江西省新余市分宜县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

2024.2025学年江西省新余市分宜县九年级（上〉期末

数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x2=X+1B.y2-i-x=\C.2x+l=0D.X+—=1

X

【答案】A

【解析】

【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做

一元二次方程.

【详解】解：A：满足一元二次方程的定义，符合题意；

B：含有两个未知数，不符合题意；

C：未知数的最高次数是1,不符合题意；

D：是分式方程，不符合题意；

故选：A

【点睛】本题考查•元二次方程的定义.熟记相关结论即可.

2.卜・列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

【答案】D

耕斤】

【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果

旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.据此进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意：

故选：D.

3.如图，是。。的直径，BE是弦,延长无交CD的延长线于点A,连接CE,若

NA=22。,NACE=16。，则NBC七的度数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】如图，连接OE，证明NDEC=90°,可得/EDC=90。-16。=74。，由四边形OEBC为圆的内

接四边形，可得N3=180。—74。=106。，ZACB=180°-22°-106°=52°,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接。石，・・・。。为直径，

・•・ZDEC=90°，

■:ZACE=\60,

:.ZEZ)C=90°-16°=74°,

•・•四边形OE8C为圆的内接四边形，

・•・ZB=180°-74°=106°,

VZA=22°,

・•・Z4CT=180°-22°-106°=52°,

・•・ZBCE=52O-16°=36°：

故选B

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合

适的辅助线是解本题的关键.

4.有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06nf的长方形？设长方形的长为xm,依题意，下列

方程正确的是()

A.工(1-x)=0.06B.x(l-Zr)=0.06C.A(0.5-X)=0.06D.2A(1-2¥)=0.I)6

【答案】C

【解析】

【分析】设长方形的长为皿，则设长方形的宽为(0.5-x)m,根据长x宽=0.06m2列出方程即可.

【详解】解：设长方形长为mz,则设长方形的宽为(0.5-x)m,由题意，得

x(0.5-x)=0.06

故选C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出•元二次方程.设出长方形的长为xm,根据长方形的周长公式用

含X的代数式正确表示长方形的宽是解题的关键.

5.如图，反比例函数)，=’的图象与矩形A8CO的边4B、8c相交于E、尸两点，点A、C在坐标轴上.若

X

BE=2AE,则四边形OE8产的面积为()

【答案】B

【解析】

【分析】如图，连接OB.想办法证明S.OBE=SzX)BF=l即可解决问题;

【详解】解：如图，连接OB.

SAOBE=2SAOAE»

•.•E、Fffiy=-±,四边形AOCB是矩形，

x

=

••SAAEO=SAOCF二万,SAOBCSAOBA,

••SAOBE=S^OBF=2SAOAE=1>

：・S四边形OFBE=2.

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的特征，矩形的性质等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解快问题，属于中考常考题型.

13

6.如图，抛物线y=的图象与坐标轴交于点4,B,D,顶点为4以AB为直径画半圆交y

负半轴交于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点，连接EP.

①点E在。V的内部；

②C。的长为之一百：

2

③若P与。重合，则NOP£=15°；

④在P的运动过程中，若AP=2X5,则PE=4i+遥;

⑤N是PE的中点，当。沿半圆从点A运动至点8时，点N运动的路径长是兀.

则正确的选项为（〉

A.&@@B.②③④C.②③⑤D.③④@

【答案】D

【解析】

【分析】①ME=2=AM,可知点E在。M上，答案可求；

3

②由题意，0D=-,利用勾股定理0C可求，故CD=OC+O/),结论可得；

2

③由锐角三角函数可求NOCM=30。，利用平行线和等腰三角形的性质可求NEC£>=g/OCM=15。，结论

可得;

④连接£4,EB,过点A作AK_LPE于K,利用圆周角定理和锐角三角函数求得AK,EK,KP,则尸E=

EK+PK,结论可得；

⑤连接则可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长.

【详解】解：•・？=--x12+x+-=--(X-1)2+2,

222

・•・顶点E(1,2).

：.M(1,0).

AOM=1,ME=2.

3

令1=0,则'=5.

3

：.D(0,-).

2

3

：,OD=-.

2

13

令y=0,则——x2+x+—=0.

22

解得：x=-1或x=3.

:小(-1,0),B(3,0).

：.OA=\f08=3,

：.AB=4.

・・・0M的半径为2；

①1・ME=2,。加的半径为2,

・•・£点在。M上.

