期末考前冲刺之中等易错题-2024苏科版八年级数学上册

期末考前满分冲刺之中等易错题

类型一、证明的依据（选、填）类型六、等展三角形的应用（选、填、解）

类型二、平面直角坐标系（选、填、解）类型七、一次函数中的增减性（选、填、解）

类型三.垂直平分线的应用值、填、解）类型八、一次函数与不等式结合（选、填、解）

类型四、勾股定理的应用（选、填、解）类型九、一次函数表达式（解）

类型五、角干分线的应用（选、填、解）类型十、尺规作图与无刻度尺作图（解）

【专题过关】

类型一、证明的依据

1.工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知NAIM是一个任意角,

在边。4、04上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点A/、N重合,

就可以知道射线0c是2八08的角平分线.依据的数学基本事实是（)

N

B

A.SASB.ASAC.AASD.SSSSSS

【答案】D

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由三边对应相等得△OMg/XONC,再根据

全等三角形对应角相等得出NMOC=NNOC,即可判断.

【详解】解：由图可知，CM=CN,又OM=ON,OC为公共边，

•.OMC^zOVC(SSS),

ZMOC二NNOC,

•••射线OC是NAOB的角平分线.

因此依据的数学基本事实是：三边分别相等的两个三角形全等.

故选：D.

2.将两个完全相同的等腰百角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和45。的

两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线AP,则AP为48C'的角平分线的

依据是()

A.角平分线上的点到角的两边的距离相等

B.垂直平分线的性质

C.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

D.利用“SS4”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的判定，理解图形是解题的关键.

根据图形可得N。样=NAGP=90°，"=GP,再根据角平分线的判定即可.

【详解】解：根据题意可得N。m=/用上=90。,即=62，

则初为48c的角平分线，

故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，

故选：C.

/X

B

3.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明NC4O=ND48的依据是()

ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作角平分线，根据题意，可得

AED^AFD(SSS),由此即可求解.

【详解】解：根据尺规作四可得，AE=AF,DE=DF,AD=AD,

AED^AFD(SSS),

同依据是SSS,

故选：D.

4.如图请仔细观察用直尺和圆规作一个角NA'OB等于已知角NAO8的示意图，请你根据

所学的三角形全等的有关知识，说明画出NA'0#=NAO8的依据是,

【答案】SSS

【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判

定定理是正确解答本题的关键.

由作法易得。。=。'。'，。。=。'。'，。力二仁。，依据555定理得至1」/\。'。。02\"＞。，由全等

三角形的对应角相等得到乙4'。9=ZAOB.

【详解】解：由作图方法可知OO=O'D,OC=O'C',CO=C'。,

在，。与△QOC中，

OD=O'D,

OC=O'C,

CD=CD,

0△D,C/C^ADOC（SSS）,

（3ZA'02=NA0B（全等三角形的对应角相等）.

故答案为：SSS.

5.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的N4O8的两边上，分别取OM=ON,再

分别过点“、N作。A、OB的垂线，交点为P,。画射线。尸，由画法得尸的

依据是_____.

【答案】HL

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得NPMO=N0VO=9O。，再利用HL

即可证明△OPMWAONP.

【详解】解：由题意可得：NPMO=/PNO=90。,

在RtPMO和RtfNO中,

\0M=0N

\OP=OP'

0RtPMO^Rl尸NO（HL）,

团由画法得△OPM之△ONP的依据是HL,

故答案为：HL.

6.如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中A3=AC,BC是横梁，4。是竖梁，在

焊接竖梁A。时，只需要找到8c的中点。，就可以保证竖梁AO与横梁8c垂直，这样操作

的数学依据是

【答案】等腰三角形三线合•

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三

角形的性质是解此题的关犍.

【详解】解：（2A4=AC,BD=CD,

^AD±BC,

故样操作的数学依据是等接三角形三线合一,

故答案为：等腰三角形三线合一.

类型二、平面直角坐标系

1.已知点历（3。+氏3）和点N（-2,a-切关于x轴对称，则a与〃的值分别是（）.

A.2,1B.1,2C.1,-1D.-1,1

【答案】D

【分析】本题主要考查关于x轴对称的两个点的坐标的相关计算，掌握两点关于x轴对称,

横坐标相等，纵坐标互为用反数是解题的关键.让两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数得

到二元一次方程组，求出的值即可.

