2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第01讲 正弦余弦正切余切诱导公式 （解析版）

第01讲正弦，余弦，正切，余切，诱导公式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：任意角的概念（铺垫知识）1.角的定义与推广定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.正角：按逆时针方向旋转形成的角.负角：按顺时针方向旋转形成的角.零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）.2.象限角建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合.象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）.表示：第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：3.终边相同的角定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合.关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）.易错辨析：误区1：认为“角”与“角”是同一个角.纠正：二者终边相同，但旋转过程不同，是不同的角，仅三角函数值相等.误区2：将轴线角归为某一象限.纠正：终边在轴、轴上的角（如、）不属于任何象限.4.弧度的概念定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作.本质：弧度是角的另一种度量单位（角度制的补充），建立了“角”与“弧长”的数量联系.关键关系：若圆心角所对弧长为，半径为，则（以弧度为单位）.5.用弧度制表示角的集合终边相同的角：与角（弧度制）终边相同的角的集合为.象限角（弧度制）：第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：轴线角（弧度制）：终边在轴正半轴：终边在轴负半轴：终边在轴正半轴：终边在轴负半轴：6.角度化为弧度换算公式：，即角度值=弧度值.示例：；.7.弧度化为角度换算公式：，即弧度值=角度值.示例：；.8.弧长的有关计算公式：若圆心角为（弧度制），半径为，则弧长.推导：由弧度定义变形可得.注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度.9.扇形面积的有关计算公式1：（为弧长，为半径）.公式2：（为圆心角的弧度值，为半径）.关系：由，可将公式1转化为公式2.10.扇形中的最值问题常见类型：1.已知扇形周长（），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）.2.已知扇形面积，求周长的最小值.示例：周长，面积，消去得，当时，.知识点2：三角函数的定义（核心知识点）1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角）设为直角三角形的一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则：正弦：余弦：正切：余切：2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角）单位圆：以坐标原点为圆心，半径为的圆（方程：）.定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则：正弦函数：余弦函数：正切函数：（，即）余切函数：（，即）3.定义域与值域三角函数定义域（的取值范围）值域重点记忆：单位圆定义是核心，直角三角形定义是特例，任意角的三角函数值由终边与单位圆交点的坐标决定.正切、余切的定义域限制：分母不能为，需牢记禁忌角（禁，禁）.易错辨析：误区：认为的定义域是.纠正：终边在轴上的角均无正切值，即（），包括、、等.知识点3：三角函数值的符号规律（高频考点）1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦”第一象限：，，，（全正）.第二象限：，，，（仅正弦正）.第三象限：，，，（正切、余切正）.第四象限：，，，（仅余弦正）.2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记）无意义无意义无意义无意义无意义重点记忆：符号规律的本质：由单位圆交点坐标的正负决定（，，）.轴线角的特殊值是计算、化简的基础，需熟练背诵（尤其、、、）.易错辨析：误区：，.纠正：终边在轴负半轴，交点坐标，故；终边在轴负半轴，交点坐标，故.知识点4：同角三角函数的基本关系（核心公式）1.平方关系（，恒成立）.2.商数关系（）.3.倒数关系（）.拓展：，（课本拓展内容，辅助记忆）.4.常用变形公式（干货结论）平方关系变形：（符号由所在象限决定）（符号由所在象限决定）商数关系变形：，.重点记忆：平方关系是“万能公式”，常用于化简、求值、证明恒等式.变形公式的符号判断是关键：开方时必须结合的象限确定正负（如在第二象限，，故）.易错辨析：误区1：变形为，忽略负号.纠正：若在第三、四象限，，应取负号，即.误区2：认为对所有角成立.纠正：当（即）时，正切无意义，公式不成立.知识点5：特殊角的三角函数值（必背干货）角度无意义无意义无意义记忆技巧：对称记忆：，，，其三角函数值与对应锐角的三角函数值绝对值相等，符号由象限决定.