故①不正确；

②连接MC,则MC=2,如下图：

，NOCM=30。.

・•・OC=MCxcos3()o=G

・•・CD=OC-\-OD=yf3+-.

2

故②不正确；

③连接MC,ME,CE,如下图:

♦：ME"OC,

：.NMEC=NDCE.

*：ME=MC=2,

：.NMCE=AMEC.

・•・/MCE=ZDCE=|NOCM=15°.

•・•尸与C重合,

：.^DPE=ZDCE=\5Q.

故③正确；

④如下图，连接P8,AE,ME,过点A作4K_LPE于K,

■:ME=2,

・•・£点在（DM上.

.•・ZAEP=ZABP.

•・Y8是圆的直径，

・•・ZAPB=90°.

..,_AP273>/3

••sinNAADBI>P—,'=‘’=‘‘.

AB42

：.NA5P=60。.

JNAEP=60°.

*E=JMA?+ME?=272，

EK=AE*cosZAEP=2^2x—=>/2.

2

AK=AE*sinZAEP=2拒x—=>/6.

2

•・•NAM"90。，

；・NAPE=gNAME=450.

•••△AKP为等腰直角三角形.

：.PK=AK=yf6.

:・PE=EK+PK=V2+x/6.

故④正确：

⑤如下图，连接4E，BE,设AE,8E的中点分别为G,F,连接G尸交ME于点R.

•・・G,F为EA,£27的中点，

•••FG为△E48的中位线.

・"G=；A8=2.

连接MN,

•・・N为PE的中点，M为圆心，

:.MNIPE.

・••点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆.

即点N的运动轨迹是以点G,尸为端点的半圆.

，点N运动的路径长是;、2兀乂1=兀.

故⑤正确；

综上，正确的选项为③④⑤.

故选：/）.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，结合三角函数求解、平行线性质、圆周先定理计算是解题

的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

7.若一元二次方程2/一4戈一1=0的两根为〃?，〃，则3m2一4团+〃2的值为

（发］6

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若为,々是一元二次方程

2bC

a.x+b.x+c=0(a0)的两根时,工］+x=——，%£=—熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关

2a-a

键.

根据根与系数的关系得m+〃=2,tnn=——,2m2—4/z?=1»再把3m2—4〃z+n2变形为

2

22

2,n-4/n+/n+/r，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可.

【详解】解：•••一元二次方程2^-4工-1=0的两个根为机，〃，

c10

..〃z+〃=2,mn——,2〃?~—4〃？=1

2

3m2-4/7?+n2

=2nr-4m+nr+/i2

=m2+"+1

=(m+n)2-2mn+1

,1

=22-2X(--)+1

=6

故答案为：6.

8.如图，已知。。的半径为5,AB是。。的弦，43=8,点C是线段AB上的动点，连接OC,则

OC的最小值是一.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，理解垂线段最短是解题的关键.连接。4,当

OC_LA3时，OC的最小值，由垂径定理可得：AC=-AB=4再根据勾股定理即可求解.

2f

【详解】解：连接04,当OC_LA8时，OC的最小值，

A8是OO的弦，A8=8,

AC2A8=4,

2

,OO的半径为5,即。4=5,

•••OC=>jo^-AC2=A/52-42=3»

故答案为：3.

9.一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球.小明通过多次摸取小球的试验

发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有个红色小球.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考杳利用频率估算概率，利用概率求数量，根据题意，得到摸取到红色小球的概率为0.2,设

盒子里有4个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可.

【详解】解：•・•摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，

・•・摸取到红色小球的概率为0.2,

设盒子里有1个红色小球，由题意，得：x=0.2(x+20),

解得：x=5；

故盒子中约有5个红色小球；

故答案：5.

10.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y='在第一象限内

x

的图象与△A8C有交点，则Z的取值范围是

【答案】226

【解析】

【分析】由于AABC是直角三角形，所以当反比例函数y=-经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此

可得出结论.

【详解】:△ABC是直角三角形，

・•・当反比例函数y二人

x

经过点A时k的值最小，经过点C时k的值最大，

,・，4(1,2),C(4,4)

•，k小小=1x2=2，k必久=4x4=16，

A2<k<16.

故选c.

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键.

11.七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、

一块平行四边形组成.如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自

山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是__________.

【答案】I

【解析】

【分析】设大正方形的边长为2,先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案.

【详解】解：设大正方形的边长为2,

S阴=gxlxl=g,

大正方形的面积=2?=4，

J.

