期末重难点特训之易错必刷题型（126题37个考点）学生版-2024人教版九年级数学上册

期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）

【精选最新考试题型专训】

宓第一部分易错必刷题

易错必刷题一、认识一元二次方程

I.（24-25九年级上•江西九江•期口）下列方程中，是一元二次方程的是（）

、7

A.2（x-l）=xB.X2+5.v=-6C.x2-xy=3D.4.r2+—=0

2.（24-25九年级上•福建漳州•期口）机是方程V+x-1=0的根，则式子2病+2〃?+2022的值为.

3.（24-25九年级上•湖南永州•期中）定义新运算：对于任意实数mb,c,3有。回*[c,d]=w-M,其中

等式右边是常用的乘法和减法运算.如：[4,3]*[25=4x2-3xl=5.

（1）求[24]*[3,T]的值;

⑵已知关于x的方程卜」一月*卜+2,川=0的一个根为2,求〃?的值.

易错必刷题二、用配方法求解一元二次方程

1.（24-25九年级上•广东珠海•阶段练习）解一元二次方程/一6》-4=0,配方后得到（x-3）2=〃，则〃的

值是（）

A.13B.9C.5D.4

2

2.（24-25九年级上•山东德州•阶段练习）新定义:关于4的一元二次方程4（X-+k=0与a2^-m）+k=0

称为“同族二次方程”.如2（x-3）"+4=0与3（x-3『+4=0是“同族二次方程”.现有关于“的一元二次方程

2（%-1）2+1=0与（。+2）/+（人4）工+8=0是“同族二次方程”，那么代数式加^公+2期能取的最小值

是.

3.（24-25九年级上•辽宁营口•期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式•些问题.观

察下列式子：

@ar+4A-+2-（x2+4x+4）-2-U+2）2-2,

V(X+2)2>0,/.x2+4x+2=(x+2)2-2>-2.因此.代数式1+4x+2有最小值-2；

@-X24-2X4-3=-(X2-2X+1)+4=-(X-1)2+4.

—(x—1)"<0,-x2+2x+3=—(x—1)"+4<4.

因此，代数式-f+2x+3有最大值4；

阅读上述材料并完成下列问题：

⑴代数式Y-4X+2的最小值为;代数式-/一4〃+2的最大值为

⑵求代数式。2+/+6〃一10。+11的最小值.

易错必刷题三、用公式法求解一元二次方程

1.（24-25九年级上•广东东莞•期口）若x=2±'4+色"是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程

2x3

可以是（）

A.31+2x7=0B.2X2+4X-1=0

C.-X2-2X+3=0D.3X2-2X-I=0

2.（24-25九年级上•福建三明・期口）淇淇在计算正数。的平方时，误算成。与2的积，求得的答案比正确

答案小1，则正数〃的值为.

3.（24-25九年级上•贵州毕节•期口）按要求解下列方程：

（l）2?-3x+l=0；（公式法）

（2）x2+6x=-5.（配方法）

易错必刷题四、用因式分解法求解一元二次方程

1.（24-25九年级上•辽宁铁岭•期口）方程Mx+3）=0的根是（）

A.内=（）,x2=-3B.x,=0,x2=3

C.X|=工2=0D.X)=x2=-3

2.（24-25九年级上•广东河源♦期口）定义新运算：a®b=（a+b）（a-2b）,例如:

2⑤3=（2+3）（2-2x3）=-20.^（x-l）0（2x+l）=0,则x的值为.

3.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）解下列方程：

（DX2-3X-4=0

⑵一一以=2

易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系

1.（24-25九年级上•安徽阜阳•阶段练习）若加、〃是关于x的方程2/-4x+l=0的两个根，则'的值

mn

为（）

A.4B.-4C.7D.--

44

2.（23-24九年级上•浙江宁波•期口）一元二次方程2022/+2023x-2024=0的两根和为.

3.（24-25九年级上•贵州毕节•期口）若关于x的一元二次方程加+云+。=0,。0）有两个实数根芭，.，

且|』-卬=2,则称这样的方程为“伴根方程”.例如：一元二次方程f+2x=0的两个根是％=0，匕=-2,

ja|0-（-2）|=2,贝IJ方程/+2“=0是"伴根方程”，

⑴方程x2+8x4-15=0"伴杈方程”；（填“是”或“不是”）

⑵已知关于x的一元二次方程（x-D（x-〃?）=0（〃?是常数）是“伴根方程”，求小的值；

⑶若关于x的一元二次方程加+bx+c=0（"0）是“伴根方程”，证明：6-4砒=4/.

