苏教版高中数学必修第二册试题-第1课时 向量的加法

9.2向量运算

9.2.1向量的加减法

第1课时向量的加法

学习指导核心素养

1.理解向量加法的概念以及向量加法的

几何意义.1.数学抽象、直观想象：向量加法的几

2.掌握向量加法的交换律和结合律，会何意义，向量加法的平行四边形法则和

利用它们进行计算.三角形法则.

3.掌握向量加法的平行四边形法则和三2.数学运算：向量加法的运算.

角形法则，会利用它们解决实际问题.

圆回国▼自主学习

-TwS导学堂试1

1.向量加法的定义及运算法则

定义求两个向量和的运算叫作向量的加法

前提已知向量。，b

作法在平面内任取一点。，作0AAB=b

向量。8叫作。与方的和，记作。+b,艮口a+b=0A

三角形法则结论

士通三速

二

图形

法则0aA

前提任意两个不共线的非零向量b

作法作苏=a,OC=b,以OA,0C为邻边作口O48C

平行四边形以。为起点的对角线表示的向量场就是向量。与

结论

法则

b的和

C.Jj

图形

(yaA

规定零向里与任一向里a的和都有。+0O+a-a

微思考二

向量加法的三角形法则和平行四边形法则使用的条件是否相同？

提示：两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和,

平行四边形法则只适用于两个不共线的非零向量求和.

2.向量加法的运算律

交换律a+b=b+a

结合律(a+b)+c=a+S+c)

0微螺习〕

1,判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴任意两个向量的和仍然是一个向量.()

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

⑶任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()

(4)在矩形ABCQ中，AB+BC=AD+BA.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)X

2.在平行四边形ABC。中，下列结论中错误的是()

A.AB=DC

C.AB=Bb+ADD.AD+CB=O

答案：C

3.如图所示，在平行四边形4BCD中，A^=atAD=b,则危+旗=()

A.aB.b

C.0D.a+b

答案：B

4.在正方形A8CD中，|曲|=1,贝IJ|成+崩|=

答案:观

工▼讲练互动

［解惑探究突破］

探究点1平面向量加法及其几何意义

屈m如图，已知三个向量。，氏c,试用三角形法则和平行四边形法则分

别作向量a+8+C.

【解】利用三角形法则作〃+》+c,如图①所示，作物=〃，以A为起点,

作筋="再以B为起点，作胫=c,则沆=/+病=/+筋+反?=〃+力+

利用平行四边形法则作a+》+c,如图②所示，作宓=〃，OB=btOC=c,

以51,而为邻边作口OADB,则历=。十"再以历，沆为邻边作口OOEC,则无

=OD+OC=a+b+c.

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重

合；

②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为

两个向量的和.

(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤

①平移两个不共线的向量使之共起点；

②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.

跟踪训练;如图，已知向量4，b,求作向量a+A.

(I)(2)(3)

解：（1）作为=。，AB=b,则为=〃+仇如图（1）.

（2）作醇=〃，AB=b,则份=〃+力，如图（2）.

(3)作八=a,AB=b,则。fe=a+〃，如图(3).

探究点2平面向量的加法运算

画②化简：(l)(M4+5/V)+(AC+ch).

⑵油+(BD+CA)+DC.

[ft?]（1）（必+的）+（危+丽）=（而+眉+（费+丽=庆+诙=加.

⑵油+（筋+两+皮=猫+而+比+为=0.

向量运算中化简的两种方法

（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，

向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.

（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.

练如图，在平行四边形4BC。中，。为对角线AC,8。的交点,

E,F,G,H分别是A3,BC,CD,OA的中点.化简下列各式：

⑴由+丽+加历；

（2丽+能+林+旃

解：⑴肋+丽+旗+丽=（肋+历+而+或=丽+丽=协+肪=

FH.

(2丽+屐:+赤+(协+硝+(赤+的=启+沆=危.

探究点3向量加法的实际应用

偏叵某人在静水中游泳，速度为44千米/时，他在水流速度为4千米/时

的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度

大小为多少？

【解】如图，诙此人游泳的速度为彷，水流的速度为51,以况，而为

邻边作WMCB,则此人的实际速度为/+份=无.

由勾股定理知|沆|=8,且在RtAACO中，ZCOA=60°,故此人沿与河岸

成60。的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时.

H困回信

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行

运算，解答向量问题.

⑶还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

跟踪训练;如图所示，在某次抗震救灾中一架飞机从A地按北偏东35。

的方向飞行80()km到达3地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55。的方向

飞行800km送往。地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移和的长度.

解：设筋，肚分别表示飞机从A地按北偏东35。的方向飞行800km,从B

地按南偏东55。的方向飞行800km,

则飞机飞行的路程指的是|A8|十|3C|;

两次飞行的位移的和指的是油+进=危.

依题意有|靠|+|反1=800+800=1600(km),

又a=35。，£=55)所以/48。=35。+55。=90。，

所以1Gl="摩F+|或］2=液80()2+80()2=8(X)^(km),

所以飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的长度为800啦km.

自测案▼当堂达标

【验证反馈达标厂

1.化简由+用+的+支的结果等于()

A.QPB.OQ

C.SPD.SQ

解析：选B.成+的+丙+。=曲+0=的.

2.已知正六边形48COEE则函+a)+匠=()

A.0B.BE

C.ADD.CF

解析：选B.如图所示，

则赤=彷，所以丽+C力+丽=就+港+走=位:，故选B.

3.在四边形A8CD中，若病=前十在，则四边形48co一定是()

A.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四边形

解析：选D.因为病=油+屐)，根据向量的三角形法则，有危=油+反;

则可知屐)=心，故四边形ABCD为平行四边形.