口诀记忆：“30°、45°、60°，正弦分母2，分子1、√2、√3；余弦倒过来，正切分子分母换”.易错辨析：误区：，.纠正：，；，，可通过“小角对小值”辅助判断知识点6：诱导公式（化简求值必备）诱导公式本质：将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”.“奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为（），当为奇数时，三角函数名称改变（，）；当为偶数时，三角函数名称不变.“符号看象限”：将视为锐角，判断原角（）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果的正负.常用诱导公式分类（按角的关系划分）1.终边相同的角（，）说明：，为偶数，名称不变；终边相同，符号与一致.2.负角公式（）说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第四象限，按符号规律定号（如在第四象限为负，故）.3.补角公式（）说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第二象限，按符号规律定号（如在第二象限为负，故）.4.余角公式（）说明：，为奇数，名称改变（，）；将视为锐角，在第一象限，所有三角函数值为正，故结果符号为正.5.平角加角（）说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第三象限，按符号规律定号（如在第三象限为负，故）.6.270°相关角（、）（为奇数，名称改变）：（为奇数，名称改变）：诱导公式使用步骤（四步走）1.去周期：利用公式，将角化为范围内的角.2.定象限：判断化简后角所在的象限.3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称.4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值.示例（辅助理解）计算：1.去周期：（无需去周期，已在）.2.定象限：在第三象限.3.用公式：，为偶数，名称不变（仍为）.4.定符号：第三象限为负，故.易错辨析：误区1：（忽略“奇变”）.纠正：，为奇数，名称改变（）；将视为锐角，在第二象限，为正，故.误区2：（符号错误）.纠正：在第二象限，为负，故.误区3：使用诱导公式时，未先将角化为，导致公式误用.纠正：如计算，先化为，再计算.重点记忆：诱导公式核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”必须熟练掌握，可覆盖所有诱导公式.常用公式（、、）是高频考点，需单独强化记忆.七、概念比较与辨析（易混点突破）1.正弦与余弦的区别与联系维度正弦（）余弦（）联系定义单位圆交点纵坐标单位圆交点横坐标平方和为1（）值域诱导公式：，符号规律一、二象限正，三、四象限负一、四象限正，二、三象限负互补角关系：，2.正切与余切的区别与联系维度正切（）余切（）联系定义（对边/邻边）（邻边/对边）互为倒数（）定义域诱导公式：，值域符号规律一致（一、三象限正，二、四象限负）3.三角函数值与角的关系关键：“一个三角函数值对应无数个角”（终边相同的角）.示例：，则或（）.4.同角三角函数关系与诱导公式的区别类型同角三角函数关系诱导公式核心作用同一角的不同三角函数间的转化不同角的三角函数间的转化（化任意角为锐角）适用场景化简、求值、证明恒等式（同一角）化简、求值（任意角转化为锐角）关键特征仅涉及“一个角”涉及“两个角”（任意角与锐角）八、常考结论与预习建议1.常考结论（课本延伸，考试高频）若为锐角，则（如，，）.若（互余），则：，，（本质是余角诱导公式）若（互补），则：，，（本质是补角诱导公式）诱导公式拓展：，（在第四象限，按符号规律推导）.2.预习建议第一步：先掌握“任意角的概念”和“单位圆定义”，这是理解后续内容的基础.第二步：牢记“特殊角三角函数值”“符号规律”和“核心诱导公式”，通过简单例题（如判断的符号、计算的值）强化记忆.第三步：熟练运用“同角三角函数基本关系”和“诱导公式”，尝试化简、求值（如已知，在第二象限，求、；计算、）.第四步：整理错题本，重点标注“符号错误”“定义域遗漏”“公式误用”“诱导公式口诀记错”四类问题.【题型1求特殊角的三角函数值】例1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC=12，BC=5，求【答案】sinA=513，【分析】勾股定理求出三角形的斜边长，再根据直角三角形中三角比的概念代入数值计算.【详解】在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，∠C=所以sinA=BCAB=5例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如果方程x2−4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，Rt△ABC的最小角为A，那么【答案】13或【分析】求得方程的两根，从而得到直角三角形的边长，再依据较长边为直角边或斜边，利用勾股定理求得另一条边长；然后根据锐角三角函数的定义，求得tanA【详解】解方程x2−4x+3=0，得x1则1为三角形最小边长，①当3是直角边时，因为Rt△ABC最小的角为A，所以tan②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=3所以tanA=所以tanA的值为13或故答案为：13或2变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，B=40°，则直角边AC的长为【答案】m【分析】利用锐角三角函数的正弦值的定义可求解.【详解】在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，B=40°所以sin40°=ACAB

