函数之数形结合类型大全-高三数学二轮复习讲义

函数之数形结合类型大全二轮复习讲义

知识梳理

数形结合的题型在高三模拟试卷和高考试卷中屡见不鲜。很多学生遇到此类型都选择跳过。

但实际上，数形结合的类型通常只有几种。只要把所有的类型总结好，考试的时候就能轻松

拿分。下面这一道题涵盖了数形结合中好几种类型，大家需要熟悉并掌握题目，多整理多总

结。

一题多型

例：（多选题）设函数，则下列命题正确的是（）

A.若方程,"x）=Q有四个不同的实根和为，对王，则再•S-3・匕的取值范围是（°，1）

B.若方程f（x）=a有四个不同的实根xi,x2,x^x4,则为+x2+七+Z的取值范围是

（0,+00）

C.若方程/（x）=ar有四个不同的实根，则。的取值范围是

/1\

D方程/⑴一a+-7（x）+1=0的不同实根的个数分别是1,2,3,6

Ia

此题包含了三种数形结合类型

①多变量变单变量；

②已知根的个数求参数范围；

③复合函数根的个数问题,

卜面我们开始对不同类型一一进行探索。

类型一多变量变单变量

精选例题

e叫

1.已知函数/。）=4八，函数），=/（刈-。有四个不同零点，从小到大依次为

x+——3,x>（）

x

芭,％2，0匕，则实数。的取值范围为：XW+EZ的取值范围为.

答案：（1,4（4,5）

深度解析•：此类问题看起来复杂，但是只要画图准确，•切便可迎刃而解了。有图可知百,看

44

关于x=T对称，所以得等式x+x,=-2；而关于与，凡，由式刍+—-3=七十一—3可

七%

得工3工4=4。以上，可知司工2+工3工4=（一2-々）々+4=—超2-2工2+4一1〈工2<0），得

到了关于々的二次函数，所以最后的取值范围（4,5）o

2.已知4)七丁,若存在工2＞玉＞0，使得/(z)=勿GJ，则百・7(%2)的取值范

围是()

答案：(O,：)u[e2,y)

深度解析•：此题较难。难点在于%,工2的取值范围需要考虑全面。此题分三种情况：情况一，

当0cMe々＜1，则有f(工2)="Gi)=＞工2=%，所以*•)=X•4=叫2,此时

%|efo,-,所以王=的范围是0,11.情况二：当。＜王〈14八，则有

kej-ke)

/(8)=靖(xj=e*2=e再，但此时若满足当21的要求，则玉之1所以与预设情况相悖，

x,

所以情况二不存在；情况三，当1W内＜尢2，则有/(工2)=)—＞6必=e•e-＞x2=占十1,

所以为•/(%)=M./2二芭•，此时%£[1,4^0)，所以为•/(/)=%,/2=X,"小单

调递增，所以范围是12,+8)

£(\J-X--ZXA＜0

☆设函数[门仃＞。-，则下列命题正确的是()

A若方程/(x)=Q有四个不同的实根玉,戈2，0匕，则七•々,七,匕的取值范围是(°，1)

8.若方程/(x)=4有四个不同的实根用,々，工3，工4，则2十%十七十X4的取值范围是

(0,+CO)

深度解析：由图可知/它的等式为工1+/=-2；小，%的等式为七・兀=1，对于4选项，

2

X]-x2-x3-x4=(-2-A^)-X2=-X2-2X2,此时/ETO)，所以最后取值范闱是(0,1)。

对于8选项，x1+x2+x3+x4=-2+x3+—,此时X3£(L1]，所以最后取值范围是

占)

类型二已知根的个数求参数范围

此类型我们可以细分两类：①根的个数问题转化成曲线与直线的交点个数问题，进而转化成

过一点找切线斜率的问题；②直接分离参数。，转化成y=a与新函数的交点个数问通，利

用求导画出新函数的大致图象。

精选例题

☆设函数，则下列命题正确的是()

C若方程/(6=公有四个不同的实根，则。的取值范围是［0,-|

深度解析：此题为上述①类型，根的个数问题转化成曲线y=/(x)与直线y=kx的交点个

数问题，因为)，=依恒过原点，进而转化成过原点找切线斜率，我们可将直尺水平过原点，

逆时针旋转，旋转过程中找到符合题意的根的个数，确定之后求参数范围。有图可知，当直

线),=心■与y=lnx相切时正好由四个交点，设切点(%,In/),则2=’-,可得切线方程

%

为y——再将原点坐标代入可得x0=u,所以此时％=,。所以C选项为

/e

错误选项。如果题目是方程/(九)=办有五个不同的实根，则。的取值范围是［0,,］

e)

y

L（多选题）已知关于x的方程下列结论正确的是（）

2

A当时，该方程有唯一的实根

2

区当。=〃时，该方程有两个不同的实根

。.当时，该方程有两个不同的实根

12

D当/V。〈/时，该方程有三个不同的实根

答案：ABD

深度解析：通过题目不难看出，当戈（0时，），=/与），=/必然有一个交点。但是当x〉0

时，），=优与y=F的图象的交点便不好把握，所以需要给等式变形，最简单的方法是两

边取对数，则转化成xlna=21nx,分离参数可得到g。=2七，设/（工）=生丫，求

XX

导f（x）=2（lTn』）,当x=e时，/（A-）max=/（e）=-,当xw（0,e）时，/（x）单调递增，

xe

当工£伍+8）时，/（X）单调递减。可得到/卜）图象如下：

所以，当时，该方程有唯一的实根；当。=/时.，该方程有两个不同的实根；当

2

0＜。工/时，该方程有三个不同的实根。

类型三复合函数根的个数问题

此类型非常明显，g[/(刈可拆解成y=/(x)和z=g(y)=A)，2+B)，+C,值得注意的是

外面的函数一定是关于y的二次函数，最多有两个解。所以我们需要做的是首先画出

y=/(x)的图象，看一条横线画过去最多能有几个解，再分析y的个数。

假设市(刈=0有4个根，则有以下情况：

A=0

z=g(y)—1个%—4个x

2=+)售｛；；絮或归案

精选例题

1.已知函数f(x)=，则函数g(x)=2[/(x)F-3/(幻一2的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案：B

深度解析•：画出/(X)的图象，如下图。

2[/WF-3/(x)-2=0=>(2/(x)+l).(/(x)-2)=0«所以可以解得y=—g,%=2。

所以，看图可知，总共有3个交点。

丫

2.已知函数/(x)=—,若关于x的方程/2(工)一4(6+1=0有4个不等的实数根，则实

数。的取值范围是(

答案：(工+G+30)

深度解析：画出/(X)的图象，如下图。

可知一条水平线画过去最多能有3个解，所以/2(x)—a/(x)+|=0二次方程有两个不同的

实根加为，假设X＜丁2,所以不难看出X£°，;)，丁2£(3，+8)。之后画出满足)'］，＞?2

范围的二次函数z=/2(x)-^(x)+1=y2-ay+1的图象。找到。的取值范围。

3.已知关于x的方程为(厂一3.=3d-2+2(1一3)则其实根的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案：B

深度解析：本题属于难题，可能乍看之下没有思路，但是总结过后就会发现等式中多次出现

/\/2_aV9r2_32_Q

(一一3)和所以两边同除短，得到土r丁=4+--^-^,设/⑴=土r丁，则

e)e~eee

此题变成求［/'(x)『-2/q)_N=o,即|7(x)—21.f/(x)+4=o,所

eee~\e)\eJ

以x=3,%=—1。现任务是画出/(九)=2?的图象，求导

e-ee

/'(x)=2x：+3=(3)；(x+l),