［详解）•,•点M（3。+解3）和点N（-2,。-幼）关于x轴对称,

3a+b=-2

"\a-2b=-3t

a=-\

解得L.>

b=1

故选：D.

2.已知点P（3a-2,a+6）到两坐标轴的距离相等，那么口的值为（）

3

A.4B.-6C.-1或4D.-6或一

-2

【答案】C

【分析】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出

|3〃一2|=卜+6|,注意不要漏解.

由点2（3。-2,。+6）到两坐标轴的距离相等可得出|3“-2=|〃+6],求出a的值即可.

【详解】解：团点P（3a-2,a+6）到两坐标轴的距离相等，

0|3«-2|=|«+6|

团%—2=〃+6或3々-2=一（々+6）

回。=4或。=-1.

故选C.

3.点「（〃?,m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为.

【答案】（T.0）

【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点在x轴上的坐标特征是解题的关键.根据点在

x轴上的坐标特征可得〃任1=0,进而得出答案，

【详解】解：•,,点尸（肛山+1）在直角坐标系的x轴上，

.,./〃+1=0,

〃?=一1,

.•）点坐标为（一1，0）.

故答案为：（-1,0）.

4.已知点P（2x-3,3-.r）.点Q（3,2）,若PQ〃入轴，则点尸的坐标是

【答案】（一1,2）

【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练运用平行于木料的直线上点的特征求得点，的坐标

是解题的关键.

根据平行于x轴的直线上点的特征可得点。与点Q的纵竺标相等，求得x=l,即可求出点产

的坐标.

【详解】解：13尸。〃x,

0点P与点。的纵坐标相等，

团3-x=2,

解得：x=l,

0P（-1,2）,

故答案为：（T,2）.

5.如图，在平面直角坐标系中，V4BC三个顶点的坐标分别是A（3,4）,8（1,2）,C（5,l）.

⑴画出VA8C关于y轴对称的△A4G:

⑵写出点A，Bi，q的坐标；

⑶求VA4C的面积.

【答案】（1）画图见解析；

（2）A（-3,4）,C,（-5,l）；

⑶5.

【分析】（1）根据轴对称图形定义即可作图，

（2）根据点的位置即可求点坐标；

（3）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可求解；

本题考查了作图-轴对称变换、图形与点的坐标、求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质作

图是解题的关键.

【详解】（1）解：如图，

（2）解：13A（3,4）,8（1,2）,C（5,l）,

团关于）'轴对称的A（—3,4）,4（一1,2）,G（—5,1）；

（3）解：VA4c的面积为：4x3--x2x2--x4xl--x2x3

222

=12-2-2-3

6.如图，每个小正方形的边长为1个单位长度.V人AC中A点坐标为(-2,1),8点的坐标为

(T2).

⑴请在图中画出符合题意的平面直角坐标系，并写出C点坐标」

(2)作出VA8C关于％轴对称图形△A4G；

⑶在y轴上找一点P,使得点。到点A、。的距离相等；(不写作法，保留作图痕迹)

⑷若。为X轴上一点，连接AQ、CQ,则二ACQ周长的最小值为

【答案】⑴作图见解析，（-3,3）

⑵作图见解析

⑶作图见解析

⑷作图见解析，石+如

【分析】（1）根据点的坐标作出平面直角坐标系即可求解；

（2）根据轴对称的性质找出点A、B、C关于工轴对称的对应点4、用、C，再顺次连接

可得△AB©;

（3）当点尸与原点。重合时，连接转、8户即可；

（4）连接4G交x轴于点。即可：

【详解】（1）解：如图所示的坐标系即为所求，C（-3,3）,

故答案为：（-3,3）：

如图，点A、2、c美于X轴对称的对应点分别为A、4、C,,连接AS、BC、AC，

则△AM。即为所作;

回每个小正方形的边长为1个单位长度，

团”=彳W=石，BPHE+Q2=75,

回点〃到点A、8的距离相等，

则点夕即为所作；

（4）连接4G交x轴于点。，

13点C与点C1关于X轴对称，

团QC=QG,

团AC+AQ+QC=AC+AQ+QCi=AC+4G，

此时一ACQ周长取得最小，直，最小值为AC+AG，

团AC+A0=Vl2+22+Vf+42=>/5+717,

团-ACQ周长的最小值为石+Ji7.