故答案为：msin变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在Rt△ABC中，C=90°，B=30°，AB=16，则BC的长是

【答案】8【分析】直接由锐角三角函数即可求解.【详解】由题意BC=AB⋅cos故答案为：83【题型2求终边相同的角】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：(1)−315°；(2)905.3°；(3)−1090°；(4)530°【答案】(1)45∘(2)184.7∘(3)350∘(4)170∘【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可.【详解】（1）∵−315∴−315（2）∵905.3∴905.3（3）∵−1090∴−1090（4）∵530∴530例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知0∘<β<180∘，若将角β的终边顺时针旋转120∘所得的角的终边与角β【答案】β=60∘【分析】先根据任意角的定义写出β满足的条件，然后结合β的范围求解.【详解】角β的终边顺时针旋转120∘所得的角为β−由题意，β−120∘=5β+k×注意到0∘<β<180故β=60∘变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角α0°≤α<360°(1)−1441°；(2)890°．【答案】(1)与角359°的终边重合，第四象限角；(2)与角170°的终边重合，第二象限角.【分析】（1）（2）将给定角写成k⋅360°+α(k∈Z【详解】（1）−1441°=−5×360°+359°，且270°<359°<360°，所以角−1441°与角359°的终边重合，它是第四象限角.（2）890°=2×360°+170°，且90°<170°<180°，所以角890°与角170°的终边重合，它是第二象限角.变式2．（23-24高一下·上海·期中）在0°,360°内与−80°终边重合的角为．【答案】280°【分析】将−80°表示成−80°=−360°+280°即可得解.【详解】因为−80°=−360°+280°，所以在0°,360°内与−80°终边重合的角为280°.故答案为：280°.【题型3象限角的判断】例1．（24-25高一下·上海青浦·期中）366°是第象限的角．【答案】一【分析】由366°=360°+6°确定终边相同的最小正角所在象限，即可得.【详解】由366°=360°+6°，即366°与6°的终边相同，故366°为第一象限角.故答案为：一例2．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，2025°是第象限角.【答案】三【分析】根据任意角定义找到2025°对应的最小正角，即可得.【详解】由2025°=360°×5+225°，而225°为第三象限角，所以2025°是第三象限角.故答案为：三变式1．（24-25高一下·上海·月考）4弧度是第象限角．【答案】三【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案．【详解】4×180故答案为：三变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知α的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若α=3，则α是第象限角.【答案】二【分析】弧度转化成角度，即可判断.【详解】α=3=3×180π∘故答案为：二【题型4根据图形求角的范围】例1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【答案】(1)x|k⋅(2)x|n⋅【分析】直接利用所给角，表示出范围即可.【详解】图（1）中角x组成的集合为x|k⋅360图（2）中角x组成的集合为x|k⋅360∘x|2k⋅180°x|n⋅180例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.(1)(2)【答案】(1)θ2k(2)θn【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果.【详解】（1）因为330°,−π6的终边相同，60°=π3，所以阴影部分所表示的区域位于−π6与（2）因为30°=π6，210°===θ变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.(1)终边在射线OA上；(2)终边在直线AB上.【答案】(1)αα=2k(2)αα=k【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可.（2）写出终边在OA和OB上角的集合，再取并集即可.【详解】（1）由任意角的定义得，终边在射线OA上的角为αα=2k（2）由任意角的定义得，终边在射线OB上的角为αα=2k化简得αα=(2k+1)所以终边在直线AB上的角为A∪B=α变式2．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合αkπ≤α≤kA． B． C． D．