易错必刷题六、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题

1.（24-25九年级上•安徽芜湖・期口）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了

用高钵酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的3名同学做该实验，第

二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名

同学恰好都会做这个实验了.求X的值.

2.（24-25九年级上•江西南昌•期口）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文

化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次.若进馆人次的月平均增长率相同.

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制,该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，

该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.

3.（24-25九年级上•四川成都•期口）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每

天的销售量N（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设该商场销售这种商品

（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少

元？

易错必刷题七、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题

1.（24-25九年级上.山西阳泉•期中）如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长150米，宽80米.设计在

花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等艮为x米.

(I)用含X的式子表示横向通道的面积；

(2)当三条通道的面枳是矩形面积的八分之•时，求通道的宽.

2.(23-24九年级上.内蒙古呼和浩特•期中)在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直

线运动.在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均

速度的乘积.若一个小球以5米/杪的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动.

(I)小球的滚动速度平均每秒减少多少？

(2)小球滚动5米用了多少秒？(精确到0.1,6=1.73)

3.(23-24九年级上•甘肃平凉•阶段练习)如图，在VA6c中，?B90?,AB=5cm,BC=7cm,点、P从点、

A开始沿AB边向点8以Icm/s的速度移动，点。从点3开始沿BC边向点C以2cm/s的度移动.当点Q到

达C点时，点P,点Q停止运动.

(1)如果凡Q分别从A,8同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2尿m?

(2)在(1)中，当△尸Q8的面积等于6cm2时，求P点的运动时间.

易错必刷题八、二次函数的概念

1.(23-24九年级上•上海•阶段练习)下列函数中，属于二次函数的是()

1cl,

A.y=—xB.y=—+1

22

C.y=(.K+4)-xD.y

2.（23-24九年级上•上海松江.期天）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为丁元，如果每次涨

价的百分率都是工，那么），关于x的函数关系式为.

3.（23-24九年级•上海•假期作业）下列函数中（x,1为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指

出二次项、一次项系数及常数项.

2

（|）y=_l+3x；

（2）y=（x-3）（4-2x）+2x2；

（3）s=B?+/+3;

（4）y=x2-3«-6.

易错必刷题九、二次函数的图像

1.（23-24九年级上•山西晋城•期天）如图，二次函数），=-2/+1的图象是（）

2.（24-25九年级上•上海•期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么。的

取值范围是.

3.（23-24九年级•上海•假期作业）将函数+y=/-l与函数y=/的图像进行比较，函数y=Y+i、

y=/-1的图像有哪些特征？完成下表.

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y=x2

y=x2+1

y=x2-l

易错必刷题十、二次函数图象与各项系数符号

1.124-25九年级上•上海•期中）已知二次函数），=0?+尿+c的图象如图所示，那么〃、氏c的符号为（）

A."0,b<0,c>0B.a<0,b>0,c>0

C.a>(),/?>(),c>0D.a>0,Z?>(),c<0

2.(2024.上海虹口.一模)已知抛物线)，=—/+打+。如图所示，那么点尸械c)在第一象限.

3.（23-24九年级上•吉林•期末）已知抛物线y=6+〃x+c,如图所示，直线4-1是其对称轴.

（I）确定4、b、C的符号；

⑵当X取何值时，），>0；当X取何值时，y<0.

易错必刷题十一、二次函数图象综合判断

1.（2024.上海闵行.一模）已知反比例函数），=a，当x>0时，y的值随X的值增大而增大，下列四个选项

x

中，可能是二次函数y=2止-.I-A•图象的选项是（）

2.（23-24九年级上•浙江温州•开学考试）如图，己知抛物线），=62+尿_］（小〃均不为0）与双曲线

仕00）的图象相交于A（-2,川），C（l,2）三点.则不等式奴?+灰<4+i的解是.

XX

3.（24-25九年级上•贵州黔东南・期中）如图，抛物线），=/+/»与直线）=依+2相交于点力（-2,0）和点8.

⑴求。和攵的值；

（2）求点B的坐标，并结合图象写巴不等式依+2>V+bx的解集.

