;

,■^OA-y=x»且在笫象限的区域关0A对称，直线x十y二C与直线。A垂直,

所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与。力平行的直线分别与抛物线相切时,

设切点为M,N,开口向上妁抛物线方程为y=

又旷=¥=1,所以切点由对称可得切点Nc，1)，

此时弦长最大值|MN|=1,故D错误；

答案第3页，共12页

切线MR的方程为y=%4与x轴交点R&0),

过点4(2,2)的切线方程为y=2%-2,与不轴交点Q(1,O)，与切线MR的交点Pg1),

由图知第•象限花瓣一半的面积小于鹿。代与S“QR的差，

■:S^OAQ-SMQR=|xlx2-1x(l-1)xl=^,

所以阴影区域面积小于gg.oAQ—S“QR)=8xq=6,故C正确：

故答案为：D.

9.AD

【分析】代入验证可判定A；根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系

可以判定C；根据倾斜角为90。的直线斜率不存在，方程为％=。的形式，进而可以判定D.

【详解】对于A,*/0+GX1—a=0»可知A正确；

对于B,由直线的斜截式方程可知，直线在y轴上的截距是-2,B不止确；

对于C,由方程y=V5%+l可得直线的斜率为百，可知倾斜角为60。，故C错误；

对于D,根据倾斜角为90。的直线斜率不存在，方程为％=Q的形式，

再根据经过点(5,4),・••直线的方程为x=5,故D正确.

故选：AD

10.AB

【分析】对于A,由已知可得再1五，从而得al/?,即可判断：对于B,由已知可得2_L/?,

即可判断；对于C,由已知可得〃/a或/ua,即可判断；对于D,由已知可得〃//?或Iu/7,

即可判断.

【详解】对于A,因为汨•荻=0,所以/_L可，所以aJL/?,故A正确；

对于B,因为芯〃落所以d_L£,即，_L0,故B正确；

对于C,因为宙•&=0,所以41优

又因为qla,所以〃/a或，ua,故C错误；

对于D,n7-a=0,所以荻JLd,又因为荻10,

所以〃/或1u0,故D错误.

故选：AB.

II.ACD

【分析】结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可.

答案第4页，共12页

【详解】选项A：若m=n>0,方程可化为/+y2=:，符合圆的标准方程，其中圆心坐

标为(0,0),半径为户,故选项A正确.

7m

选项B：若nm<0,则m、八一正一负，此时曲线为双曲线.

若m>0,n<0,方程可化为苧•一当=1,渐近线为y=±序=土反

mn

若mvO,n>0,方程可化为］一兰=1,渐近线为y=±

nm

故选项B错误.

选项C：若m=0,n>0,方程可化为?iy2=i,即y=±R,表示两条平行于4轴的直线,

故选项C正确.

选项D：若0<zn<n,方程可化为；~+彳—1,由0<m<n得\>j>0,所以曲线C表

mn

示焦点在x轴上的椭圆，故选项D正确.

故选：ACD.

12.-/0.9

10

【分析】直线3%+4y—1=0与直线6%+8y—11=0为平行线，根据两平行线间的距离公

式4=^^即可求得答案.

【详解】将直线3x+4y-1=0,化简为6x+8y-2=0,

6x+8y-ll=0与6无+8y-2=0是平行线，

根据两平行线间的距离公式d=痔鲁得，

两平行线间的距离为啮署1=2

V62-8210

故答案为：4.

13.2

【分析】将点4代入抛物线方程，求出p及准线方程，进而可得出答案.

【详解】因为4(1,2)在抛物线C：y2=2Px上，

所以4=2p,解得p=2,

故抛物线C的准线为％=-1,

所以点A到抛物线C的准线的距离为1-(-1)=2.

答案第5页，共12页

故答案为:2.

14.5015

【分析】根据“森德拉姆数筛”的特点可写出通项公式，进而可得的,7及2026出现的次数.

【详解】由己知Qjj=%,1+i(J-1)=Qi」+(i—1)+i。-1)=2+i—1+ij—i=ij+1,

所以a”=7x7+1=50,

令%j=i/+1=2026,

贝W=2025,

又ijEN+，

设i与J所表示的数对为(ij)，

则其可能的取值有(1,2025),(3,675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75),(45.45),

(75,27),(81,25),(135,15),(225,9),(405,5),(675,3),(2025,1),共有15个,

即数字2026共出现15次，

故答案为：50,15.

15.(1)2；3；5,数列｛册｝不是等差数列.

⑵即=]竺=±

nL2n-l,n>2

【分析】(I)利用S〃求出数列前几项，根据等差数列定义判断是否满足即可.

(2)令n=l,求出。1，利用册=Sn-Sn—1求出册，并验证〃=1是否满足.

【详解】(1)由土=n2+1得m=S]=2,

%=S2-S]=5-2=3,

=-=

ct3^3—5=5»

。2—=1，。3—。2=2，

因为。2—工。3—

所以数列｛即｝不是等差数列.

(2)当n=l时，％=$1=2；

22

当n>2时，a”=Sn-Sn_j=n+1-[(n-l)+1]=2n-1；

验证九=1时，2几一1=1工2,不满足上式，

所以即=2•

16.(l)(x-2)2+y2=10

(2)%=3或3%-4y-1=0

答案第6页，共12页

【分析】(1)设圆C的方程为"+y2+Dx+Ey+F=。，根据已知条件列出方程组求解即

得；

(2)分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.