【答案】C【分析】对k按奇偶分类讨论可得．【详解】当k=2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ+π此时α的终边和0≤α≤π当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+π≤α≤2nπ+π+π此时α的终边和π≤α≤π+π故选：C．【题型5由已知角的象限求未知角的象限】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果α是锐角，那么2α是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．小于180°的正角 D．钝角【答案】C【分析】根据条件得到0<2α<π【详解】因为α是锐角，即0<α<π2，所以故选：C.例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若α是第一象限的角，则α2是第几象限的角？2α【答案】α2是第一象限或第三象限的角，2α是第一象限或第二象限的角或在y【分析】由α的范围，求出α2【详解】因为α是第一象限角，所以α∈（2kπ所以α2当k=2n,n∈Z时，∴α2当k=2n+1,n∈Z时，∴α2所以α2因为2α∈（4kπ所以2α是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知α为第三象限角，则α2所在的象限是（

A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】C【分析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出满足α2的不等式，从而确定α【详解】由α为第三象限角，得2kπ+π<α<2kπ+3π则kπ+π当k=2n,2nπ+π2<当k=2n+1,2nπ+3π2<故α2故选：C.变式2．（23-24高一下·上海金山·月考）已知α是第二象限角，那么α2为第【答案】一或三【分析】根据题意推得π4+kπ【详解】因为α是第二象限，所以π2+2kπ当k为偶数时，α2是第一象限角，当k为奇数时，α故答案为：一或三【题型6角度制与弧度制转化】例1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）20o化为弧度是【答案】π9/【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解.【详解】因为20o故答案为：π9例2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是.【答案】−π3【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可.【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转360°×16=60°因此，分针转过的弧度数是−π故答案为：−π变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：(1)11(2)−(3)−3（结果精确到0.01°）．【答案】(1)165(2)−(3)−【分析】利用πrad=【详解】（1）1112π=（2）−25π（3）−3=−3×180变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设α1=−570°，α2=750°，(1)将α1、α(2)将β1、β【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）将角度数乘以π180即可化为弧度，再化为2k（2）由π=180°【详解】（1）α1α2=750°=750×π即α1是第二象限的角，α（2）β1=3所以−720°<k⋅360°+108°<0°，解得k=−2或k=−1，所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°；β2=−π所以−720°<k⋅360°−60°<0°，解得k=−1或k=0，所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°.【题型7求弧长公式】例1．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为2π3，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是【答案】π【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.【详解】依题意，设扇形的圆心角为α(α>0)，因为扇形的半径是r=2，弧长为l=2π所以由l=α⋅r，得2π3=2α，则故答案为：π3例2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为π3，且半径为6 cm，则该扇形的弧长为【答案】2π【分析】利用弧长公式求解．【详解】l=θr=π故答案为：2变式1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为π6，则扇形弧长为【答案】π【分析】利用弧长公式即可求解.【详解】根据弧长公式，l=αr=π故答案为：π变式2．（24-25高一下·上海静安·期末）扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于.