江苏省南通某中学2025-2026学年高三年级上册中数学学科试卷（含答案）

数学科目试卷

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3,回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合4=怔叶%”B*y=Q}，则叱金B=（）

A.[0,3]R[1,3]C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在VA8C中，点。在边44上，BD=2DA.记C4==〃，则CB=（）

A3fn—2nB.—2in4-3nC.3〃z+2〃D.hn+3n

3.在更平面内，及数z满足（l—1）z=2,则z=（）

A.1B.iC.]-iD.l+i

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：

[66,70）、[70,74）、L、[94,98],并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86）内的

A.20B.40C.64D.80

5.记S〃为等差数列｛4｝的前几项和，已知，5=品)，a5=1,则()

24

D.

T

COS(2TU-2M,x<a

8.设〃wR,函数/(x)=,若函数/(X)在区间(0,+8)内恰有6个零点,

X2-2(4+l)X+〃2+5,x>«

则“的取值范围是()

A.(2,g]U(。,:]B.(―,2]U(T-»—]C.(2,^]J[—,3)D.匕⑵U[：,3)

4244244444

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.(全选对

得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分)

9.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，

记”第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件6,则()

A.P（A）=iB.A,8为互斥事件

C.P（B\A）=1D.A3相互独立

22

10.已知双曲线c：工一£二1的左，右焦点分别为耳，鸟，直线/：），="交。于A,8两点，贝IJ（）

63

A.|攵|<苧B.||^|-|^||=2V3

C.的最小值为—3D.5到/的距离的最大值为百

11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在VABC中，

8c=1,8C边上的高等于ianA,以V4AC的各边为直径向VA8C外分别作三个半圆，记三个半圆围成

的平面区域为W,其“直径”为d,则（）

B.VA3C面积的最大值为立

A.AB2+AC2=3

4

D.〃的最大值为逆士1

C.当NABC=二时，d=

222

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在（寸+gj的展开式中，常数项是________.

13.过点产（出1）作直线/,使它被电线/1：2x+y-8=U和/2：x-3），+lU=U截得的线段被点尸平分，则直

线/的方程为.

14.已知菱形A8CQ的边长为2,ZABC=60.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°二面角

2一4。一力.设E为8'。的中点，尸为三棱锥表面上动点，且总满足ACJ.E/，则点尸轨迹

的长度为.

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知acos3+〃cosA=,A+8=2C.

（1）求VAAC的面枳；

（2）求A3边上的高的最大值.

16.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分

别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

K2=n(ad-bc『

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

P^K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面A8CO为矩形，Q4J_平面A8CO,E为PD中点.

（1）证明：依//平面4EC；

（2）设二面角D—AE—C为60，AP=1，AD=6求三棱锥E—AC。体积.

18.已知椭圆。：1+」.=1（。＞力＞0）过点M（2,l）,离心率为立.不过原点的直线/：），=氏+〃?交椭

b~2

圆C于A,8两点，记直线M4的斜率为勺，直线的斜率为石，且勺区二;.

（1）求椭圆C方程；

（2）证明：直线/的斜率女为定值;

（3）求面积的最大值.

19.已知函数/。）=5皿工一111（1+幻，/'（工）为/"）导数.证明:

（1）/'（X）在区间存在唯一极大值点；

（2）/（外有且仅有2个零点.

江苏省南通第一中学2024.2025年高三上期中监测试题

数学科目试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3,回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

L设集合4=”叶*甸产则A族8=（）

A.[0,3]B.[1,3]C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.

【详解】由题意可得：A={1,2,3,4},3=[3,+8）,所以。3=（_8,3）,故AIQ8={1,2}.

故选；C

2.在VA3C中，点。在边AB上，BD=2DA.记CA=/〃,C7)=〃，则C3二()

A.3m—2nB.—2皿+3〃C.3m+2〃D.2〃?+3〃

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边A8上，BD=2DA，所以=即CQ—CB=2(C4—C。)，

所以C8=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3〃•

故选:B.