小球停留在阴影部分的概率p=2=l.

-7-8

故答案为：—.

O

【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，0A的圆心为A(6,0),半径为3,8是直线y=x+6在第二象限内的一

个动点，过点B作0A的切线，切点为C,当A5的长为正整数时，8C的的长为.

【答案】66或回或4出

【解析】

【分析［本题考查切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点等知识，先求出直线），=x+6与x轴、

），轴的交点坐标，然后求出的取值范围，结合AA的长为正整数可求正整数根据切线的性质得出

BC1AC,然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，设直线y=x+6与X轴、y轴相交于£、F,

当y=。时，x+6=0,解得x=-6；当y=0时，x=6,

：.E（-6,0）,尸（0,6）,EF=6桓，

•・•A（6,0）,

・・・A£=12，AF=6y/i，

•'-AF2+EF2=AE2^

・•・ZAFE=90°,

•••8是直线y=x+6在第二象限内的一个动点，

/.AF<AB<AE,即6&<A8<12，

•・•A8的长为正整数，

；・A8的长为9、10、II,

•・•8C是OA的切线，

・•・BC1AC,

•BC=y]AB2-AC2=y/92-32=6◎或BC=>JAB2-AC2=\/102-32=顾■或

BC=\lAB--AC2=Vll2-32=4、斤

故答案为：66或拘或4出.

三,解答题

13.关于x的一元二次方程(6一2)d+2x+l=0有两个不相等的实数根，求〃?的取值范围.

【答案】加的取值范围是加<3,且加工2

【解析】

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别

式求解字母系数的取值范围是解题的关键.由一元二次方程的定义可得〃7-2。0,再利用一元二次方程根

的判别式列不等式△=2?-4x贝机―2)>0，再解不等式即可得到答案.

【详解】解：由题意可得：A=22-4xRm-2)>0,且加一2二0,

解得：m<3»且〃?工2,

•••，〃的取值范围是根<3,且mw2.

14.某商场将进价为70元的商品以80元出售，平均每天能售出40个，调查表明：这种商品的售价每上涨

1元，其销售量就减少2个，为了实现每天432元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元？

【答案】这种商品的售价应定为88元或82元

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是理解题意,正确找出等量关系.设这种商品的售价

应定为x元，根据题意列方程即可求解.

【详解】解：设这种商品的售价应定为x元，

根据题意得：

(x-70)[40-2(x-80)]=432

(x-70)(200-2x)=432

(x-70)(100-x)=216

100A--A:2-7(XX)+7(R=216

X2-170X+7216=0

(x-88)(x-82)=0

A1-88,x2—82

答：这种商品的售价应定为88元或82元.

15.如图，二次函数y+c的图象与反比例函数以二生的图象相交于A、B两点,根据图中信息解

（1）求反比例函数和二次函数的表达式；

（2）当时，求工取值范围.

2

【答案】（1）反比例函数的表达式为%=-一，二次函数的表达式为y=/-3

x

（2）x<—2或%>1

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识并数形

结合.

（1）先将A（-2』）代入），2=生，可求得〃?的值，进而确定反比例函数的解析式，再把3（1,〃）代入反比例

函数的解析式求出〃，然后把A、3的坐标代入,=办？+。得到关于〃、。的方程组，解方程组求出《、

。的值，从而得到二次函数的解析式；

（2）当到>%时，即抛物线在双曲线的上方，观察图象得到此时对应的自变量的范围.

【小问1详解】

解：由图可知,A（-2,l）,5（1/）,

将4（—2,1）代入必=:，

可得：m=—2x1=—2»

・••反比例函数的表达式为％=-二，

22

将8(1,〃)代入,2=—可得:〃=—二一2,

X1

.•・3(1,-2),

将A(—2,l),8(1,-2)代入二次函数弘=以？+°中得:

4。+c=1

tz+c=-2

2

二.二次函数的表达式为y=X-3;

【小问2详解】

由图可知，当时，xv—2或x>l.

16.如图，。。是VA4C的外接圆，。是A3边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留

作图痕迹).

(I)如图I,作的平分线.

(2)如图2,延长至点E,作/ACE的平分线.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是:

(1)连接，。。并延长，交。。于M,连接CM即可；

(2)延长交。于N,作射线CN即可.