【答案】12【分析】弧长公式L=r×θ是弧度制下的基本公式，直接使用给定的半径和弧度值代入计算即可.【详解】因为扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，由扇形的弧长公式L=r×θ可得：该扇形的弧长L=8×1.5=12故答案为：12【题型8扇形面积公式】例1．（25-26高二上·上海·期中）已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为.【答案】2【分析】根据扇形的面积公式S=1【详解】因为r=2，S=2，设该扇形的弧长为l，则S=12lr=故答案为：2例2．（24-25高一下·上海·月考）已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形圆心角的弧度为．【答案】1【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.【详解】设扇形圆心角的弧度为α，∵扇形面积S=12α故答案为：1.变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的1360规定为1度，把弧长l与半径r的比值为1的角规定为1弧度.设扇形的半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则下列比值中不能度量角的是（

A．Cr B．rl C．SC【答案】C【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有lr【详解】对于A选项，Cr对于B选项，rl对于C选项，SC对于D选项，Sr故选：C.变式2．（22-23高一下·上海宝山·月考）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．(1)若α=60°，R=6，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角α．【答案】(1)2(2)扇形周长的最小值为16，此时α=2【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；（2）根据扇形的面积公式求得l,R的关系，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】（1）因为α=60°=π3，所以扇形的弧长l=αR=2π（2）由扇形面积S=12α则扇形周长为l+2R=32当且仅当32R=2R，即此时，12α×4所以扇形周长的最小值为16，此时α=2.【题型9由终边上的点求三角函数值】例1．（25-26高一上·上海·月考）已知角θ的终边经过点P32,−【答案】3【分析】P在单位圆上，根据三角函数的定义即可求解.【详解】322+P的横坐标的值即为cosθ，故cos故答案为：3例2．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角α终边上一点P(2,m)，若sinα=55，则实数mA．1 B．2 C．±1 D．±2【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解.【详解】依题意，sinα=m4+故选：A变式1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知Px,−2是角α终边上一点，且cosα=−5【答案】−25【分析】由角终边上的点及余弦值可得x=−1，再由定义求sinα【详解】由题设cosα=xx所以sinα=−故答案为：−变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知α为第二象限的角，其终边上有一点Px,5，且cosα=【答案】−【分析】根据三角函数的定义先算出x，然后由正切函数值的定义求解.【详解】由于α为第二象限的角，则x<0，根据三角函数的定义，cosα=24则tan【题型10由单位圆求三角函数的值】例1．（23-24高一上·湖北孝感·月考）已知角α的终边与单位圆交于点P15,m(1)求实数m的值；(2)求sinα,【答案】(1)m=−2(2)sinα=−【分析】（1）由题意可得125+m（2）根据任意角的三角函数的定义求解即可.【详解】（1）由角α的终边与单位圆交于点P15,m又由m<0，解得m=−2（2）因为角α的终边与单位圆交于点P1所以sinα=−例2．（23-24高一上·福建福州·月考）已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点P12,A．α=π3 B．sinα=12 【答案】C【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可.【详解】因为角α终边交单位圆于点P1所以122+y0所以sinα=y=±32，cos因为cosα=12故选：C.变式1．（24-25高一下·辽宁·月考）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线y=−3xx≥0与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，QA．−32,−12 B．−3【答案】C【分析】当质点Q与P第二次相遇时，质点Q比P多旋转2π+π【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间ts，依题意有5t−3t=2解得t=π+π6，此时质点Q转过角度为5π+5π6故选：C变式2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P−35,4A．3215 B．1115 C．−8【答案】A【分析】由三角函数定义求出sinα,【详解】角α终边与单位圆交于点P−35,4sinα−故选：A.【题型11解三角不等式】例1．（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若α∈0,π2【答案】证明见解析【分析】通过三角函数线可得：sinα=MP，tanα=AT，α=AP，则只需比较MP，AT【详解】证明：如图，由三角函数线得：sinα=MP，tanα=AT，