3.在复平面内，系数z满足(l—i)z=2,则z=()

A.1B.iC.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

【分析】根据狂数的运算方法计算即可.

［详解］(1-i)z=2=>(1-i)(i+i)z=2(1+i)=>z=1+i.

故选：D.

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：

［66,70)、［70,74)、L、［94,98］,并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间［82,86)内的

【答'栗】D

【解析】

【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间［82,86）内的影视作品数量.

【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间［82,86）内的影视作品数量为400x0.05x4=80.

故选：D.

5.记S“为等差数列｛4｝前〃项和，已知名=品），%=1，则4=（)

777

A.-B.-D.---

2304I1

【答案】B

【解析】

【分析】由Ss=Bo结合等差中项的性质可得4=0,即可计算出公差，即可得6的值.

【详解】由S10-Ss=4+%+/+%+4O=5〃X=O,则4=0,

【答案】C

【解析】

【分析】

对〃分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性,逐一进行判断图象即可.

x+—,x>0

x

【详解】/(x)=|^+-=

.Xa八

-X+—,x<()

x

①当4=0时，/(X)=W(XH。)，图象如A选项；

②当4〉0时，x>0时，/(x)=x+—,

X

/(x)=x+g在(0,G)递减，在[G,+00)递增；

x<0时，f(x)=-x+—,由y=—x,y=@单调递减，

XX

所以f(x)=—x+2在(-00,0)上单调递减，故图象为B：

X

③当。<0时，x>0时，/*)=工+@,可得)'=%,y=-.在(O,y)递增,

XX

即八幻二%+且在(O,y)递增，图象为D；

-V

故选：C.

24724

A.------B.——c.LD.

72424~1

【答案】B

【解^5]

兀(兀、4

【分析】首先得不一二W0,-，进一步由sin结合二倍角公式、商数关

系以及诱导公式即可求解.

【详解】因为工£3二厂，所以人一吃昼口7

163JoV2

“•/兀)3一(兀\4

又因为sinX--=—,所以cosx——=—,

<6/5\Oy5

242.C=8S?1」]52卜」J,

从而sin(2x-gCOS

25I3jL6)I6)25,

~(c兀1c兀兀)7

所以tan2x+—=tan2x——十一

k6；V32J24

故选：B.

fcos(27Lr-27uz),x<tzC

8.设4£R,函数.f(x)=(.，，-,若函数/(幻在区间(0,+8)内恰有6个零点,

［厂-2(a+l)x+a-+5,x2a

则”的取值范围是()

AW】U(|,学B.《2]呜学C.(2勺吗,3)D.(9)叫3)

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数最多两个零点，讨论/(幻=8s［2"(戈一G］在xw(0,。)区间分别取4、5、6个零

点时的。的取值范围，再讨论/(刀)=£-2(4+1)1+片+5在xe［a,区间分别取0、1、2个零点

时的。的取值范围，最后进行组合即可.

【详解】函数/(力在区间(0,+")内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，

当时，/(x)=0至少有四个根,

令/1(X)=cos(2心-ITICI)=cos[2n(x-a)]=0,则2兀(工一Q)J+E,ZGZ

72

k1

O<+

解得：A-=-+-+«,X£(O,+R),2-4-即一2。—<k<—

22

当x<a时，/(x)=cos[2兀(x-a)],

17Q

①若/(x)有4个零点，此时一5<—2〃一］<—4,BP—<6/<—；

Ig11

②若/(x)有5个零点，此时一6V—2。一5<—5,即

③若/(力有6个零点，此时一74-2。一,<一6,即身;

当xNa时，/(x)=x2-2(tz+l)x+«2+5,

令A=4a+l)2-4m2+5)=8〃-16=0,解得：a=2,

①若。＜2,/（x）没有零点；②若。=2,x=3,/（x）有I个零点；

③若〃＞2,一%3+1）+〃2+5=_2。+5,且对称轴X=a+1,

当2+520时，即2＜。卷/（x）有2个零点；

当一2z+5v0时，即/（工）有1个零点

综上所述，函数/（月在区间（0,+8）内恰有6个零点需要满足，

1113

—<a<—

或＜44

2<a<-a=2或。>—a<2

22

（91＜511

解得〃电7卜匕,1

故选:A.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对

得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）

9.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，

记”第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件〃，则（）

A.P（A）=gB.A8为互斥事件

C.P（制A）=gD.A6相互独立

【答案】AC

【解析】

【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.

