2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 不等式的性质

第一节不等式的性质课标解读考向预测理解不等式的概念，掌握不等式的性质.高考对不等式的性质的考查主要与其他知识及实际问题相结合进行命题，难度中档.2026年备考要重视不等式性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合.必备知识—强基础1．两个实数比较大小的方法(1)作差法①a－b>0⇔aeq\x(\s\up1(01))>b；②a－b＝0⇔aeq\x(\s\up1(02))＝b；③a－b<0⇔aeq\x(\s\up1(03))<b.(2)作商法①eq\f(a,b)>1(a∈R，b>0)⇔aeq\x(\s\up1(04))>b(a∈R，b>0)；②eq\f(a,b)＝1(a∈R，b≠0)⇔aeq\x(\s\up1(05))＝b(a∈R，b≠0)；③eq\f(a,b)<1(a∈R，b>0)⇔aeq\x(\s\up1(06))<b(a∈R，b>0)．2．不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔eq\x(\s\up1(07))b<a；a<b⇔eq\x(\s\up1(08))b>a可逆传递性a>b，b>c⇒aeq\x(\s\up1(09))>c；a<b，b<c⇒aeq\x(\s\up1(10))<c同向可加性a>b⇔a＋ceq\x(\s\up1(11))>b＋c可逆可乘性a>b，c>0⇒aceq\x(\s\up1(12))>bc；a>b，c<0⇒aceq\x(\s\up1(13))<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a＋ceq\x(\s\up1(14))>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒aceq\x(\s\up1(15))>bd同向同正可乘方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒aneq\x(\s\up1(16))>bn同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)eq\x(\s\up1(17))>eq\r(n,b)同正若a＞b＞0，m＞0，则(1)eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(a－m＞0)；(2)eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0)．题组一走出误区——判一判(1)a＝b⇔ac＝bc.()(2)若a<b<0，则eq\f(1,a2n)<eq\f(1,b2n)(n∈N*)．()(3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.()答案：(1)×(2)√(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第一册练习BT2改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A.eq\f(y,x)＜1 B．2－x＜2－yC．lg(x－y)＞0 D．x2＞y2答案：B(2)(人教B必修第一册2.2.1例2(3)改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案：B(3)(多选)(人教A必修第一册习题2.1T8)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac>bcB．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a3<b3D．若a<b<0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)答案：BC解析：对于A，当c≤0时，ac≤bc，所以A为假命题；对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B为真命题；对于C，由a＜b＜0可得，a3<b3<0，所以C为真命题；对于D，因为a＜b＜0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以D为假命题．(4)(人教A必修第一册习题2.1T5改编)若实数x，y满足－eq\f(1,2)<x<y<eq\f(1,2)，则x－y的取值范围为________．答案：(－1，0)解析：由题意，－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<y<eq\f(1,2)，则－eq\f(1,2)<－y<eq\f(1,2)，－1<x－y<1，又x<y，所以－1<x－y<0，即x－y的取值范围为(－1，0)．考点探究—提素养不等式的性质eq\a\vs4\al()(多选)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列不等式成立的是()A.eq\f(1,c－a)>eq\f(1,b－a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋c,a＋c)C.eq\f(1,a（c－a）)>eq\f(1,b（c－a）) D．ab＋c2>ac＋bc答案：BCD解析：因为0<a<b<c，所以c－a>b－a>0，eq\f(1,c－a)<eq\f(1,b－a)，故A错误；因为a＞0，b＞0，b＋c＞0，a＋c＞0，所以eq\f(b,a)>eq\f(b＋c,a＋c)⇔b(a＋c)>a(b＋c)⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；因为a＞0，b＞0，c－a＞0，所以eq\f(1,a（c－a）)>eq\f(1,b（c－a）)⇔eq\f(1,a)>eq\f(1,b)⇔b>a，故C正确；ab＋c2>ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)>0⇔(c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD.应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．有时可以结合函数的单调性进行推导．1.(多选)(2025·福建龙岩质检)下列说法正确的是()A．若a<b<0，则a2>ab>b2B．若a<b<0，则ac2<bc2C．若0<a<b<c，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b)D．若0<a<b，则2a＋eq\f(b,2)>2eq\r(ab)答案：AC解析：对于A，因为a<b<0，则两边同乘以a，得a2>ab，两边同乘以b，得ab>b2，则a2>ab>b2，故A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，因为0<a<b，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，又c>0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，故C正确；对于D，举例a＝2，b＝8，则2a＋eq\f(b,2)＝2×2＋eq\f(8,2)＝8，而2eq\r(ab)＝2eq\r(2×8)＝8，此时两者相等，故D错误．故选AC.比较两个数(式)的大小eq\a\vs4\al()(1)若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q答案：B解析：解法一(特殊值法)：令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除A，C；令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除D.故选B.