∵S△POA∴12∴MP<AP<AT，即例2．（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．(1)sinα<−(2)cosα>【答案】(1)α(2)α【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合.【详解】（1）如图①，过点0,−12作x轴的平行线交单位圆于P,P'两点，则sin∠xOP=故α的范围是α7

（2）如图②，过点32,0作x轴的垂线与单位圆交于P,P'两点，则故α的范围是α−变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求函数y=lg【答案】[2kπ+【分析】由题意可得2sinx−1>01−2【详解】要使原函数有意义，有2sinx−1>01−2如图，在单位圆中由sinx>12可知角x的终边落在由OA，OB由cosx≤12可知角x的终边落在由OC，OD所以2kπ+π所以原函数的定义域为[2kπ+π

变式2．（2024·上海·期末）已知θ>0，对任意n∈N∗，总存在实数φ，使得cos(nθ+φ)<3【答案】2π【分析】利用单位圆中的终边位置研究，可知θ>∠AOB=π3，存在正整数m,使得2mπθ【详解】在单位圆中分析，由题意，nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx=∠BOx=π必存在某个正整数n，使得nθ+φ终边在OB的下面，而再加上θ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，∴θ>∠AOB=π∵对任意n∈N∗要成立，所以必存在某个正整数n，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的故存在正整数m,使得2mπθ∈N∗，即同时θ>π∴θ的最小值为2π5故答案为：2π5【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数m,使得2mπθ【题型12确定三角函数的符号】例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知α是第四象限的角，则点Ptanα,cos【答案】二【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可.【详解】因为α是第四象限的角，所以tanα<0,故点Ptan故答案为：二例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知sinθ>0且cosθ<0，则θ为第【答案】二【分析】根据三角函数在各象限符号求解.【详解】因为sinθ>0时，θ终边在第一、第二象限或ycosθ<0时，θ终边在第二、第三象限或x所以θ为第二象限角.变式1．（24-25高一下·上海·月考）若sinθ⋅cosθ>0，则θ【答案】一或第三【分析】由已知的sinθ和cos【详解】当sin⁡θ⋅cos⁡θ>0时，sin第一象限：sin⁡θ>0且cos第三象限：sin⁡θ<0且cos第二、四象限中，sinθ和cos综上，θ是第一或第三象限的角.故答案为：一或第三变式2．（24-25高一下·上海·开学考试）若α是第四象限角，则点Psinα,tan【答案】三【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得sinα<0,【详解】∵α是第四象限角，则sinα<0,故点Psin故答案为:三【题型13sinα、cosα、tanα的知一求二问题】例1．（24-25高一上·上海·期末）设常数p，q∈R，关于x的方程x2+px+q=0的两个实数根是sin(1)若cosα=12，α∈0,π(2)若p=22，α∈0,π，分别求【答案】(1)p=−(2)q=−14【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到sinα=（2）根据条件，利用平方关系得到p2−2q=1，可得q=−14，进而可判断出【详解】（1）因为cosα=12，α∈又方程x2+px+q=0的两个实数根是sinα所以sinα+cosα=−psinα（2）由题知sinα+cosα=−p所以p2−2q=1，又p=2因为sinαcosα=−14又cosα−sinα例2．（24-25高二上·上海·月考）已知2cos2θ−cosθ=1，【答案】32/【分析】先根据给定条件解方程求得cosθ=−【详解】因为2cos2θ−cosθ=1因为θ∈0,π，所以cosθ=−所以sinθ=故答案为：32变式1．（25-26高三上·上海·月考）已知tanα=3，且α在第一象限，则cosα=【答案】1010/【分析】根据三角函数的基本关系求解即可．