2026年高考数学复习讲练测专题06 数列解答题常考题型全归纳（题型专练）（原卷版）

专题06数列解答题常考题型全归纳目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【解答题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【解答题破译】题型01等差、等比的判定与证明题型02分组求和与并项求和题型03列项相消法求和题型04错位相减法求和题型05子数列问题题型06数列中的最值范围问题题型07数列的放缩问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01等差、等比的判定与证明【例1-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足．(1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列：(2)求数列的前项和．【例1-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.(1)证明：是等差数列，是等比数列；(2)求数列的前项和..1．等差数列的有关概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．1．等比数列的有关概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)若，求数列的前项和.【变式1-2】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；【变式1-3】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足(1)求证：数列为等比数列；题型02分组求和与并项求和【例2-1】已知数列中，，.(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.【例2-2】（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，.(1)求证：为等比数列；(2)若，求数列的前项和.一、分组求和的常见类型二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．【变式2-1】已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，记数列前项和为，且有.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前21项和.【变式2-2】已知数列的前项和，满足：；数列满足：(1)求的通项公式(2)设，求的前项和【变式2-3】（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值.题型03列项相消法求和【例3-1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【例3-2】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.裂项技巧①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）（2）（3）【变式3-1】（25-26高三上·四川绵阳·月考）设数列的前n项和为，已知．(1)求的值和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，求证：．【变式3-2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系.(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，若，求.【变式3-3】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足.(1)求；(2)证明：数列为等差数列；(3)令，求数列的前项和.题型04错位相减法求和【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．(1)求；(2)令，求的前项和．【例4-2】已知等差数列满足，，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：．错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出【变式4-1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【变式4-2】（25-26高三上·山西大同·月考）设数列的前项和.数列是等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值.【变式4-3】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和.题型05子数列问题【例5-1】（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和.【例5-2】（25-26高三上·天津武清·月考）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)求；(3)若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和.【变式5-1】已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，数列的前项和为；(3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和．【变式5-2】（25-26高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列中已知，.(1)求数列的通项公式；(2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和.【变式5-3】（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.(1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”；(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”，（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（）题型06数列中的最值范围问题【例6-1】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为．(1)求；(2)若，求数列的前n项和；(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．【例6-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．(1)证明：是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．【变式6-1】（2025高三上·安徽六安·专题练习）设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，．(1)求与的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值．【变式6-2】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设．(1)求的通项公式．(2)设，求．(3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值．题型07数列的放缩问题【例7-1】在正项数列中，，，证明：.【例7-2】（通项放缩：放缩成等比）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，S（Ⅰ）若2a2,（Ⅱ）设双曲线x2−y2an2常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．（9）．【变式7-1】（通项比较）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1（1）求数列an（2）若an是单调递增数列，求证：1【变式7-2】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2（(1)求数列an(2)令cn=anbn，求数列(3)证明：1b1．在等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和．2．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，.(1)求，；(2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值.(3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.3．已知数列满足，，点是函数上的点，(1)若.（，为正整数），求的值(2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为(3)证明：.4．已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且，数列的前项和为，满足(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足：．（i）求的通项公式；（ii）求使得成立的所有值．5．正整数列定义如下：，对有，.(1)直接写出；(2)对，若，求的值；(3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次．6．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)讨论在区间上的单调性；(3)设，证明：．7．如