解法二(作差法)：p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(（b2－a2）（b－a）,ab)＝eq\f(（b－a）2（b＋a）,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.(2)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c答案：C解析：解法一(作差法)：因为a－b＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln8－ln9,6)＜0，所以a＜b.因为c－a＝eq\f(ln5,5)－eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln5－5ln2,10)＝eq\f(ln25－ln32,10)<0，所以c＜a，所以c＜a＜b.故选C.解法二(构造函数法)：设f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．因为a＝f(2)＝f(4)，b＝f(3)，c＝f(5)，所以c<a<b.故选C.(3)设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________．答案：aabb>abba解析：eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b).若a>b，则eq\f(a,b)>1，a－b>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)>1，所以aabb>abba；若a<b，则0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)>1，所以aabb>abba.综上，aabb>abba.比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数法：借助函数的单调性比较大小．(4)特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算，有代表性．2.若a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞B答案：B解析：由题意，得B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B.3．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则x，y的大小关系是()A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的关系随c而定答案：C解析：易知x>0，y＞0，又eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\f(1,\r(c＋1)＋\r(c)),\f(1,\r(c)＋\r(c－1)))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))<1，所以x<y.故选C.不等式性质的综合应用eq\a\vs4\al()(1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案：(－4，2)(1，18)解析：因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.因为－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则eq\f(b,a)的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))解析：因为a∈(－3，－2)，所以eq\f(1,a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，故eq\f(1,3)<－eq\f(1,a)<eq\f(1,2)，又2<b<4，所以eq\f(2,3)<－eq\f(b,a)<2，则－2<eq\f(b,a)<－eq\f(2,3).(3)已知－1<x＋2y<4，2<2x－3y<3，则4x＋y的取值范围是________．答案：(0，11)解析：设4x＋y＝a(x＋2y)＋b(2x－3y)＝(a＋2b)x＋(2a－3b)y(a，b∈R)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝4，,2a－3b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))则4x＋y＝2(x＋2y)＋(2x－3y)．因为－1<x＋2y<4，2<2x－3y<3，所以0<2(x＋2y)＋(2x－3y)<11，即0<4x＋y<11，故4x＋y的取值范围是(0，11)．利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点4.(2025·湖北宜荆荆模拟)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c，在不同的粉刷方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz答案：A解析：由x>y>z，a<b<c，得ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0，故ax＋by＋cz<az＋by＋cx；ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0，故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz；ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0，故ax＋by＋cz<ay＋bx＋cz，故最低的总费用为ax＋by＋cz.故选A.5．已知12<a<60，15<b<36，则a－2b的取值范围为________，eq\f(2a,b)的取值范围为________．答案：(－60，30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，8))解析：因为15<b<36，所以－72<－2b<－30.又12<a<60，所以－60<a－2b<30.因为12<a<60，所以24<2a<120，又15<b<36，所以eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(2,3)<eq\f(2a,b)<8.综上，a－2b的取值范围是(－60，30)，eq\f(2a,b)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，8)).6．已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为________．答案：[11，27]解析：设5a＋b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b(m，n∈R)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝5，,n－m＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3，))则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)，又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，由不等式的性质，得11≤2(a－b)＋3(a＋b)≤27，则5a＋b的取值范围为[11，27]．