【点睛】本题考杳作图一轴对称，平面直角坐标系，勾股定理，两点之间线段最短等知识点,

掌握轴对称的性质是解题的关键.

类型三、垂直平分线的应用

1.如图，在6ABe中，DE是AC的垂直平分线，AE=4CM,CBD的周长为20即，贝UABC

的周长（）

B.16cmC.24cmD.28。〃

【答案】D

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到

DA=DC,AC=2AE=8cnit再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分

线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【详解】解：团DE是AC的垂直平分线，AE=4cm,

:.DA=DC,AC=2AE=Scm,

...C8D的周长为20a〃,

:.CB+BD+DC=AD+BD+BC=AB+BC=20cm，

ABC的周长A8+8C+AC=20+828（cm）,

故选：D.

2.如图，OE是线段AC的垂直平分线，连接ADCD,若AO=2cm,AE=1.5cm,则..AC。

的周长为（）

B.6cmC.7cmD.8cm

【答案】C

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等.根据线段的垂直平分线的性质得到AD=CO=2cm,AE=CE=1.5cnr结

合图形计算,得到答案.

【详解】解:团。£是4c的垂直平分线,

^AD=CD,Z4E£>=90°,AE=CE,

0AD=2cm,AE-1.5cm,

0AD=CD=2cm,AE=CE=\.5cm,

0ACD的周长为AE+EC+AD+CD=\.5+5+2+2=,

故选：C.

3.如图，VA3c中，£>E垂直平分8C,若A3=8,AC=10,则△A3。的周长是.

E

A'------------------------B

【答案】18

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出

CD=BD.由线段垂直平分线的性质推出CO=8O,得到△AB。的周长

=AB+AC=8+10=18.

【详解】解：回。石垂直平分8C,

回△A3Q的周长=A3+A0+4Q=A4+AO+CQ=A4+AC=8+1O=18.

故答案为：18.

4.如图所示，在V八BC中，NACB=90。，随平分。&垂直平分A/3,如果3£=3cm,

DE=2cm,那么AC=cm.

【答案】5

【分析】本题考查r角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关

键.

根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得CE=£>E・BE=AE,然后求出

AC=AE+CE=8E+OE=5cm即可.

【详解】解：0ZACB=9O°,BE平分NABC,OE垂直平分A8,,

⑦CE=DE,BE=AE

^AC=AE+CE=BE+DE=5cm.

故答案为：5.

5.如图，AO是VA5C的角平分线，DEA.AB,DF±AC,垂足分别是从F,连接“，EF

与A。相交于点G.

⑴求证：人。是E尸的垂直平分线；

(2)若VA8C的面积为8,仍=3,DF=2,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)5

【分析】(1)由角平分线的性质得到。石=。尸，再证RlZ\AEO&RL.A9(HL),

得八月二4户，然后由等膻三角形的性质即可得出结论：

(2)由S树+S-=S,列式计算即可•

本题考杳了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积

等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关健.

【详解】(1)证明：田A。是V43C的角平分线，DE工AB,DF1AC,

0DE=DF,/AED=4AFD=90°,

在RtAAED和Rt△A/D中，

DE=DF

AD=AD

0RtAAED^RtAFD(HL),

0AE=AF,

又回AD是'ABC的角平分线,

团AO是E广的垂直平分线：

(2)05•Z.lO侬f，+SAZ的lvlZ=S*/帕1OV

^-ABDE+-ACDF=^,

22

(21AB=3,DE—DF—2

0—x3x2+—xACx2=8,

22

解得：AC=5,

即4c的长为5.

6.&.NABC中，点。在ZBAC的平分线所在的直线上.过点D作DE上AB于E,作DF工AC

交4c的延长线于凡且BE=CF.

⑴求证：点。在8c的垂直平分线上：

（2）若A4=5,AC=3.求相的长度是多少？

【答案】⑴证明见解析

（2）1

【分析】（1）连接B。，CD,先由角平分线的性质就可以得出。£=/）产，再证明

△O8E/△0Cr就可以得出结论；

（2）由条件可以得出VADMVAOF就可以得出延=加'，进而就可以求出结论.