【详解】P（A）=g,A正确;

A8可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A8不互斥，B错误；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为，,C.正确:

2

P(B)=|X1I><O=I^)44=，,P（A8）¥P（A）P（B）,「.不独立,

+6

D错误;

故选:AC.

10.已知双曲线C：工—上二1的左，右焦点分别为"，K，直线/：），=履交C于4，B两点,则（）

63

A.\k\<^-B.||A川-忸川=26

C.4片J鸟的最小值为一3D.工到/的距离的最大值为G

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程即可判断A；根据双曲线的定义即可判断B；设A（〃z,〃），则

〃2=；/一3,根据平面向量数量现的坐标表示可得人耳•人巴=/病-12,即可判断C；利用点到直线的距离

公式计算即可判断D.

【详解】A：由题意知，双曲线陆渐近线方程为），=土等X,

要使直线），二丘与双曲线交于点A8,需闲〈孝，故A正确；

B：由双曲线的定义知处周一|4周卜2〃=2#,

又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形,

ABAFXBF2

有忸用=|A可，所以||4/一忸修=||4用一|A闻=26，故B错误;

C：设4（〃2,〃），则竺一/L=i（加工一6或〃6），得〃2=：〃?2-3,

632

又£(一3,0),F2(3,0),所以=(-3AF2=(3-m,-n),

贝lj="/-9+〃2=〃?2一9+；〃?2-3=5〃?2—122^又#2—12=—3,

即A6的最小值为-3,故C正确.

D：乙(3,0),易知当&=0时，，：y=0,则尸2到直线/的距离为0；

9k2

当仁00时，尸2到直线)'="即息-)'=。的距离为k2+\

又一旦<k<正且所以］>2,则=75

22K

即月到直线/的距离小于百，故D错误.

故选：AC

11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在VA8c中，

BC=1,8C边上的面等于tanA,以VA3c的各边为直径向V43C外分别作三个半圆，记三个半圆围成

的平面区域为W,其“直径”为d,则()

R.VA6C面积的最大值为亚

A.AB24-AC2=3

4

D.［的最大值为®1

C.当NABC=工时，d=

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A,再由基本不等式得出cosA范围即可得出面积最大值判断

B,再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出d最大值判断C,由C中结论及基本不等式判断

D.

【详解】设角ARC所对的边长为。，4c.

由三角形的面积公式可得SABC=g〃csinA=gtanA,

所以cosA='-,由余弦定理，可得从+/一〃2=2,所以/+C、2=3,故A正确;

be

由S=10csinA=-^---,又〃2+/=322〃。=------,所以cosAN-，

Re22cosA3

所以S=痣?=言15当，所以%当'且仅当斤，二当时取等’

B正确;

设AB,AC边上的中点分别为E,尸，在人3上取一点M，在4c上取一点N,

由两点间线段最短可得MNWME+E/+RV=g(q+〃+c),当且仅当M,N,£,产

四点共线时取等，所以"=g(a+/2+c),又NABC=],

所以tanA=—解得A=：,所以C=Q=1,人=&，所以"=1+1,故C错误；

tanA42

由前可知，d=_L(a+〃+c)«_L+&LiC=®L当且仅当力=c=逅时取等，故D正确.

2V72V222

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(/+£[的展开式中，常数项是__________.

【答案】15

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项公式，根据指数为0可得结果.

【详解】(f+gj的展开式的通项公式为4x=c：(%2)6-=晨”-3"

由12—3厂=0得，〃=4,

6xS

・•・展开式中的常数项是C^=c；=—=15.

故答案为：15.

13.过点P(O,1)作直线/,使它被直线kZr+y-8=0和A：4-3)，+】0=0截得的线段被点P平分，则直

线/的方程为.

