期末专项突破：解一元二次方程-2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册期末专题突破：解一元二次方程专题

学校:姓名：班级：___________考号：_

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.用配方法解一元二次方程/-4%-5=0的过程中，配方正确的是（）

A.（x+Z）2=1B.（x-2）2=1C.（%+2尸=9D.（X-2）2=9

2.用配方法解方程/一2%-5=0时，原方程变形为（）

A.（%+I）2=6B.（x-I）2=6C.（x+2>=9D.（x-I）2=9

3.用配方法解方程产+4%=1,变形后结果正确的是（）

A.（%-2）2=2B.（%+2）2=2C.（%-2）2=5D.（x4-2）2=5

4.若％=-2是关于刀的一元二次方程/一=0的一个根，则@的值为（）

A.1或4B.-1或一4C.-1或4D.1或一4

5.关于％的一元二次方程/+px+q=0的两个根分别是3,-6,则p,q的值为（）

A.p=3,q=2B.p=3,q=-18

C.p=2,q=-18D.p=1»q=l

6.一元二次方程。+l）（x-l）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7.若关于汇的一元二次方程A/+2x-l=0有实数根，贝味的取值范围是（）

A.kN-l且k#0B./c>-1C.k>-1D.k>—1且kH0

8.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.X2-2%=0B.x2+4%-4=0C.（X-2）2-3=0D.3x2+2=0

9.已知%1，不是一元二次方程/-4无+1=0的两个实数根，则等于（）

A.-4B.-1C.1D.4

10.关于％的一元二次方程/一4x+m=0的两实数根分别为勺，x2,且为+3%2=5,则m的道为（）

777

A.TB.7c.yD.0

456

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.在实数范围内定义运算“团”和“*”，其规则为：Qb=a2—b2,泌=号，则方程2%=定的解

为.

12.当x=时，代数式3-x^-x2+3%的值互为相反数.

13.对于实数a,b,定义运算“团”如下：。助=(。+8)2-(。一匕)2.若(瓶+2)团(771-3)=24,则

14.若(％2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则/十y2=.

15.关于％的一元二次方程(k+2)x2+6x+1+上一2二。有一个根是0,则々的值是

三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(木小题8分)

解方程：

(1)产-6%+4=0；

(2)X2-2X-4=0.

17.(本小题8分)

用适当的方法解一元二次方程：

(l)x2-4x-8=0；

(2)3x-6=x(x-2).

18.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程-7nx+m-5=0.

(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根.

(2)若加为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根.

19.(本小题8分)

阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容.

解方程：2/-8%-18=0.

解：移项，得2M-8x=18.①

两边同时除以2,得％2一4%=9.②

配方，得％2—4%+4=9,③

即（乃一2）2=9..'.x-2=±3.@

•••均=5,x2--1.@

上述过程中有没有错误？若有，精在步骤_______（填序号），原因是

请写出正确的解答过程.

20.(本小题8分)

阅读材料：

若n?-2mn+2〃2—8〃+16=0,求m,九的值.

解：：m2-2mn4-2n2-8n4-16=0,

(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,

(m-n)2+(n-4)2=0.

•••(m-n)2=0,(n-4)2=0.m=4,n=4.

根据上述材料，解答：已知Q—b=6,ab+c2—4c+13=0»求方程QX?+力工+儿=0的解.

答案和解析

1.【答案】D

【#钻斤】略

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键.

首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解.

【解答】

解：X2-2X-5=0,

x2-2x=5,

x2-2x+1=5+1,

:.(x-I)2=6.

故选:B.

3.【答案】D

【解析】解：X2+4X=1,

则好+4%+4=1+4,即(％+2)2=5,

故选:D.

两边都加.上一次项系数•半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

本题主要考查解一元二次方程的方法-配方法，掌握配方法是解本题的关键.

4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】B

【解析】略

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键.

先化成一般式后，再求根的判别式.

【解答】

解：原方程可化为：X2-2X-4=0,

a=1,b=-2,c=-4,

(-2产-4x1x(-4)=20>0,

.••方程有两个不相等的实数根.

故选:A.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意得k工0且4=22-4kx(-l)Z0,

解得々>一1且々*0.

故选：A.

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到kH0且』=2?-轨x(-1)>0,然后求出两个不等式的公

共部分即可.