【详解】（1）证明：连接80,CD,

回点。在NA4C的平分线所在的直线上，过点。作OE/A8于E,作。F/AC交AC的延

长线丁F,

:.DE=DF，

在R3BDE和RtACDF口,

BE=CF

/BED=/CFD=9伊,

DE=DF

Rt.BDE^RtCDF(SAS),

:.BD=CD,

(3点D在BC的垂直平分线上：

(2)解：HADBE^ADCF,

©DE=DF,

在Rt4DE和Rt..AO/中，

AD=AD

DE=DF'

Rt.ADE^Rt..APF(HL),

:.AE=AF,

.BE=CF,

：.AB-BE=AC+CF,

：.5-BE=3+BE,

:.BE=\.

【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性

质的运用，证明三角形全等是关键.

类型四、勾股定理的应用

1.如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点A,再在河一侧岸边选

定点尸和点8,使Q4_LPB,测得总=40米，NP84=30。，根据测量数据可计算小河宽度

PA为()

A.丝立米B.20米C.20G米D.40＞万米

3

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得NAP8=90。，然后在RtA8尸中,

利用30度角的性质得然后利用勾股定理即可解答.

【详解】解：团

团NAP8=90。，

在RtA6P中，NPBA=30°,

S1AB=2AP,

^AP2+PB2=AB2，

（71AP2+4O2=（2AP）3,

解得人夕=迪米（负值舍去），

3

故选：A.

2.如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，

顶端力被固定在墙上，这时8到墙底端C的距离为0.7米.程师傅为了方便修理，将梯子的

底端举到对面。的位置，问此时梯子底端离地高度OE长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

过。作O”_LAC于"，根据平行线的性质得到。〃=。E=2米，。石=C”，根据勾股定理即

可得到结论.

【详解】解：过。作OH_LAC于H,

••DH=CE=2米,

同理可得：DE=CH,

在RtZ\A8c中，AC=^AB2-BC-=V2.52-0.72=2.4（米），

在RlAD”中，AH=ylAD1-DH2=>/2.52-22=1.5（米），

:.DE=CH=AC-AH=0.9（米），

答：梯子底端离地高度OE长为0.9米,

故选：B.

3.《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与

岸齐.问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵

芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到

岸沿，则芦苇的高度为尺.（1丈=10尺）

【答案】13

【分析】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.找

到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答.

【详解】解：1丈=10尺

设水深为x尺，则芦苇长为"+1）尺,

根据勾股定理得：X2+（野="+1）2,

解得：x=12,

芦苇的长度=1+1=12+1=13（尺），

故答案为：13.

4.如图，一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m,若梯子的顶端下滑

2m,则梯足将滑动m.

【答案】（J五-3）

【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可.掌握勾股定理是解

题的关键.

【详解】解：如图所示：根据题意得A8=5,8C=3,

根据勾股定理可得，4。=乒丞=4，

如果梯子的顶度端下滑2米，

则GT=4-2=2.

在直角三角形A'B'C中，AE=5m,根据勾股定理得到：CU=疗二？'=01，

则梯子滑动的距离就是。8'-圆=历-3，

故答案为：（4-3）.

5.2023年7月五号台风“杜苏芮〃登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年

以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径

的圆形区域都会受台风影响），如图，线段8c是台风中心从C市向西北方向移动到8市的

大致路线，力是某个大型农场，且/W工AC.若4c之间前距300km,48之间相距400km.

北

⑴判断农场力是否会受到台风的影响，请说明理由.

⑵若台风影响该农场持续时间为5.6h,则台风中心的移动速度是多少？

【答案】（1）农场彳会受到台风的影响，理由见解析

⑵台风中心的移动速度是25km/h

【分析】此题考查了勾股定理的应用.熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角

形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键.

（1）作AO/BC,在RI/XA8C中，根据勾股定理，求出8c长，由面积关系求得的长，

即可求解；

（2）以点彳为圆心以250km为半径画弧交8c于点£,F,A£=A£=250,可知台风在EF

段移动时力受到影响，根据勾股定理求出石户的长，即可计算台风中心的移动速度.

【详解】（1）解：作A力上8C于点。，

（3ZfiAC=9O°；

0AB=4OO,AC=300,

^BC=y]AB2+AC2=500>

回4）二坐蛆=240<250,

BC

团农场力会受到台风的影响；

（2）解：以点4为圆心以250km为半径画弧交8C于点£F,

则AE=AF=250,

团台风在七厂段上移动时力受到影响，

^AD-LBC,

©DE=DF=LEF,

2

^DE=ylAE2-AD2=70,

0EF=2DE=I4O,

14()

团台风中心的移动速度-===25.