【小问I详解】

解：如图，CM即为所求，

理由：•・•。是A8边的中点,

：-ODA.AB,

・•・ZACM=/BCM,即CM平分ZACB；

【小问2详解】

解：如图，CN即为所求，

图2

理由：由作图知：是。。的直径，

・・・/MCN=90。，

AAMCB+ZNCE=9(r,ZMC4+Z/VG4=90。，

乂ZACM=NBCM,

:・ZACN=/ECN,即CN平分/4CE.

17.如图，△ABC中，AB=AC,点E是线段8C延长线上一点，EDLAB,垂足为。，石。交线段AC于点

几点。在线段石尸上，。。经过C、E两点,交ED于点、G.

(2)若NE=30。，AD=1,BD=5,求。。的半径.

【答案】(1)见解析；(2)。。的半径为勺叵.

3

【解析】

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NB=NAC8,NOCE=NE,推出NACO=90°,根据切线的判

定定理即可得到结论；

(2)根据已知条件得到NCFO=30°,解直角三角形得到。尸=64。=6,EF=30E=晅,即可得

3

到结论.

【详解】(1)证明：连接CO,如图：

,：AB=AC,

・・・N8=N4C8,

*：OC=OE,

：.£OCE=£E,

,：DEA.AB,

；・NBDE=90。,

••・/B+NE=90。，

・•・N4C8+N03=90。，

・•・NACO=90。，

・・"C_LOC,

・・・AC是。。的切线；

(2)解：VZE=30°,

••・/OCE=30。，

AZFCE=120°,

/.zcro=30°,

・•・ZAFD=ZCro=30°,

：.DF=AD^tan3>0°=舟。=5

;BD=5,

・•・Z)E=BD+530。=56

,:OF=2OC,

•0=30"4G

・3竽

即。。的半径=迪.

3

【点睛】本题考杳了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线

的判定定理是解题的关键.

18.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场

分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标

依次制成A,B,C,。四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.

A.决策类人工智能B.人工智能机器人C.语音类人工智能D.视觉类人工智能

（1）随机抽取一张,抽到决策类人工智能的卡片的概率为

（2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法,

求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率.

【答案】（1）

4

（2）见解析，—

6

【解析】

【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率.

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.

【小问1详解】

解：•・•共有4张卡片，

・•・从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为!：

故答案为：--;

4

【小问2详解】

解：根据题意列表如下:

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果

数为2,

所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率2=1.

126

19.在平面直角坐标系中，二次函数y=or2+bx+c（a>0）的图象经过点（2,c）.

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）若二次函数），=52+队+《4>0）的图象上存在两点4（再，yj,»其中

m-\<x]<m,m+2<x2</n+4,且%=为，求〃?的取值范围.

【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线x=l

（2）—

2

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）,正确设二次函数的顶点式是解题关键.

（1）先求出二次函数经过点（O,c）和（2,c）,再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；

（2）先根据（1）设二次函数的解析式为），=〃（X一1）2+女（々>0）,再求出加一月一为乂不+七一2）,

判断出七一吃<0,2〃7+1<王十/<2〃?+4,从而可得%+%=2,据此建立不等式组，解不等式组即可

得.

【小问1详解】

解：对于二次函数>=u?+6+c（a>0）,

当上=0时，），=c,

・•・这个二次函数的图象经过点（0,c）,

又1•这个二次函数的图象经过点（2,c）,

・•・此二次函数图象的对称轴是直线x=9三2=1.

2

【小问2详解】

解：由（I）可设二次函数的解析式为），=a（x-l）2+A（a>0）,

•・•这个二次函数的图象上存在两点A（/y）,8（%,%），

y1=a^x［-+k,y2=〃（&-1）~+kf

,M-%=［。（％-+&-a^x2-\）~

22

=a（xi-\）-a（x2-1）

=a［（x「l）2—（”1）［

=&（%一々）（石+/-2）,

•/in-l<xl<m,m+2<x2<//z+4,

/.Xj-x2<0,2m+\<x1+x2<2m+4,

:%%。>0，

；・M-%=〃（N-」）（3+^-2）=0,

X］+x2-2=0,即$+々=2,

2/77+1<2v2"z+4,

:.-1V<一.

2

20.如图在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动.黑球到达A处时，从IOcm/s开始减速，每过2秒

减1cm；其运动距离y（单位：cm）由两部分构成：一部分与运动时间1（单位：s）成正比，另一部分与J

成正比，此时，白球在黑球前面70cm处，一直以2cm/s的速度匀速运动.小聪测量黑球减速后的数据如下

表：

运动时间1/S24

运动速度v/cm/s98

运动距离y/cm1936

黑球白球

n___Q

（i）求出u关于，的函数解析式和），关于，的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）求黑白两球之间距离的M，与运动时间，之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白

球.