【答案】x+4y-4=0

【解析】

分析】

设h与/的交点为A(«8—2a),求得4关于尸的对称点坐标，利用对称点在直线4上求得。，即得A点坐

标，从而得宜线/方程.

【详解】设八与/的交点为4(。,8—2。)，则由题意知，点A关于点。的对称点B(—《2。-6)在，2上，

代入h的方程得一。一3(2〃-6)+10=0,解得a=4,

即点A(4,0)在直线/上，所以直线/的方程为x+4>—4=0.

故答案为：x+4y—4=0.

【点:暗】本题考查求直线方程，解题方法是根据点;关于点的对称点求解，直线/与已知两直线各有一个交

点，/,是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线

方程可求得交点坐标，从而得直线方程.

14.已知菱形ABC。的边长为2,ZABC=60.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°二面角

B'-AC-D.设E为8'C的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足ACJ.EF,则点F轨迹

的长度为.

【答案】辿

22

【解析】

【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点尸轨迹为△EON(除E外)，并得到二977)

为二面角B'-AC-O的平面角，则/977)=60。，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度.

【详解】取AC的中点T，连接87,。丁，

因为菱形ABCO的边长为2,ZABC=60°,

所以QC=4T=CD=AD,AACDRACB均为等边三角形，

故。7_L4C,BT±AC,RDT=B7=C，

NBTD为二面角Bf-AC-D的平面角，则/BTD=60°,

故八97D为等边三角形，DB'=B

又=平面9刀D,

所以AC_L平面8'7Z),

又E为8'C的中点，取CT的中点0,CO的中点N,

连接EO,EN,ON,则EO//B'T,EN//B'D,且E0=0N=EN=@~，

2

因为EOu平面EON,B'T(z立面EON,所以877/平面EON,

同理得。///平面EON,

因为BT"DT=T,平面夕功，

故平面EON//平面夕7D,

所以AC_L平面EON,

故.点、F轨迹为LEON(除£外)，

故点F轨迹的长度为EO+ON+EN=—.

故答案为：更.

2

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出ACJ■平面"7"和平面石ON//平面

ETD,从而有AC_L平面EON,则其轨迹为△EON(除E外)，再计算周长即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在VA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知acos8+〃cosA=a8c,A+B=2C.

(1)求VA8C的面积；

(2)求48边上的高的最大值.

【答案】(1)巫；

4

(2)2.

2

【解析】

【分析】(1)由正弦定理边化角求出。由，再利用三角形面积公式计算即得.

（2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出c的最小值即可求出43边上的高的最大值.

【小问1详解】

在VA8C中，由A+8=2C,得兀一C=2C,解得C二工，

3

由4cos3+bcosA="c及正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=t?/?sinC,

即sin(A+8)=成sinC,MsinC=absinC,而sinC>0,解得。Z?=l,

所以VA3c的面积5活sinC二且

24

【小问2详解】

由余弦定理,得。2="+/一2时cosCj2+从一122而一1=1，即。之1,

当且仅当〃=/?时取等号,

日n12s々G

设力为AB边上的高，则S=—he,即/?二一W—,

2c2

所以A8边上的高的最大值为且.

2

16.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分

别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-be)1

附：K?=

(a+/?)(c、+d)(ci+c)(b+d)

P(K2>k]

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】根据给出公式计算即可

【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为受■=75%,

200

乙机床生产的产品中的一级品的频率为工2=60%.

200

400(150x80-120x50)2400

(2)K2=>10>6.635,

270xl3()x200x2(X)

故能有99%把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

17.如图，四棱锥P-ANCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面ABC。，E1为PD的中点.

（1）证明：PB//平面AEC；

（2）设二面角。—AE—C为60，AP=1，AD=6求三棱锥石―AC£＞体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵

8

【解析】

【分析】（1）连接8。交AC于。点，连接EO,只要证明EO//P8,即可证明必//平面AEC；

（2）以A为坐标原点，AB,AO，A尸所在直线为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系，设=

结合已知利用空间二面角的夹角公式求解出〃J再根据三棱锥的体积公式进行求解即可.