易错必刷题十二、抛物线与x轴的交点问题

1.（23-24九年级上•上海♦阶段练习）二次函数），=加+笈+。（。,（））的图像如图所示，现有以下结论:

①。〉0；

②而c>（）；

@a-b+c<0：

④〃一4比>0；其中正确的结论有（）

2.（24-25九年级上•上海•阶段练习）抛物线y=/—5x-4与工轴的两个交点之间的距离为.

3.（23-24九年级上•浙江宁波・期口）如图，在平面直角坐标系中，直线））=履+3与x轴、），轴分别交于A,

B两点.抛物线为=-+|工经过点A且交线段AB于点C.

⑴求攵的值.

（2）求点C的坐标.

⑶直接写出当x在何范围时，为.

易错必刷题十三、待定系数法求二次函数解析式

1.（2024・上海奉贤•一模）己知二次函数y=cix2+bx+c（a工0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标），的对应

值如下表：

X•••01345•・•

_7_7J5

y••・-5~2~2-5-T•••

关于它的图象，下列判断正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线x=l

C.一定经过点D.在对称轴左侧部分自左至右是下降的

2.（24-25九年级上•上海宝山•期口）二次函数y=o?+Zu-+c中，函数），与自变量1的部分对应值如下表,

则用的值为.

X-2-101234

y72-1-2m27

3.（2024.浙江•模拟预测）如图，已知二次函数y=f+^+c图象经过点41,-2）和仇0,-5）.

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

⑵当-5<y<-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.

易错必刷题十四、利用不等式求自变量或函数值的范围

1.（2024.甘肃武威.二模）抛物线y=*+/»+《〃/0）的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为（-3,0）,

对称轴为直线x=-1,将抛物线X沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线内,则当月〈。时，

x的取值范围是（）

A.-3<x<-lB.-1<x<I

C.-1<x<3D.1cx<3

2.（23-24九年级上.上海.自主招刍）不等式f+|2x-6|2。对于一切实数工都成立，则。的最大值为一.

3.（24・25九年级上•吉林长春•期口）如图，已知抛物线），=/+法+c经过4-1,0）,8（3,0）两点，与），轴交

于点C.

（1）求抛物线解析式；

（2）观察图象：当0<x<3时，直接写出y的取值范围

易错必刷题十五、已知二次函数的函数值求自变量的值

1.（2024•山西阳泉•三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一•种工具，撑开后如图1所示，由此发现数

学知识——抛物线.如图2,以伞柄所在的直线为丫轴，以伞甘Q4,06的交点O为坐标原点建立平面直角

坐标系.点C为抛物线的顶点,点A,8在抛物线上，OA,08关于y轴对称.抛物线的表达式为y=-0Ax2+1,

若点A到x轴的距离是（）.6dm,则A,8两点之间的距离是（）

图I图2

A.4dmB.6dmC.8dmD.10dm

2.（23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程.

（1）方程a/+b%+c=0的根为_；

（2）方程以2+/次+°=—3的根为_；

（3）方程or?+〃x+c=-4的根为;

3.（24-25九年级上•内蒙古鄂尔多斯•阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为40，1）,矩形8防的顶点C、

产在抛物线上，点。、E在入•轴上，C广交），轴于点仅0,2）,且矩形面积为8.

⑴求此抛物线的解析式；

（2）求当时，），的取值范围；

（3）直接写出当），＞3时，4的取值范围.

易错必刷题十六、二次函数（销售、增长、图形）问题

I.（23-24九年级上河北廊坊•阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为巴

预计今年比去年的年增长率为2-设今年的总产值为y万元.

⑴求了与工的关系式；

（2）当x=2（）%时，求今年的总产值为多少万元?

2.（24・25九年级上•广东广州♦期口）某商店销售一种商品,平均每天可以销售20件,每件盈利12元.为

了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均

每天可以多卖5件.

（1）若每件商品降价5元，每件商品盈利元，则平均每天可卖件商品，所得利润是_____元：

（2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利涧是多少？

3.（23-24九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在中，AC=24cm,8c=7cm,。点在8c上，从

8点到C点运动（不包括。点），点。运动的速度为2cm/s；。点在AC上从。点运动到A点（不包括A点）,

速度为5cm/s.若点P、。分别从8、C同时运动，且运动时间汜为，秒，请解答下面的问题，并写出探索

的主要过程.