【详解】因为tanα=3，所以sinα=3cosα，又sin2α+cos2α=1故答案为：1010变式2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知tanα=−43，且α是第四象限角，求cot【答案】cotα=−34【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为tanα=−43所以cotα=因为tanα=sinαcosα因为α是第四象限角，所以cos所以cosα=【题型14弦化切】例1．（25-26高三上·上海·月考）若tanθ=13，那么1+【答案】−【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切.【详解】根据题意，tanθ=1+sin故答案为：−例2．（25-26高二上·上海·月考）已知tanα=34，则sin【答案】−【分析】利用同角三角函数关系，把原式转化为含tanα的表达式，再代入已知tan【详解】∵tan∴cos∴sin故答案为：−13变式1．（24-25高一下·上海·期中）若tanα=1，则sinα+【答案】2【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以cosα【详解】由tanα=1，可知cosα≠0，故故答案为：2.变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知sinα+cosα=1【答案】46【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可.【详解】tan2α+∵∴故答案为：469【题型15sinα±cosα与sinαcosα的关系应用】例1．（24-25高一下·上海·期末）若0<x<π4，且sinx+cosx=【答案】−15【分析】首先利用平方关系求2sinxcos【详解】sinx+cosx则sinx−且0<x<π4，则sinx−故答案为：−例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知sinα−cosα=22，【答案】6【分析】由题意可求得sinαcosα=14【详解】由sinα−cosα=所以1−2sinαcos又α∈0,π，所以sinα>0，所以cos又sinα+所以sinα+变式1．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知三角形内角α满足sinα+cosα=1【答案】7【分析】首先将sinα+cosα=12【详解】因为α为三角形的内角，所以sinα>0又sinα+cosα=12，所以sin所以cosα<0所以sinα−故答案为：7变式2．（24-25高一上·上海·期末）已知sinα及cosα是关于x的方程2x【答案】12【分析】由sinα+cosα=−2k,sinαcosα=3k2【详解】因为sinα与cosα是关于x的方程∴sin将sinα+cosα=−2k即sin1+2×3k2 解得k=−14或当k=1时原方程化为2x2+4x+3=0经检验k=−1∴sin=sinα=sin2α−cos2【题型16由同角公式化简】例1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知α是第二象限的角，化简：1+sinα1−【答案】−【分析】根据条件，利用三角函数在各个象限的符号得cosα<0,【详解】因为α是第二象限角，所以cosα<0,所以1+sinα1−sinα+1−sinα故答案为：−2例2．（24-25高一上·上海·期末）若θ∈π2,π，则【答案】−1【分析】利用三角函数的平方关系sin2θ+cos2θ=1【详解】因为sin2θ+cos那么原式1−sin2θ已知θ∈(π2,因为cosθ<0则cos2故答案为：−1变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知sinα=asinβ，bcosα=acosβ【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用同角公式的平方关系，结合三角函数值的符号推理即得.【详解】由sinα=asinβ，b即1+(b2−1)cos2α=a所以cosα=变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知α是第二象限的角，化简：1+sin【答案】−【分析】根据条件，利用平方关系和三角函数在各个象限的符号，进行化简，即可求出结果.【详解】因为1+=(1+又α是第二象限的角，所以cosα<0，故1+所以1+sin【题型17由诱导公式证明恒等式】例1．．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角α和β的终边关于x轴对称，则（

）A．sinα=sinβC．sinπ2+α【答案】C【分析】由角α和β的终边关于x轴对称，可得α=−β+2kπ，k∈【详解】由角α和β的终边关于x轴对称，可得α=−β+2kπ，k∈对于A，由sinα=对于B，由tanα=对于C，由sinπ对于D，由cosπ故选：C．例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：tan(2【答案】证明见解析【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】左边=−所以tan(2变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求证：2sin(θ−3π【答案】证明见解析【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．