故台风中心的移动速度是25km/h.

北

6.数与形是数学中的两个最占老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转

化.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通

过“以形助数”或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽

象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

C

(1)(思想应用)已知小，〃均为正实数，且〃叶〃=3,求历W+J73的最小值.通过

分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，A4=3,AC=1,BD=3,

AC工AB,BD工AB,点E是线段A3上的动点，且不与端点重合，连接Cf,QE,设AE=m,

BE=n.

①川含阳的代数式表示CE=,用含〃的代数式表示力七=；

②据此直接写出商式T+vra的最小值为；

⑵(类比应用)已知X为正实数x<5,根据上述的方法，求代数式6+25+J(x—5)2+49

的最小值.

【答案】⑴①必历；®5

(2)13

【分析】本题主要考查了勾股定埋的运用，两点之间线段最短的知识,

⑴①利用勾股定理得到C£==炉手=炉①，②由题图知，

7^771+77+9=CE+DE»利用三角形三边的关系得CE+OE2CO（当且仅当c、E、D

共线时取等号），作。H_LCA交以1的延长线于H,如图，易得四边形A3ZX/为矩形，利用勾股

定理计算出8=5,从而得到即府W+的最小值；

⑵如图，设人5=5,。1=5,3。=7,八后=£则8£：=5—心利用勾股定理得到

CE=6+25,DE=J（x-5『+49,根据三角形三边的关系得到CE+OE28（当且仅当C、

E、。共线时取等号），作OHJ_C4交C4的延长线广，，如图，易得四边形A8D”为矩形，利

用勾股定理计算出CD,即可得到J/+25+J（X-5）2+49的最小值；

掌握勾股定理的运算，最痛路径的运用，合理作出图形是解题的关键.

【详解】（1）解：①在用_ACE中，CE="7I,

在RL.BDE中,DE=J/+32=777^，

②由题图知，yjm2+l+\jn2+9=CE+DE>

WCE+OENCO（当且仅当C、E、。共线时取等号），

作DH_LC4交C4的延长线于，，如图，

C

^AC±AB,BDJ.AB,

团四边形八为矩形，

AH=BD=3,DH=AB=3,

在RiC“。中，CD=^(3+l)2+3=5,

.♦.C£+止的最小值为5,

即yjnr+14-\]n2+9的最小值为s；

故答案为：①，病+9,②5：

(2)解：如图，AC=5,BD=7,A4=5,设=则8E=5—x,

在RfACE中，==

在甘BDE中,DE=J(5-X)，+72=J(x-5y+49,

0VX2+25+J(X-5『+49=CE+DE,

由②知，CE+力E2C力(当且仅当C、E、。共线时取等号)，作OHJ_CA交C4的延长线于

如图，可得四边形A8ZX/为矩形，

在油CHD中,8=衣+(5+7『=13,

.•.CE+O上的最小值为13,

回，丁+25+J(X—5)2+49的最小值为13.

类型五、角平分线的应用

1.如图，在RtZ\A3C中，ZC=90°,NR4C的平分线AE交于点EEDJ.A3于点。,

若V4KC的周长为12,则VA/）E的周长为4,则4（7为（)

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得

DE=EC,ZADE=ZACE=90%证得RtA£必RlACE(HL),可得4>=忙，再根据三

角形周长可得4+2AC=12,即可求解.

【详解】解：团4E平分N84C,EDIAB,EC1AC,

⑦DE=EC,NAOE=NACE=90。，

又回AE=AE,

回RJ人力匡RJACE(HL),

^AD=ACf

©VBDE的周长为4,NABC的周长为12,

⑦BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4,

AB+AC+BC=AD+RD^-AC+BC=BD+BC+2AC=\2,

回4+2AC=12,

团AC=4,

故选：B.

2.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,

AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于（MN的长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线A"交边8C于点。，点E在A8上.若AC=7,8=3,AB=9,当£>E长度最小

时，VA/M的面积是（）

c

【答案】c

【分析】由垂线段最短可知，当上/AB时，。石长度最小，由作图过程可知A。平分N54C,

结合角平分线性质得到OE=CO=3,证明用ACD^RtAED,利用全等三角形性质得到

AE=AC=1,进而得到跖，最后利用三角形面积公式求解，即可解题.