4.如图，E,FtG,”分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,D4的中点

化简下列各式：

（1）DG+EA+Ch;

（2）EG+CG+DA+EB.

解：⑴及;+/+丽=沆+屣+浦=沆+丽+旗=击+丽=竞.

⑵反;+济+殖+或=反;+济+反+港=访+醇+病=或+崩=（）.

应用案二巩固提升

［强化赢通关厂

［A基础达标］

1.（筋+丽+（防+反7）+就化简后等于（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

解析：选C.（油+讪）+（防+求）+丽=俞+选+肋+南+麻

=（AB+BC）+（B&+=AC,故选C.

2.下列向量的运算结果为零向量的是（）

A.BC+AB

B.PM+MN+MP

C.MP+GM+VQ+QG

D.BC+CA+AB+CD

解析：选C.对于A,BC+AB=AB^BC=AC;

对于B,所+加+而P=即+而+亦=狐;

对于C,语+说+用+必=（改+语）+（苑+必）=分+历=0;

对于D,BC+CA-1-AB-}-cb=(AB+BC^-CA)-}-cb=O+cb=cb.

综上所述，只有C符合题意.

故选C.

3.如图所示，四边形48CD是梯形，AD//BC,4c与3。交于点O,则为

+BC+AB=()

A.CDB.OC

C.DAD.CO

解析：选B.况+说+蒜=丽+胆=沆.故选B.

4.（多选）设。=（前+2）+（选+5X）,b是一个非零向量，则下列结论正

确的有（）

A.a//b

B.a+b=a

C.a+b=b

D.|a+b\<\a\+\b\

解析：选AC.由题意，向量〃=（福+诙）+（谎+次1尸屐）+3=0,且力

是一个非零向量，所以a〃b成立，所以A正确；由所以B不正确，

C正确；由|。+臼=|“，|。|+|团=历|,所以|〃+“=同+|”,所以D不正确.故选

AC.

5.（多选）（2021•江苏苏州市星海实验中学高一月考）如图，在平行四边形

A4C3中，下列计算正确的是（）

A.AB+AD=AC

B.AC+Cb+Db=OA

C.AB+AD+cb=Ab

D.AC+BA+DA=O

解析：选ACD.由向量加法的平行四边形法则可知病+历=危，故A正

确；AC+CD+Db=AD-i-Db=Ab^dAl故B不正确；Ai+AD-}-cb=AC+cb

=ADt故C正确;AC-t-BA-i-DA=BA-FAC+DA=BC+DA=O,故D正确.故

选ACD.

6.在菱形A5CD中，ADAB=60°,\AB\=\,^\BC+CD\=.

解析：在菱形ABC。中，连接B。，

因为ND45=60。，所以△B4。为等边三角形.

又因为|成|=1,所以|防|=1,

所以|肥+诙|=|而1=1.

答案：1

7如图，已知电线AO与天花板的夹角为6()。,电线AO所受拉力|Fi|=24N绳

8。与墙壁垂直，所受拉力I正2|=I2N,则为与正2的合力大小为方向

为.

解析：以。A,0B为邻边作平行四边形3Q4C,则产|+入=£

即次+仍=元

则NOAC=60。，

|万1|=24,|最:|=|丽|=12,

所以NACO=9()0,所以|沆1=12小.

所以尸1与凡的合力大小为12小N,方向为竖直向上.

答案：12小N竖直向上

8.小船以Kh/3km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流

速为lOknVh,则小船实际航行速度的大小为km/h.

解析：如图，设小船实际航行速度为次)，则00=。1+。2,设船在静水中的速

度为协|=1(八「km/h,河水的流速为|改|=10km/h,

因为V1±V2,所以|01|2+,2/=|。0匕得(1(M§)2+102=|如匕

所以|ro|=2Okm/h,即小船实际航行速度的大小为20km/h.

答案:20

9.作五边形ABCDE,并作出下列各题中的和向量：

(1)AB+BC；

(2)AB+ED+DB-^Bk.

解：五边形ABCQE如图所示：

⑴命+求=危.比如图所示.

(2)A方+应)+方方+助=脑+丽十病=彳友病如图历示.

10.如图所示，P,Q是△ABC的边BC上两点，且成+诙=0.

B。C

求辽：AP+AQ=AH+AC.

证明：因为办=筋+而，

AQ=AC+CQ,

所以成+屈=篇+庆+而+的.

又因为沛+诙=0,所以能+恁=而+废：

[B能力提升]

11.已知。是aA8c内的一点，且万1+成+求=（）,则O是△4?。的（）

A.垂心B.重心

C.内心D.外心

解析：选B.因为以+油是以为，丽为邻边作平行四边形的对角线，且

过4B的中点，设为。贝4昂+昂=2帅，所以2"+沈=0.所以15bl=；|日）

故点O为丛ABC的重心.

12.（多选）在弘BCD中，i§：AB=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式

中成立的是（）

A.a+b=cB.a+d=b

C.b+d=aD.\a+b\=\c\

解析：选ABD.由向量加法的平行四边形法则，知°+力=c成立，故M+"

=|c|也成立；

由向量加法的三角形法则，知〃+d=〃成立，8+d=a不成立.故选ABD.

13.如图，在平面直角坐标系中，原点。为正八边形PP2P3P4P5尸6P7P8

的中心，PP8J_x轴，若坐标轴上的点M（异于点。）满足加/+OP,+。乃=0（其中

iWi,/S8,且i,则满足以上条件的点例的个数为（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：选D.分以下两种情况讨论：

①若点M