【详解】(1)设圆C的方程为/+y2+D%+Ey+/7=o,

(-1=0»(D=-4,

则J+E+F+2=0,解得|E=0,

(D+3E+F+10=0,=-6.

所以圆C的方程为/+y2-4x-6=0,即(x-2)2+y2=10.

(2)因为直线，被圆C截得的弦长为6,

所以圆心到直线传勺距离d=Vr2-32=1.

当e的斜率不存在时，直线，方程为％=3,符合题意.

当［的斜率存在时，设直线［方程为y-2=/c(%-3),即kX-y-3k+2=0

则d=用等=1.解得A=*

Vk2+14

此时直线，方程为y-2=；(%-3),BP3x-4y-1=0.

综上所述，直线2的方程为％=3或3x-4y-l=0.

17.(l)an=2n-6；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得。3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公

式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：S5=5a3,贝ij：a3=5a3,.-.a3=0,

设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=伍3-刈(的+乃=一6/2,

54=%+a2+%+=(。3—2d)+(a3—d)+a3+(a3+d)=-2d,

从而：-d?=-2d,由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：=。3+(九一3)d=2n-6.

(2)由数列的通项公式可得：g=2—6=—4,则：=nx(-4)+竺FX2=M-5%

则不等式Sn>Qn即：n2-Sn>2n-6,整理可得：(〃一1)(九一6)>0,

解得：n<1或九>6,乂n为正整数，故"的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟

练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18.(1)证明见解析(2)址明见解析(3)V3

答案第7页，共12页

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，(1)求出平面BOE的法向量，利用4cl•九二0证明

即可；

(2)利用4；。而即可证明；(3)设点尸的坐标为(I,I,1),由线面角公式可求出入即可

利用向量的模求0尸的长.

【详解】如图建立空间直角坐标系D-xyz,

0(0,0,0),41,0,0),8(。1,0),C(0,1,0),力JI,0,2),当(1,1,2),Ct(0,1,

2),D/0,0,2),E(0,1,1)

(1)证明:设平面BDE的法向量1=(%,y,z),

DB=(1,1,0),DE=(0,1,1)

由伊巫二。，即此

In-DF=0ly+z=。

取％=1,得九=(1,-1,1),

-♦

又4G=(-1,1,2),

因为力乙•3=-1x1+1x(-1)+2x1=0,所以AZ11n,

所以AQ〃平面80E.

(2)证明：由(1)可知；=(1,-1,1),

A[E=(-1,1,-1),4；£=-1,所以A：£7斤，

所以力】£_L平面3DE.

(3)设点F的坐标为(1,LA),

一

公产=(o,1,A-2),

答案第8页，共12页

设直线力i尸与平面BDE所成角为a,则

_1-3

sina==渔,

%/卜|可6M+a-2产

解得;1=1,

所以点尸的坐标为(1,1,I),DF=(1,1,1),\DF\=V3,

所以。尸的长为V5.

【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查

了运算能力，属于中档题.

19.⑴！+y2=

(2)y=0

⑶(

【分析】(1)由题意列式求解b,c的值,代入口」解;

(2)解法一：设直线，的方程为y=k(x-2),由弦长公式列式计算可解；解法二：由椭圆

的长轴长2a=2加,先证得椭圆三+y2=i在圆/+力=2内，再证明长轴是最长的弦,

且唯一即可求解:

(3)直线G4的方程为y=7ix+",直线与椭圆联立方程由题意可得小=宁，直线与抛物

线方程联立方程由题意可得M=：，进而可得直线直线。H与椭圆联立方程可

得孙=亍二，由点到直线距离公式及三角形面枳公式列式结合基本不等式

计算可解.

【详解】(1)由题意可得2a=2鱼，UPa=V2.

因为椭圆。的离心率为所以e=£=?,所以c=l,

所以标二02一°2=1,

所以椭圆C的方程为9+)2=1；

(2)解法一：显然直线/的斜率存在,

设过点(2,0)的直线，的方程为y=k(x-2),

2

x2_

联立方程号+y二】'

y=k(x-2),

答案第9页，共12页

消去y整理得(1+2k2)d一8k2x+81—2=0,

则A=64k4-4(1+2k2)-(8k2-2)>0,即江<

设力(》1，丫1)，8(乃2，月)，

.|.8k28k2-2

m9

贝1+Xo/-l+2k27Xi1X7/-l+2k2r

2

由弦长公式可得|43|=V1+k\xx-x2\=H-J(.q+小)2-4%IX2

l———64k44(8/c2-2)

=yjl+k-(]+2妙尸-1+2H

l-2/c4-k2+l

=2后j4Ar4+4/c2+l=2V2

解得攵20或k2=一”舍),

=6

所以k=0,即直线I的方程为y=0.

解法二：椭圆的长轴长2a=2V2,

又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而|/18|=2鱼=2Q,

所以线段48为长轴，

又点(2,0)在长轴所在的直线x轴上，所以直线AB的方程为y=0.

以下证明椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一：

任取椭圆上一点上o(m,〃)，则9+1=1,所以"2=1-^>0

所以m2+九2-2=血2+(1一拳)—2=—1<0,

所以血？+n2<2,所以椭圆上任一点P()(m,n)均在圆/+V=2内,

当且仅当m=±y/2,n=。时取等号，即