【详解】解：由垂线段最短可知，当。时，OE长度最小，

由作图过程可知A。平分/8AC,

•••4=90。，8=3,

・•.DE=CD=3,

AD=AD,

.\Rl.ACD^RfAED(HL),

AC=7,

AE=AC=1»

丁AB=9,

BE=AB-AE=9-7=2,

二•VBOE的面积是』BEOE=』x2x3=3,

22

故选：C.

【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线作图，角平分线性质，全等三角形性质和判定,

以及三角形面枳，熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质是解决问题的关键.

3.如图，在VA8C中，Z4=90°,8。是/48C的平分线，已知A£)=5cm,8c=14cm,

则△3CQ的面积是cm2.

B

【答案】35

【分析】本题考查角平分线的性质.过点。作OE_L8C交8C「点£然后根据角平分线性

质可知4)=。石，进而计算△3CO的面积即可.

【详解】解：如图，过点。作OE_LBC于点E,

团8。平分/A4C,ZDEfi=Z4=90°,

0AD=DE=5cm,

回SMO=g8COE=；x5xl4=35（cnf）.

故答案为：35.

4.如图，RtZ^ABC中，ZC=90°,AO平分/AAC交8c于点O,f为线段AC上一点,

连接。E,且/B=NCED.若AB=16,CE=7,则的长为.

【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造

全等三角形是解题关键.过点。作。尸，A3「点尸，先证出BDF%EDC,根据全等三角

形的性质可得8/=CE=7,从而可得力〃=9,再证出RtACZ^RtA/力，根据全等三角

形的性质可得AC=AF=9,然后根据AE=AC-CE•求解即可得.

【详解】解：如图，过点。作于点尸，

A

团A。平分N8AC,

^DF=DC,

在V3£＞尸和△E/X;中，

NBFD=NC=90。

«NB=Z.CED,

DF=DC

0,"邛玛,EQC(AAS),

0BF=CE=7.

团A4=16,

团A/=AB-B”=16-7=9,

在Rt△八CO和Rt△人")中,

AD=AD

DC=DF'

□Ri.ACD^Rt„AFD(HL),

BAC=AF=9,

BAE=AC-CE=9-1=2,

故答案为：2.

5.如图，在VA4C中，点。在3C边上，NBA力=100。，48c的平分线交AC于点E,过

点E作£F_LA3,垂足为R且NAE/=5()。，连接DE.

⑴求证：DE平分/ADC：

(2)若AB=6,4)=4,8=8,且5八8二18,求人八班的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)二"七的面积为9.

【分析】本题主要考查了用平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高.熟练学

握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的

关键.

(1)过点£作国7，4。于G,EH1BCT-/7,先通过计算得出NE4E=NC4O=40,根据

角平分线的判定与性质得Q=EF=EH,则EG=EH,由到角两边距离相等的点在

角的平分线上结论得证；

(2)设EG=x，则£F=田=EG=x,根据*8=5叱+Sa圮=18,即：1X4X+|X8.K=18,

求得，x=3,根据计算求解即可.

【详解】(1)证明：如图，过点£1作£G_LA。于G,EH上BC于H,

(!lZE4E=90o-50o=40o,

团NBA。=100。，

0ZC4D=18OO-ZBAD-ZM£=4O°,

0ZE4E=ZC4£)=4OO,

团。4为ND4尸的平分线，

又EF工AB,EG.LAD,

^EF=EG,

团即是248C的平分线，

⑦EF=EH,

^EG=EH,

(3点七在NAOC的平分线上，

ME平分NADC；

(2)解：设EG=x,则EF=EH=EG=x,

团SACQ=18，

团SACLS,ME+SCDE=^ADEG+^CDEH=18,

团AD=4»CD=8»

0-x4x+-x8x=18,

22

解得，x=3,

团44=6,

0S.A.n„rF.=—2AB•EF=—2x6x3=9,

0.ABE的面积为9.

6.如图，在RiZSABC中，ZACB=90°,々=50°,DC=DE,点F为AC上的点,DELAB,

垂足为点E,DF=DB.