（1）当/为何值时，P、Q两点的距离为5技m?

（2）当/为何值时，△PCQ的面积为15cm2?

（3）请用配方法说明，点。运动多少时间时，四边形8PQA的面积最小？最小面积是多少？

易错必刷题十七、二次函数（拱桥、喷水、投球）问题

1.（24-25九年级上•广东东莞・期口）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，

发现实心球飞行高度）（米）与水平距离工（米）之间的关系式为），=-五1/+;工2+:,5小宇此次实心球训

练的成绩为多少米.

2.（24-25九年级上•河北唐山・期口）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，

如图2是棚顶的竖直高度》（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离工（单位：m）近似满足函数关

系），=-O.O2f+o.3x+&的图象，点8（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作

长CD=4m,高。E=1.8m的矩形，

（2）可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能

3.（2024.陕西西安•模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处

的理念.当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题.如

图为陕西某古建筑景点处一株房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶A8流下，呈抛物线型落到院中地

面上。点.以地面为X轴，过点外且垂直于地面的直线为）'轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似

看作二次函数y=-耳/+云+c的部分图象.已知屋檐BO高为3m,雨水落点距屋檐的水平距离OC为2m.

（1）求该二次函数的表式;

（2）若墙面与屋檐下端A的水平距离（8。）为0.5m,现计划在院中安装一个高为0.84m的圆柱形洗手池，洗

手法下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的

顶部中心到墙面的水平距离.

易错必刷题十八、找旋转中心、旋转角、对应点

1.（24-25九年级上•湖北武汉・期口）如图，点A,B,C,D,。都在方格纸的格点上，若△COQ可以由

VAOB旋转得到，则正确的旋转方式是（）

A.绕点。逆时针旋转135。B.绕点。顺时针旋转45°

C.绕点。逆时针旋转90。D.绕点8逆时针旋转135。

2.（24-25九年级上•内蒙古通辽•阶段练习）如图，E是正方形A3c。中CO边上的点，以点A为中心，把VAOE

顺时针旋转，得到△/小F,其中ND4£=15。.那么旋转角的度数是

3.（24-25九年级上•湖北武汉•期E如图，将将VA8C绕点A顺时针旋转一定角度得到V40E,且点E落

在线段3。上

（1）旋转中心是点,旋转角是和

（2）当旋转角为26。时，求24瓦）的度数.

易错必刷题十九、根据旋转的性质求解

I.（23-24九年级上.四川成都.期口）如图，RtZVlBC中，ZACB=90。,N8=60。，将zMC为绕点C逆时针

旋转到CDE的位置，当CQ_LAB时，连接AE,则NC4E的度数为（）

A.45°B.60°C.65°D.75°

2.（2024九年级上•全国•专题练习）如图，将线段AB绕点。顺时针旋转6U。，得到线段C“若N8"=105。,

则44OQ=.

3.（23-24九年级上•北京海淀・期末）如图，在VA3C中，/8=45。，将VA4C绕点A逆时针旋转得到△ABC,

使点ZT在8C的延长线上.求证：

易错必刷题二十、坐标与旋转规律问题

1.（24-25九年级上•山东荷泽•期口）如图，在平面直角坐标系中，将边长为I的正方形加右绕点。顺时

针旋转45。后得到正方形04,86,依此方式，绕点。连续旋转2024次得到正方形。久必乩侬。旃，那么点儿通

的坐标是（）

(42一回

C.D.(0,1)

2'2

2.（23-24九年级上•广东佛山・期e）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形048。绕点顺时针

旋转45。后得到正方形。4罔G，依此方式，绕点。连续旋转2023次得到正方形。4023生023c2023,那么点

3.（23-24九年级上.广东广州•期天）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC,请画出将△ABC绕

点C旋转180。得到的448到.（需写出△AEC各顶点的坐标）.

易错必刷题二十一、旋转综合题

1.（23-24九年级上•全国•课后作业）如图，分别以正方形八8CO的边A。和QC为直径画两个半圆交于点0,

若正方形的边长为10cm,求阴影部分的面积.