【小问I详解】

证明：如图，连接8。交AC于。点，连接£0,

•・•四边形48co为矩形

二.。为3。中点，

又E为PD中点、，：.EO//PB,

又rEOu平面AEC，PB（z平面AEC,

.,.P8//平面4£1。：

【小问2详解】

因为Q4_L平面A8CD,四边形ABC。为矩形,

所以A8，ADiA尸两两垂直.

如图，以A为坐标原点，48,AO,AP所在直线为x轴，＞轴，z轴，建立空间直角坐标系A-町z,

x

设A3=J〃（相＞0）,则8（m,0,0）,C（m,JJ,O）,则从。=（北6,0八

设〃i=（x,y,z）为平面ACE的法向量,

nzx+6y=0

%•AC=0

则＜..即李+*。

jq•AE=0

可取〃1=得一闾

又曲二（1,0,0）为平面DAE的法向量,

由题意得COS(〃],〃2cos60°=—

2

即扃54,解得加菖

因为E为尸。的中点，所以三棱桂七一AC。的高为

三棱锥七一ACD的体积1/=，乂，*6><2><，=立.

32228

18.已知椭圆C：「+/=im>b>0）过点M（2,l）,离心率为坐.不过原点的直线/:），=b+,〃交椭

圆。于A3两点，记直线M4的斜率为尢，直线MB的斜率为勾，且人&二；・

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线/的斜率攵为定值；

（3）求△MAB面积的最大值.

22

【答案】（1）三+工=1

82

（2）证明见解析（3）5皿=36.

【解析】

【分析】（1）根据离心率和过点〃，用待定系数法可求出椭圆C的方程;

（2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出左右=彳，并进行化简，即可求出斜率定值;

（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值.

【小问1详解】

c_\/3

a2

4

依题意J/d解得/=8,从=2,

»22>

b~=cr一（r

22

所以椭圆的标准方程为—+^=1.

82

【小问2详解】

设直线/方程为y=kx+m,m工0,A（xt,y）,B（x2,%），

[y=kx-¥tn

由产2।V_得(4/+1)丁+8knr+4/n2-8=()

工十万一

-8km_4加、8

A=16(8A:2+2-/n2)>0,x,+x=

2诉？—-4k2+1

y,-1y2-\(Alt1+W-1)(AX24-w-l)

"2

%—2X)—2(玉一2)(x,—2)

〃

2.24/~-8./.\—8km.-2

_kX{X2+&(〃2—1)(X|+&)+(阳一1)2_k,412+]+』('〃―]>4'2+[+("7―1)

MW-2(玉+々)+44/n2-816km

4/+1+4/+1+

_42+(〃­)2_m-\-2k_]_

4(〃/-1+4/成+4%2)4(〃计1+2攵)4，

解得

【小问3详解】

由(2)得>=——x+//?,m0,x2-2nix+2m2-4=0,

A=16-4m2>0,m2<4,一2c出<2,机声0,

|=,]+A2J%一巧|=y/5\l4-m2,h=P=26(2—；77)

，55

T

△M43的面积S=即?=(2一加)44-m2=5(2_右)3(2+〃7),

/(/n)=(2-加I(2+m)，

fr(m)=-3(2-m)2(2+/??)+(2-ni)3=(2-nt)2(^-4/??),

令广解得—2VmV—1,即/(〃。在(-2,-1)上单调递增，

令.f'(〃2)V(),解得一lVm<0或0VmV2,即/(〃?)在㈠,0)和(0,2)上单调递减,

所以当〃z=7时，取到最大值/(-1)=27,

△M48的面积S1mx=3瓜

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于

（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公

式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解.

19.已知函数/（x）=sinx-ln（l+x）,/'（x）为/（x）的导数.证明：

（1）/'（X）在区间（-1,/）存在唯一极大值点；

（2）/（x）有且仅有2个零点.

【答案】（1）见解析；（2