⑴求证：AO为28AC的平分线；

(2)求NAO”的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)由垂线的定义可得。C_LAC,由已知条件及角平分线的判定定理即可得出结

论；

(2)利用HL可证得RtCD/gRt/DB,「是可得NCFD=N8=50。，由直角三角形的两

个锐角互余可得N6AO40。，由三角形角平分线的定义可得/D4E=；N8AC=20。，然后由

三角形外角的性质即可求出NAL尸的度数.

【详解】(1)证明：.4CA=90。，

:.DCLAC,

,DELAB,

又.DC=DE,

.♦.4。为一班(7的平分线；

(2)解：・・ZACB=90°,

ZDCF=90°,

,DEIAB,

.•.NO砧=90°,

:"DCF=NDEB,

.DC=DE,DF=DB,

.\R(.CDF^RtEDB(HL),

:"CFD=NB=50。,

.•.ZR4c=90。-4=40。：

由(1)可得：4。为NB4C的平分线，

ZDAF=-ZBAC=20°,

2

ZADF=NCFD-ZDAF=500-20。=30°.

【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直

角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握

全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理是解题的关键.

类型六、等腰三角形的应用

1.如图，在VAAC中，ZABC=60°,N4CB=80。，点。在VAKC外，连接ADBD,CD,

若/DBA=2。。,ZACD=30°,则284。的度数是()

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三带形，以8c为边，在VA3C内作

NCBE=NABD=20。,连接OE.先利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质求已

/BEC说明跖=BC,再说明V3OE是等边三角形、是等腰三角形，最后通过说明

V4/无是等腰三角形得结论.

【详解】解：如图，以BC为边,在V48C内作NC8£=NA8O=20。，连接。石.

0ZABC=60°,ZACB=80°,

0ZfiAC=180°-ZABC-ZACB=40°.

在，EBC中,

团NCBE=20°,ZACB=80°,

0Z5EC=80°.

^BC=BE.

□ZACB=80°,ZACD=30°,

0Z5CD=50°.

aZABC=60°,ZABD=20°,

(21ZDBC=80°.

0NBDC=18()0-NDBC-4BCD=50°.

也ZBDC=/BCD.

^BD=BC.

中BD=BE.

0/DBE=ZDBC-ZEBC=60°,

回一。8E是等边三角形.

©NDEB=60。,DE=BE.

0ZABE=NBEC-NBAC=40°.

(3NABE=NB4C=40。.

eBE=AE=DE.

^ZEAD=ZADE.

0zL4ED=18Oo-ZPE5-ZBEC=18Oo-6Oo-8Oo=4O°,

93幽Z*=7。。.

2

团/BAD=ZDAE-NBAC=70°-40。=30°.

故选：C.

2.如图，已知是等边三角形，BC=DC,E是A。上的点，CE〃AB,与BD交

于点F.若NC8力=40。，则/DCE的度数为（）

A.40°B.20°C.2°D.25°

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，由等边三角形的性质求出

ZABD=60°,由得NABD=/EEE>=60。，根据等腰三角形的性质求出

NCDB=ZCBD=40°,苒根据三角形外角性质求出NDCE的度数即可.

【详解】解：是等边三角形，

团2440=600,

团CE〃A8,

0ZABD=ZEFD=6O°,

⑦BC=BD,NCBD=40°,

□zfCDB=ZCBD=40°,

0ZDCE+ZCDB=ZEFD,

0ZDCE=ZDFE-Z.CDB=60°-40°=20°,

故选：B.

3.如图，在等腰VA8C中，AB=AC,"=54。，。为4c的中点，点E在人C上，ZAED=75°,

若点P是A4上的一点，则当一DEP是以为腰的等腰三角形时，的度数是.

【答案】108。或138。

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接

AD,过。作DG_LA8于G,O”_LAC于〃，由A8=4C,NC=54。，则N8=NC=54。，

/BAC=7不，根据角平分线的性质得QG=£W,然后证明Rt.DE”名阳ORG(HL),贝ij

ZA/JD=ZAED=75°,再根据四边形内角和求出/比用二138。，同理/£。鸟=108。，掌握

知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接A。，过。作OGJLAB十G,OH_LAC十〃，

团/W=AC,ZC=54°,

0ZB=ZC=54°,

0ZBAC=72°,

当.刀EP是以。石为腰的等腰三角形,

回A8=AC,。为8c的中点，

0ZfiAD=ZC4D,

^\DG=DH,

在RtZXDE”与RtORG中，

\DP,=DE

[DG=DHf

0RlDEH^RtD^G(HL),

团乙4［。=乙钻。=75。，

(3ZBAC=72°,

□ZED/>=138°,

同理证得RtOER6G(HL),

^ZEDH=ZP2DG,

aZEDP,=NGDH=18O°-12°=IO8°,

得NE"=71.29°,

故答案为：1。8。或138。

4.如图，四边形A8CO中，AO=7,BC=2,ZA=30°,?B90?,ZADC=120°,则

CD=.