2.（23-24九年级上•黑龙江绥化•期中）已知四边形"CO中，AB1AD,BCA.CD,AB=BC,Z/IBC=120°,

ZMBN=60。，/MBN绕8点旋转，它的两边分别交A。，DC（或它们的延长线）于E,F.当/MBN绕B

点旋转到AE=b时，如图1,易证AE+CF=E/L（不用证明）

（图1）（图2）（图3）

(1)当/MBN绕B点旋转到AE工CF时,如图2,(1)中结论是否成立？若成立,请给予证明;

(2)当NMBN绕B点、旋转到AEHCF时,如图3,(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE,CF,EF又

有怎样的数量关系？请给予证明.

3.(23-24九年级上•四川成都.阶段练习)已知在中，ZACB=90°,AC=BC=272.

(1)如图1,以点人为原点，A8所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接写出点4,。的义标;

(2)如图2,过点C作NMCN=45。交AB于点M,N,且AM=1,求MN的长度；

(3)如图3,过点C作NMCN=45。，当点M,N分布在点B异侧时，线段AM,8N和MN满足怎样的数

量关系？并给予证明.

图1图2图3

易错必刷题二十二、中心对称

1.(24-25九年级上•河北廊坊•期口)如图，VABC与所关于点。中心对称，则下列结论不一定正确的

是()

A.BC=EFB.AABC冬ADE卜

C.OA=OBD.AB//DE

2.（24-25九年级上•福建厦门•期口）如图，在△O4B中，8（-2,1）,若,A6O与△力石。关于某

点成中心对称，且A的对应点A的坐标为则H的对应点用的坐标为.

3.（24-25九年级上•云南昭通,阶段练习）已知人（-2,4）、B（-5,l）＞C（-l,-2）.

-►

x

（1）在图中画出VA8C；

（2）AA8C与VABC关于原点对称，画出△ABC.

易错必刷题二十三、中心对称图形

1.（24-25九年级上•湖北咸宁•阶段练习）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.（23-24九年级上.全国•单元测试）如图，正六边形44CQM是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成,

那么图中

（1）三角形ACM沿着方向平移_________厘米能与三角形FEO重合;

（2）三角形AO8绕着点顺时针旋转度后能与三角形EOF重合；

⑶三角形沿着8E所在直线翻折后能与_______重合：

（4）写一对中心对称的三角形：.

易错必刷题二十四、关于原点对称的点的坐标

1.（24-25九年级上•辽宁大连•期口）如图，已知点A的坐标为卜26,2）,菱形A8CO的对角线交于坐标原

点。，则点C的坐标为（）

2.（24-25九年级上•云南昭通•阶段练习）点43,2）关于原点的时称点为点从则点8的坐标为.

3.（24-25九年级上“Il东济宁•期口）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，V/1BC的三

个顶点均在格点上.

（1）画出VABC关于原点对称的△AAG；

⑵画出YABC绕点4逆时针旋转90。得到的△&&G,并写出点C?的坐标.

易错必刷题二十五、圆的周长和面积问题

1.（23-24九年级上•北京海淀・期口）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分

比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1,当任务完成的百分比为x时，线

段MN的长度记为d（x）.下列描述正确的是（）

A.J（25%）=1B.当x＞50%时，d（x）＞l

C.当司＞工2时，1（"1）＞"（玉）D.当王+毛=100%时，d（xi）=cKx2）

2.12024•河北秦皇岛•一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的〃个同学均匀围成一个以。点

为圆心，Im为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）.

⑴若〃=6,则相邻两人间的圆弧长是m.（结果保留兀）

(2)又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移〃米，再左右调整位置，使这(〃-2)个同学之

间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧长相等.这(〃+2)个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移。米，才能使得这(〃+3)个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

长相同，则2=.

a

3.(23・24九年级上•广东茂名•期天)综〉与实践

【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带

来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行

了如下操作调研.

【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2,当伞完全折叠时，伞顶A与伞柄顶端点3重合，两边主

骨架的端点。与C重合；如图3,在撑开过程中，骨架AC的中点E到点3的距离始终等于AC的一半，

AC=AZ>=150cm；如图4,当伞完全张开时，3AC=5BC.

【计算与分析】

o_d______o______________________

图1图2图3图4

(1)当伞完全张开后，求。。的长度；

(2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时,遮挡住的阴影部分的面积.