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向不等式的性质不等式的性质不等式的实际应用不等式的性质不等式的性质不等式的性质不等式的实际应用考点比较大小不等式性质的应用用不等式(组)表示不等关系作差法比较大小比较大小作商法比较大小用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用题号891011121314难度★★★★★★★★★★★考向不等式的性质不等式的性质不等式的性质不等式的性质不等式的性质不等式的实际应用不等式的性质考点比较大小比较大小比较大小求代数式的取值范围求代数式的取值范围用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用不等式性质的应用题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★考向不等式的性质不等式的性质不等式的实际应用不等式的性质不等式的性质不等式的性质考点作差法比较大小不等式性质的应用用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用求代数式的最值比较大小不等式性质的应用一、单项选择题1．(2025·陕西西安西光中学高三期末)“a>b>0”是“a－b>lneq\f(b,a)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a>b>0，得a－b>0，0<eq\f(b,a)<1，则lneq\f(b,a)<0，从而a－b>lneq\f(b,a).取a＝－1，b＝－2，满足a－b>lneq\f(b,a)，不满足a>b>0.故“a>b>0”是“a－b>lneq\f(b,a)”的充分不必要条件．故选A.2．已知a，b∈R，使a>b成立的一个必要不充分条件是()A．a＋1>b B．a>b＋1C．2a>2b D．a2>b2答案：A解析：对于A，若a>b，则a＋1>a>b，而a＋1>b成立，不能推出a>b成立，即a＋1>b是a>b成立的必要不充分条件，故A符合题意；对于B，因为a>b＋1>b，所以a>b＋1是a>b成立的充分条件，故B不符合题意；对于C，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以a>b⇔2a>2b，故C不符合题意；对于D，取a＝1，b＝－2，满足a>b，而a2>b2不成立，反之，取a＝－2，b＝1，满足a2>b2，而a>b不成立，故D不符合题意．故选A.3．(2025·河南六市联考)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m(m>0)克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为()A．bm>am B．b＋m>a＋mC.eq\f(m,a)>eq\f(m,b) D.eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)答案：D解析：原糖水的浓度为eq\f(a,b)，加入m克糖后糖水的浓度为eq\f(a＋m,b＋m)，加入糖后糖水浓度变大了，所以eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).故选D.4．已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案：B解析：由a－b＝eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(7)，且(eq\r(2)＋eq\r(3))2＝5＋2eq\r(6)>7，得a>b；由a－c＝2eq\r(2)－eq\r(6)，且(2eq\r(2))2＝8>6，得a>c；由b－c＝(eq\r(7)＋eq\r(2))－(eq\r(6)＋eq\r(3))，且(eq\r(6)＋eq\r(3))2＝9＋2eq\r(18)>9＋2eq\r(14)＝(eq\r(7)＋eq\r(2))2，得c>b.所以a>c>b.故选B.5．已知a＋b＜0，且a＞0，则()A．a2＜－ab＜b2 B．b2＜－ab＜a2C．a2＜b2＜－ab D．－ab＜b2＜a2答案：A解析：解法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2.故选A.解法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab.又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故选A.6．若a>0，且a≠7，则()A．77aa<7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa>7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定答案：C解析：eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))eq\s\up12(7－a)，则当a>7时，0<eq\f(7,a)<1，7－a<0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))eq\s\up12(7－a)>1，所以77aa>7aa7；当0<a<7时，eq\f(7,a)>1，7－a>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))eq\s\up12(7－a)>1，所以77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7.故选C.7．(2025·浙江杭州学军中学模拟)某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A．理科男生多于文科女生B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生D．理科女生多于理科男生答案：C解析：设理科女生有x1人，理科男生有x2人，文科女生有y1人，文科男生有y2人．根据题意可知x1＋x2>y1＋y2，x2＋y2<x1＋y1，根据不等式的性质有(x1＋x2)－(x2＋y2)>(y1＋y2)－(x1＋y1)，即有x1>y2，所以理科女生多于文科男生．故选C.8．设a＝sineq\f(1,2)，b＝lnπ，c＝π－eq\f(1,2)，则()A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b答案：B解析：因为0＝sin0<sineq\f(1,2)<sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，又lnπ>lne＝1，所以b∈(1，＋∞)，又eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(4))<eq\f(1,\r(π))＝π-eq\s\up7(\f(1,2))<π0＝1，所以c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以a<c<b.故选B.二、多项选择题9．已知a>b>0，则下列说法正确的是()A.eq\f(b,a)>eq\f(b＋2,a＋2)B．2eq\r(a)>eq\r(a－b)＋eq\r(b)C．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)D．lgeq\f(a＋b,2)>eq\f(lga＋lgb,2)答案：BD解析：因为a>b>0，所以eq\f(b,a)－eq\f(b＋2,a＋2)＝eq\f(2（b－a）,a（a＋2）)<0，故A错误；因为a>b>0，所以eq\r(a)>eq\r(b)，eq\r(a)>eq\r(a－b)，所以2eq\r(a)>eq\r(a－b)＋eq\r(b)，故B正确；当a＝2，b＝eq\f(1,2)时，a＋eq\f(1,a)＝b＋eq\f(1,b)，故C错误；因为a>b>0，所以lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\f(2\r(ab),2)＝lgeq\r(ab)＝eq\f(lga＋lgb,2)，故D正确．