本颍考杳了一元二次方程。/+及+。=0(0/0)的根的判别式21=62-4在：当4>0,方程有两个不相

等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当/<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的

定义.

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】C

【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系得巧・a=1.

故选：C.

直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的根与系数的关系：若方程两个为与，上，则力+%2=

bc

-?…2=]

1()•【答案】4

【解析】【分析】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程+以+c=0(aH0)的根与系数的关

系为：％1+%2=-5,%=(是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到％1+%2=4,代入

代数式计算即可.

【解答】

解：VXi+x2=4,

:.Xi+3X2=XI+x2+2X2=4+2x2=5,

1

•••x2=

把>2=；代入/-4x+m=0得：(1)2-4X1+TH=0,

解得：m=：，此时d=(-4)2-4x1x(=9>0,符合题意，

故选：A.

11.【答案】%i=1»x2=-4

【解析】本题考查新定义，解一元二次方程.根据新定义，得2x=22—/,x6=y=3x,曰2x=%6可

得到一元二次方程，求解即可.根据题意得到一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：-ab=a2-b2,ab=^,

，2x=22—x2,x6=孚=3x,

,:2x=x6,

:.22-x2=3x,

解得:xt=1,x2=-4,

•••方程2%=%6的解为=1,x2=-4.

故答案为：%i=1,x2=-4.

12.【答案】—1或3

【解析】依题意得3—％+(-/+3幻=0,即一/+2无+3=0,二/一2%—3=0,即(％—1)(无一

3)=0,解得％=-1或3.

13.【答案】一3或4

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法

简便易用，是解元二次方程最常用的方法.

利用新定义得到[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2=24,整理得到(2m-1)2-49=0,然后

利用因式分解法解方程.

【解答】

解：根据题意得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2=24,

(2m-1)2-49=0,

(2m-1+7)(2m—1-7)=。，

2m-1+7=0或2m-1-7=0,

所以Tn】=-3,m2=4.

故答案为-3或4.

14.【答案】6

【解析】解：设/+y2=z,则原方程转化为Z2-5Z-6=0,

即(z-6)(z+1)=0,

解得21=6,Z2=-1,

•••x2+y2>0,

•••x24-y2=6.

故答案为：6.

本题主要考查换元法解一元二次方程.掌握/+y2>0是解题的关键.

设，+y2=z,则原方程转化为关于Z的一元二次方程，解一元二次方程即可.

15.【答案】1

【解析】解：把x=0代入方程得白+上一2=0,

即化—1)(%+2)=0,

则左一1=0或k+2=0,

解得A=1或k=-2,

当左=一2时，〃+2=0,此时方程不是一元二次方程，舍去，

故A的值为L

16.［答案］(1)%=34-V-5»x2=3—y/~5(2')x1=1+x/-5,x2=1-V-5

【解析】解：(1)移项得/-6%=-4,

.・.x2-6x+9=-4+9,即(x-3>=5,

x-3=衣或％-3=

阳二3+V3，肛=3-V-5；

(2)VX2-2X-4=0,

:.x2-2x=4,

x2-2x+l=4+1,即(x—1产=5,

x—1=y/~5^ix—1=—V-5,

%=1+A,x2=1--/5.

(1)利用配方法解一元二次方程即可得由结果；

(2)利用配方法解一元二次方程即可得出结果.

本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键.

17.【答案】=2+2-/3,x2=2-2-/3与=2,x2=3

【解析】解：(1)/-4%-8=0：

x2-4x=8,

为2-4%+4=4+8,

•••(x-2)2=12,

%—2=±2y/~3,

=

:.=2+2，5,x22-2A/3；

(2)3%—6=x(x-2),

3(%—2)=x(x—2),

3(x-2)-x(x-2)=0,

(x-2)(3-x)=0,

x-2=0或3-％=0,

%=2,x2=3.

(1)根据配方法解一元二次方程即可；

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可.

本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法.

18.【答案】【小题1】

解：•・•二次函数为:/-mx+m-5=0,

1,_

二a=爹，b=—m,c=m—5,

/.A■ft2-h/c•：///i*I■：口〃E〃/2///IHl(///I)2f9ll,

;此方程总有两个不相等的实数根.

【小题2】

•.•兰m=l时，原方程为2％2一％一4=0,

二原式可化为——2%—8=0,则(％—I)2=9,

:.x=4或％=—2,

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