【答案】（1）v=10--r,y=--z2+10r

24

（2）W=1（/-16）2+6,黑球不会碰到白球，理由见解析

4

【解析】

【分析】（1）设出表达式，利用待定系数法即可求得；

（2）表示出黑白两球之间距离，求最小值即可；

【小问I详解】

解：设表达式为口=灯+匕，

9二24十〃

将（2,9）,（48）代入表达式得:8=以+力，

A:=--

解得：42,

Z?=10

所以，函数表达式为：v=10-^r;

设y=c/+初，将（2,19）,（4,36）代入,

4a+2b=19,

得",，»，解得《

,16。+48=36

/?=10

【小问2详解】

解：设黑白两球的距离为wcm,

1,c八1一/

w=70+2f—y=-1~—St+70=—(/—16)~+6,

44

*.4->0,

4

・•・当/=16时，卬的最小值为6>0,

・•・黑球不会碰到白球.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据条件准确得到表达式是解题关键.

21.如图，直线)，=:X-3与工轴交于点A,与)，轴交于点4,与反比例函数)，=A在第一象限内的图象

2x

交千点C(，九/).

(2)点。在点。上方的反比例函数y=-的图象上，△A8O的面积为9,求点。的坐标；

x

(3)在(2)的条件下，点M在x轴上，点N在反比例函数>=右的图象上，若以点、M,N,B,。为顶

x

点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.

Q

【答案】(1))，二一

X

⑵。(4,2)

1212

(3)M(一一,())或M(12,0)或M(一,0)

55

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解

题的关键.

(1)把CQ〃,D代入y=：x-3得到C(8,l),即可求出反比例函数的解析式；

O

(2)求出B(0,-3),求出46,0),过点。作OR_Ly轴于点尸，OE_Lx轴于点£,设。(人一)，则

m

8

F(0-),E(m,O),根据三角形的面积公式列方程即可；

m

8

(3)设M(〃,O),N(〃,一)，分三种情况，根据点坐标公式得到方程即可得到结论.

n

【小问1详解】

解：把。(私1)代入y=；x—3,得到l=gm一3,

解得：阳=8,

C在反比例函数解析式上，

A=1x8=8»

8

反比例函数的解析式为：)，二一；

x

【小问2详解】

解：由)，=+-3得8(0,—3),

当F=0时，0=—工一3,

2

x=6,

4(6,0),

/.OA-6,OR—3.

过点。作。尸轴于点尸，。后，工轴于点后，

设D(以与,则F(0,g),E(m,0),

mm

•zABD的面枳为9,

1//、81-1r8、八

..-(〃?+6)♦—I—x6x3—(3H—),?7?=9,

2m22tn

解得：加=4,

「•0(42)；

【小问3详解】

解：.•点历在x轴上，点N在反比例函数)，二人的图像上,

x

8

设M(a,O),N(〃,一),

n

以点M,N,B,。为顶点的四边形是平行四边形，。(4,2),8(0,-3),

〃=4+。

当BN、DM是对角线时，由中点坐标公式得：|)8c，

-3+—=2

n

解得：a-

即点M(-2,0)；

5

4=a+n

当、MN是对角线时，由中点坐标公式得：

BD-3+2=-*

n

解得：a=\2,

即点用(12,0)；

a=4+n

当用必、ON是对角线时，由中点坐标公式得:-3=2+加

n

解得：〃=£，

即点M(/,0)：

1212

综上所述，点M的坐标为M(-《,0)或M(12,0)或

JJ

22.类比思想就是根据已经学习过的知识，类比探究新知识的思想方法.我们在探究矩形、菱形、正方形

等问题中的数量关系时，经常用到类比思想.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的

性质时，做了如下探完：在VA6c中，N"AC=90。,A3=AC,点。为直线笈C上一动点（点。不与

B,C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.

（1）【观察猜想】如图①，当点。在线段区C上时；

①8c与C/的位置关系为：；

②8CCDC77之间的数最关系为：：（将结论直接写在横线上）

（2）【数学思考】如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证

明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）【拓展延伸】如图③，当点。在线段8c的延长线上时，延长84交CT于点G,连接GE.若已知

4B=2拉，CO=!BC,请直接写出G石的长.（提示：.过A作于〃，过E作EM_L3O于

4

M,EN1CF于•N）

【答案】（I）①垂直；②BC=CF+CD；（2）结论①成立；结论②不成立，正确结论为：CO=b+BC.理

由见解析；（3）Vio.