故选BD.10．若eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，则()A．|a|<|b| B．ac<bcC.eq\f(a－b,c)>0 D．0<eq\f(a,b)<1答案：ACD解析：由eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，得c≠0，当c>0时，由eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，即b<a<0，则|a|<|b|，ac>bc，eq\f(a－b,c)>0，0<eq\f(a,b)<1；当c<0时，由eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，即b>a>0，所以|a|<|b|，ac>bc，eq\f(a－b,c)>0，0<eq\f(a,b)<1，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.11．已知3<a<6，1<b<5，则()A.eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3)) B.eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，6))C．a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4)答案：BD解析：∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，eq\f(1,5)<eq\f(1,b)<1，又3<a<6，∴－7<a－2b<4，eq\f(3,5)<eq\f(a,b)<6，即eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，6))，a－2b∈(－7，4)．故选BD.三、填空题12．已知1≤2x－y≤2，－1≤2x＋3y≤1，则6x＋5y的取值范围为________．答案：[－1，4]解析：因为6x＋5y＝2x－y＋2(2x＋3y)，所以1＋2×(－1)≤2x－y＋2(2x＋3y)≤2＋2×1，故6x＋5y的取值范围为[－1，4]．13．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材．已知在该批器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元．设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A________B(填“>”“<”或“＝”)．答案：>解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4A＋5B<400，,6A＋3B>450，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4A－5B>－400，,6A＋3B>450，))所以A－B>25>0，则A>B.14．(2025·广西南宁二中模拟)设a≥0，b≥0，a＋b＝1.将a2，b2，2ab这三者中的最大值记为M.当a，b变化时，M的最小值是________．答案：eq\f(4,9)解析：不妨设a≥b，则只需考虑M＝a2(a2≥2ab)及M＝2ab(2ab＞a2)两种情形．若a2≥2ab，则eq\f(2,3)≤a≤1，则M＝a2≥eq\f(4,9)；若a2<2ab，即b≤a<2b，则eq\f(1,2)≤a<eq\f(2,3)，则M＝2ab＝2a(1－a)>2×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，所以当a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)时，M取得最小值eq\f(4,9).15．若a是实数，P＝eq\r(a2＋10)＋a，Q＝eq\r(a2＋6)＋eq\r(a2＋4)，则P，Q的大小关系是()A．Q>P B．P＝QC．P>Q D．由a的取值确定答案：A解析：显然P，Q都是正数，又P2＝2a2＋10＋2aeq\r(a2＋10)，Q2＝2a2＋10＋2eq\r(（a2＋6）（a2＋4）)＝2a2＋10＋2eq\r(a4＋10a2＋24)，Q2－P2＝2eq\r(a4＋10a2＋24)－2aeq\r(a2＋10)，若a是负数，则Q2－P2>0，即Q2>P2，所以Q>P；若a是非负数，则2aeq\r(a2＋10)＝2eq\r(a4＋10a2)<2eq\r(a4＋10a2＋24)，所以Q2－P2>0，即Q2>P2，所以Q>P.故选A.16．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，则可组成真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：若ab>0，bc－ad>0成立，则在不等式bc－ad>0两边同除以ab，可得eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即ab>0，bc－ad>0⇒eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0成立，则在不等式eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0两边同乘以ab，可得bc－ad>0，即ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0⇒bc－ad>0；若eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，bc－ad>0成立，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，又bc－ad>0，则ab>0，即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，bc－ad>0⇒ab>0.综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成3个真命题．17．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的船，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的船，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船．那么甲型号的船有()A．9艘 B．10艘C．11艘 D．12艘答案：B解析：设甲型号的船有x艘，则乙型号的船有(x＋5)艘，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x<48<5x，,3（x＋5）<48≤4（x＋5－1），))解得9.6<x<11，又因为x为正整数，所以x＝10，即甲型号的船有10艘．故选B.18．设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤eq\f(x2,y)≤4，则eq\f(x5,y5)的最大值是()A．9 B．16C．32 D．64答案：C解析：eq\f(x5,y5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))eq\s\up12(3)·eq\f(1,xy2)，∵3≤eq\f(x2,y)≤4，∴27≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))eq\s\up12(3)≤64，∵2≤xy2≤3，∴eq\f(1,3)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,2)，根据不等式的性质，得9≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al