易错必刷题二十六、利用垂径定理求值

I.12024•云南昆明•一模）如图，力B是《，。的直径，弦COJ.A8于点E,如果AB=10,CD=8,那么线段OE

2.（2024.云南昆明•一模）如图，。的直径为20,弦=是弦八B上一动点，则OP长的取值范围

3.（24-25九年级上•广东肇庆•期口）如图，4B是（。的直径，弦CO_LA8于点E,若BE=8,AE=2.

（1）求线段。£的长;

（2）求弦CO的长.

易错必刷题二十七、垂径定理的实际应用

1.（24・25九年级上•天津蓟州•阶段练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为

配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）

A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块

2.（24-25九年级.匕江苏泰州•阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径。4=50cm,水

面宽A8=60cm,某天下雨后，水面宽度变为80cm,则此时排水管水面上升了cm.

3.（23-24九年级上•安徽亳州•期天）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,如图2是根据某

石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长）A8=2（）m,

设A8所在圆的圆心为0,半径垂足为。，拱高（弧的中点到弦的距离）CO=4m.求这座石拱

桥主桥拱的半径.

易错必刷题二十八、弧、弦、圆心角

1.（24-25九年级上•天津南开•期中）如图所示，「ABC的三个顶点在：O上，其中片区=次＞乙4=36。，则

〃等于（）

A

A.72°B.70cC.68°D.66°

2.（24-25九年级上•辽宁大连•期中）如图,已知是。。的直径，点。是BC的中点，NAOC=70°,则/BOD

的度数为_____.

0

3.（24-25九年级上•江苏南京•期中）如图08是的半径，且AC=8C，弦。W，CN分别经过OA,

OB的中点D,E.

酝

（1）求证：CD=CE；

（2）求证：CM=CN.

易错必刷题二十九、圆周角

1.（24-25九年级上•江苏苏州,阶段练习）如图，点A、B、C是。。上三点，ZAOC=130°,则NC8。等于

o

D

A.50°B.65°C.60°D.70°

2.：24-25九年级上•浙江绍兴•期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板匕使点C；生半圆上.点

3.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知，如图，在VA8C中，AB=AC,以腰A8为直径作半圆O,

分别交4GAC于点。，E.

（2）若NB4O40。，求圆弧OE所对的圆心角的度数.

易错必刷题三十，点和圆的位置关系

1.（24-25九年级上•福建厦门•阶段练习）根据尺规作图的痕迹，可以判定点。为VABC外心的是（）

A

A

AA

c

2.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）如图，VA8C外接圆的圆心坐标是一

I1l1l1i1111

l-.J...；-L-3-；-L-J

/n

1।（jz1।1।c1।1।1।

r------i-----r-2・——।-----1---1

1।14

:一丁一玉：

ii仙八7以i»

；x

-4-X~2_T■J-+113

3.（24-25九年级上•河北邢台•阶段练习）如图，在RlZSABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3»D,E分

别3是A8,AC的中点，8是以8为圆心，8c为半径的圆，判断点。，E与C8的位置关系，并说明理由.

A

BC

易错必刷题三十一、切线的应用

1.（2024.四川乐山.模拟预测）如图，点。在抛物线），=/2-3.计1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、），轴都

相切，则符合上述条件的所有的点P共有（）

B.3个C.4个D.5个

2.（23-24九年级•浙江杭州•）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知

AP=AQ=3dm,A8=12dm,点4在中轴线/上运动，点B在以。为圆心，（用长为半径的圆上运动，且

O8=4dm,如图3,当点B按逆时针方向运动到B'时，A9与。相切，则44'=dm.

图I图3

3.（23-24九年级上•安徽合肥・期末）如图，点?为。。上一点，点C在直径AB的延长线上,且ZCPB=ZCAP,

过点A作。的切线，交C尸的延长线于点。.

⑴判断直线C?与0的位普关系，并说明理由：

（2）若C8=2,CP=4,求:①0O的半径，②P。的长.

易错必刷题三十二、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系

1.（23-24九年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，Rt/XA5c的内切圆与斜边AA相切于点O,AD=3,BD=4,

则VA8C的面积为（）

Px

CFB

A.8B.10C.12D.14

2.（2024•四川绵阳•一模）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=12,BC==5,O为RtZ\48C的内切圆，则

图中阴影部分的面积为（结果保留用）______.