【答案】3

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，含30。角的直角三角形的性质等知识，作辅助

线构造特殊的三角形是解题的关键.延长A8、DC交于点£利用等角对等边得AD=OE,

再利用含30。角的直角三角形的性质可得答案.

【详解】解：延长4A0c交于点凡

0ZA=3O°,ZAZX7=120°,

团NE=180°-ZA-ZADC=30°,

0ZA=ZE,

0AD=DE=7，

在Rt8CE中，4C=2,

0CE=2^C=4,

0CD=DE-CE=7-4=3,

故答案为：3.

5.在VA8C中，AB=CB,ZA8C=90。，点。是AC上一点，AD=AB,点七是48上一

点，AE=CD.

图1图2

⑴如图1,求证：V8Z圮是等腰三角形.

(2)如图2,过点E作EF_LAC于点尸，求证：ED平分ZFEB.

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(1)由4B=CB,ZABC=90°,AD=AB,得ZA=NC=45。，AD=CB=AB,

证明式方。(SAS),故有DE=BD,从而求证；

(2)过。作DH1于点H,则有OH〃,故ABDH=NCBD,由(1)得ADE^CBD,

所以NAOE=NC8O,ZADE=/BDH,由等腰三角形的性质得田汨=/切汨，根据垂

直的定义可得N。庄=NO〃E=90。，然后证明，。正马。“石(AAS),根据性质得

ZI)EF=ZDEH,从而求证：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟

练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)证明：ZABC=90°,AD=AB,

(！1Z4=ZC=45O,AD=CB=AB,

在VAO£和△C8。中,

AE=CD

ZA=ZC,

AD=CB

[3,力(SAS),

国DE=BD,

团V8DE是等腰三角形；

(2)证明：如图，过D作DHLABF点H,

C

^AB±BC,

QDH〃BC,

国NBDH=/CBD,

由(1)得ADE^CBD.

田ZADE=NCBD,

⑦ZADE=4BDH,

⑦DE=BD,DHLAB,

⑦NDH=ZBDH,

中4EDH=NADE,

^EFIAC,

(3ZDFE=ZDHE=90°,

在△。尸E和中，

NDFE=/DHE

4EDH=Z.ADE,

DE=DE

0DFE^.DHE(AAS),

^ZDEF=ZDEH,

0£。平分/FEB.

6.如图，ZABC=ZADC=90°,E,产分别为AC,8。的中点.问：EF,8力有怎样的位

置关系？并说明理由.

【答案】EF上BD,见解析

【分析】本撅考杳了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，连接加、ED,根据

直角三角形的性质得到EB=EO,根据等腰三角形的性质证明结论.

【详解】解：EF1BD,理由如下：

如图，连接EB、ED,

0ZABC=9O°,E是4c的中点,

团BE=』4C,

2

同理，OEn’AC,

2

⑦EB=ED,

又尸为BD的中点,

0EF1BD.

类型七、一次函数中的增减性

1.已知i次函数y=（〃?-2）x+9,要使函数值y随自变量X增大而增大，则出的取值范围

是（）

A.m22B./??＞2C.m＜2D.nt＜2

【答案】B

【分析】本题主要考查了一次函数丁=依+〃中一次项系数上与函数中J与x的增减性的关

系.要使函数值y随自变量x的增大而增大可以得到〃7-2＞（）,由此可以求出”的取值范围.

【详解】解：团一次函数J=（〃L2）X+9,

要使函数值》随自变量x的增大而增大，

则6一2＞（）,

解得6＞2,

则加取值范围是机,2.

故选:B.

2.若点4（内,2）倒心3）都在一次函数y=-x+3图象上，则储与乙的大小关系是（）

A.西＜与B.%=工2C.%＞电D.无法比较大小

【答案】C

【分析】本题考查了一次函数的性质，当攵＞0时，图象经过第一、三象限，y随