【详解】左边=−2cosθ⋅sinθ−1sin右边=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)−1=tan所以等式成立.变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知sin(α+β)=1，求证：tan【答案】证明见解析.【分析】由已知可得α=2kπ+π【详解】由sinα+β=1，得α+β=2kπ+π2（因此tan2α+β+=tan(4k=tan所以原等式成立.【题型18诱导公式的化简求值】例1．（24-25高一下·上海·期末）已知角α终边上一点P1,3，则cosα−【答案】−【分析】由三角函数的定义得tanα=3【详解】由题设sinα=310，coscosα−故答案为：−例2．（24-25高一下·上海·月考）已知tanα=3，则sin3【答案】2【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.【详解】因为tanα=3所以sin=1+故答案为：2.变式1．（24-25高一下·上海嘉定·月考）已知tanα=−(1)sin2(2)2【答案】(1)1(2)−1【分析】（1）先利用诱导公式化简可求值；（2）利用1的代换可得原式=2sin2【详解】（1）sin2π−α（2）2sin变式2．（24-25高一下·上海·月考）解决下列问题：(1)已知sin(π−α)−2(2)已知−π<x<0，sinx+【答案】(1)−(2)−【分析】（1）由诱导公式，sinα−2cosα（2）将sinx+cosx=16平方后，可得sin【详解】（1）由诱导公式，sin(若cosα=0，则sinα3所以tanα=sinα（2）因sinx+则sin2即sinx，cosx一正一负，又即sinx−又sinx−则sinx−一、核心基础：角的概念与度量1.角的定义与推广正角、负角、零角象限角（四个象限的集合表示）、轴线角（不属于任何象限）终边相同的角（集合表示：）2.角的度量单位角度制：、、等特殊角弧度制：1弧度的定义（弧长=半径的圆心角）、换算公式（，）弧度制表示的象限角、轴线角集合二、核心定义：三角函数的本质1.两种定义形式直角三角形定义（锐角适用）：对边/斜边（）、邻边/斜边（）、对边/邻边（）、邻边/对边（）单位圆定义（任意角适用）：、、、（为终边与单位圆交点坐标）2.定义域与值域定义域：、为；（）；（）值域：、为；、为三、核心性质：符号、关系与诱导公式1.三角函数值的符号规律口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦”轴线角的特殊三角函数值（、、、等）2.同角三角函数基本关系平方关系：商数关系：倒数关系：常用变形（开方、代换）3.诱导公式（核心口诀：奇变偶不变，符号看象限）终边相同的角：（函数名不变，符号不变）负角：（函数名不变，符号按象限定）互补/互余角：、（互补名不变，互余名改变，符号按象限定）其他：、等拓展公式四、核心工具：特殊角三角函数值关键角度：、、、、、、、、记忆方法：对称记忆（互补角绝对值相等）、口诀记忆五、核心应用：题型与解题方法1.基础题型定义求值（直角三角形边长、单位圆交点坐标）符号判断（根据象限或角度）单位换算（角度制与弧度制互化）特殊角直接计算2.核心题型化简：利用同角关系、诱导公式化简表达式求值：已知一个三角函数值求其他三个（注意符号判断）证明：利用基本关系、诱导公式证明恒等式求角：根据三角函数值求指定范围内的角3.综合题型终边相同的角的三角函数计算诱导公式与同角关系综合化简/求值互余、互补角的三角函数应用六、易错点与关键提醒1.忽视三角函数定义域限制（正切、余切的禁忌角）2.开方时忽略符号判断（由角的象限决定）3.诱导公式“奇变偶不变”中“奇、偶”的判断（中的奇偶性）4.角度制与弧度制混用（弧长、扇形面积公式需用弧度制）一、单选题1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若α为第三象限角，则（

）A．sin2α<0 B．C．cos2α<0 D．【答案】B【分析】利用α为第三象限角，求2α所在象限，再由三角函数值逐个判断可得.【详解】因为α为第三象限角，所以π+2k可得2π+4kπ所以2α是第第一，二象限角，所以sin2α>0，cos故选：B2．（24-25高一下·上海·期末）已知x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得.【详解】当sinx=1时，cosx=0一定等于零；反之当cosx=0所以“sinx=1”是“cos故选：A.3．（25-26高三上·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45°，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tanα=（

A．4+72 B．4+74 C．【答案】C【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为acosα−sinα，根据已知可得a2【详解】设大正方形的边长为aa>0，则小正方形的边长为a依题意可得a2cosα−即sinαcosα=解得tanα=4−7因为0°<α<45°，则0<tanα<1，故故选：C二、填空题4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知tanθ=−2，则3sin【答案】−8【分析】由同角的三角函数计算可得.【详解】3sin故答案为：−8.5．（24-25高一下·上海