3.（23-24九年级匕内蒙古鄂尔多斯•期末）如图，在".ABC中，ZC=<X）°,00是VA8C的内切圆，半

径为「，切点为。、E、F,连接OO,OE,OF.

A

BDC

⑴若3c=6,AC=8,则r=；

（2）若的周长为面积为S,则S,L,「之间行什么数后关系,并说明理由.

易错必刷题三十三、圆的综合问题

1.12024•安徽六安•三模）如图，已知相为。的直径，CO为。的弦（不是直径）且交力8于点凡?为CD的

中点，四边形AbCG为矩形，/G为矩形的对角线，延长G/交8。于点

GA

B

（1）求证：GH1BD；

⑵若点尸是08的中点，GF=6,求©O的半径.

2.（2024.广东广州•一模）如图，四边形ABCO是。。的内接四边形，AB=6,8c=8,NA8c=90。，弧A。

=711DC.

（1）求边CO的长；

（2）已知△ABE与AAB。关于直线AB对称.

①尺规作图:作△48E；（保留作图痕迹，不写作法）

②连接。E,求线段。七的长.

3.（23-24九年级上,湖北武汉・阶段练习）抛物线），=/-2加+1卜。1）与戈轴交于48两点（A在3的左侧）,

与F轴交于点C,顶点为。.

图I图2

（I）若。=2,求A,B,C三点的坐标；

（2）如图I,若乙4c8=45。，求。的值；

（3）如图2,过点C作CE〃A8交抛物线于另一点£,以CE为直径作尸，求证：直线A力与《夕相切.

易错必刷题三十四、正多边形和圆

1.（24-25九年级上•浙江绍兴•期中）如图，正五边形内接于。0,P为Q七上的一点（点P不与点。

重合），则NCP。的度数为（）

C.60°D.72°

2.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，相是。的内接正〃边形的一边，点C在。上，ZACB=18°,

3.（23・24九年级上.宁夏吴忠.期天）如图，正六边形所的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆

易错必刷题三十五、弧长和扇形面积

1.（24-25九年级上•福建龙岩•阶段练习）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相

等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）

2.（24-25九年级上•山西大同•阶段练习）山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套

路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产.如图①是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部

分设计图如图②所示，其中扇形。8C和扇形OAQ有相同的圆心。，且圆心角NO=90。.若0A=1.2m,

OB=0.4m,则阴影部分的面积为nf.（结果用含瓦的代数式表示）

①②

3.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）如图，在VABC中,以边为直径作0。分别交BC,AC于点D,E.若

⑴求证：VABC是等腰三角形.

⑵若A3=4,ZA=50。，求弧AE的长和扇形EOD的面积.

易错必刷题三十六、随机事件与概率

1.（24-25九年级上•云南昭通•阶段练习）在一个不透明的布袋中装有4个白球，〃个黄球，它们除颜色不同

外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率是:，则〃为（）

A.4B.6C.8D.12

2.（24-25九年级上•天津•阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个打.球和〃个黄

球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是则〃=.

3.（24-25九年级上•浙江嘉兴•期口）某校运动会田赛部分由A、B、C、。四个项目组成，学生可以任选

一项参加.为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.请

根据图中提供的信息，解答下列问题:

（1）补全条形统计图;

（2）求A区域扇形圆心角的度数;

（3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了A项目的匕赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰

获奖的概率.

易错必刷题三十七、用列举法求概率与用频率估计概率

1.（24-25九年级上“1|西长治•阶段练习）如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为400cm2

的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，在不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假设石子

落任矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的记录如下表所示（石子未落在矩形外面和各区域边缘），

由此估计空白部分的面积为（）

投掷次数501001505001000

石子落在空白部分的频率0.600.620.680.640.64

A.240cm2B.248cm2C.272cm2D.256cm2

2.（24-25九年级上•辽宁大连•阶段练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、。和一个小灯泡，任意闭

合A、B、。、。中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两

个开关使小灯泡发光”的概率为.

,_/■_Z_

AB

_z._z_

CD

3.（24-25九年级上•陕西咸阳・期c）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，为某植物种子发芽率

进行研究时所得到的数据：

试验的种子数〃100200500100020005000

发芽的粒数〃94a47595419064748

发芽频率丝0.940.9550.95b0.9530.9496

n

⑴上表中的，b=.

（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________.（结果精确到U.01）

（3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多