【解析】

【分析】（1）由正方形的性质得到NZMC=ND4/=90。，推出二八/弘。，由全等三角形的性质

即可得到结论；由正方形产的性质可推出ADAB=MAC,根据全等三角形的性质得到

CF=BD,ZACF=ZABD,根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到NR4c=/DA/=90。，推出AZ）A8?AE4C,根据全等三角形的性质以

及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.

（3）过A作AH_L5C于"，过E作石于M,硒八CF于N,如图3所示，由

DADH@DDEM（AAS）,推出EM=。”=3,DM=AH=2,推出C7V=EW=3,EN=CM=3,由

△BCG是等腰直角三角形，推出CG=8C=4,推出GN=CG-CV=1,再由勾股定理即可解决问题.

【详解】解：（1）①在正方形AOE产中，AD=AF,ZDAF=900

vZfiAC=90°,

\?BAC?DAF90?

ABAD=ZCAF.

|AD=AF

在ATXB与AMC中，VBAD?CAF,

\AB=AC

\DDAB@DFAC(SAS),

：.ZABD=ZACFt

\?ACB2ACF?ACB?ABD180??/MC90?,

即3CJ_C/;

故答案为：BC1CF；

②由①知，ADAB^AFAC,

:,BD=CF,

'：BC=BD+CD，

\BC=CF+CD-

故答案为：BC=CF+CD；

(2)cr_13c成立；BC=CD+CF不成立,新结论为：CD=CF+BC.理由如下:

在正方形AO瓦'中，AD=AF,ZDAF=90°

•.•ZBAC=90°.

\?BAC?DAF90?

ZBAD=ZCAF.

MD=AF

在643与MAC中，i?8A。?CAF,

\AB=AC

\DDAB@DFAC(SAS),

:.ZABD=ZACF,

vZBAC=90°,AB=AC,

/.Z4CB=ZABC=45°.

\?ABD180?45?135?,

:"BCF=ZACF-ZACB=135°-45°=90°,

:.CFIBC.

QCD=DB+HC,DB=CF,

\CD=CF+BC.

(3)解.：如图3,过A作A”_L8C于"，过E作于M，EN八CF于N,

图3

vZBAC=90°,AB=25/2»

\BC=s/2AB=4，

QCD=-BC,

4

\CD=1?41,

4

・・•AH工BC,

\AH=-BC=BH=CH=2,

9

\DH=CH+CD=3f

7

在正方形ADH中，AD=DE=AFt?ADE?DAF90?

-ZBAC=90°.

\?BAC?DAF90?

AZBAD=ZCAF.

MD=AF

在643与MAC中，i?8A。?CAF,

\AB=AC

\DDAB@DFAC(SAS),

:.ZABD=ZACF,

\?ACB?ACF?ACB?ABD180??BAC907,

即3C_LCF,

Q£MABD,硒人CF,

••・四边形CMEN是矩形，

\NE=CM,EM=CN,

•.Z4£）E=90°,

\2ADH?EDM90?,

Q2EMD90?,

\?EDM?DEM90?,

\1ADH?DEM,

\DADH@DDEM（AAS）,

\EM=DH=3,DM=AH=2,

\CN=EM=3,EN=CM=3,

-ZABC=45°,

\?BGC45?,

\D4CG是等腰直角三角形，

\CG=BC=4,

\GN=CG-CN=1,

在RfAEGN中，EG=JGN?+EN?=V12+32=V10.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股

定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角

形.

23.如图所示，A8CO为矩形，A8=4,AO=3,点石为5c上一动点，AE与BD交于点F，将线

段AF绕点/逆时针旋转90。得到线段AG,与。。交于点”.

（1）求线段BD的长;

（2）连接。G,若NDGb=90。，求跖的长;

（3）连接A”，AH与BD交于点K,求二4K/面积的最小值.

【答案】（1）BD=5

（2）BE=2

（3）工AK尸的面积的最小值为77

25

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理即可解答；

（2）过点G作GQJ_B。于点Q,过点A作AR_L4£＞于点R,设B/=r根据

111Q[C

SABD=-AB-AD=-BD-AR,求出4R=—,证明▲人尺尸且人。“，得到=4R=’，

1613DQGQ

QG=RF=一一x,DQ=--x,证明一OQGs_GQ尸，可得解出x值，证明

55GQ