苏教版高中数学必修第二册试题-向量应用

9.4向量应用

学习指导核心素养

1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂

直、长度、夹角等问题.

数学建模、逻辑推理：向量的应用.

2.会用向量方法解决物理中的速度、力学问

题.

自主学习

【研读导学尝试1

1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

/X建立平面几何与向质的故系，用向*表

拆伤一示问题中涉及的几何元素，将平面几何

问题转化为向珏问题

通过向负运算，研究几何元素之间的关

系，如距离、夹角等问题

〈翻手T把运算结果“翻译”成几何关系

2.向量在物理学中的应用

由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法

和加法相似，可以用向量的知识来解决.

翟^彼嫖习：

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打"X”)

⑴求力R和尸2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.()

(2)若aABC为直角三角形，则有油•反?=0.()

(3)若向量油〃无，则A8〃CD()

答案：⑴J(2)X(3)X

2.若向量。尸i=(2,2),。尸2=(—2,3)分别表示两个力网,尸2,则|尸1+正2|

为()

A.(0,5)B.(4,-1)

C.2啦D.5

解析：选D.尸〔+尸2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),所以的+尸2|=5.

3.力尸=(一1,一2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力产

对质点P做的功是.

解析：因为W=Rs=(-l,-2).(3,4)=-ll,则力尸对质点P做的功是

-11.

答案：一11

4.若施=3e,DC=5ef且1Abl=|反1，则四边形43co的形状为.

解析：由益=3e,DC=5e,得牯〃方"AB^DC,又因为ABCQ为四边形,

所以AB〃DC,AB丰DC.

又|由)|=|的，得AD=BC,

所以四边形ABCD为等腰梯形.

答案：等腰梯形

究量」讲练互动

【解^突破厂

探究点1向量在几何中的应用

角度一平面几何中的垂直问题

53m如图所示，在正方形43co中，E,尸分别是43,BC的中点，求证:

AF1DE.

AER

【证明】方法一：设屐)=〃，AB=by则=a・b=0,

又无=亦+能=一。+^儿赤=油+脐=。+；4,

所以而•无=(》+；〃)(一°+5)=——/2—当心+32=一肯疗+/什二。.

故崩_L无，AFLDE.

方法二：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2,则A(0,0),

0(0,2),E(l,0),F(2,1),A7'=(2,1),DE=[1,-2).

因为A?•虎=(2,1)-(1,—2)=2-2=0,

所以A/_LO£,AF±DE.

角度二平面几何中的平行(或共线)问题

画②如图，点O是平行四边形ABCO的中心，E,尸分别在边CD,48上,

CFAF1

且器=等=/求证：点七，0,尸在同一直线上•

LLL)r15Z

【证明】设筋=加，AD=n,

CFAF1

由诉=育=5，知E,尸分别是CD,AB的三等分点，

匕DrnZ

所以历=或+崩=上丽+^AC=—最+；(〃1+〃)=，+；〃，

f->->1->1fl111

OE=OC+CE=]AC+gC£)=](机+n)-+]〃.

所以的=5反

又O为历和丽的公共点，故点、E,O,厂在同一直线上.

角度三平面几何中的长度问题

画⑶如图，在平行四边形A3C。中，已知AD=1,AB=2,对角线50=2,

求对角线AC的长.

【解】设崩=〃，AB=b,则应)=a—b,AC=a-\~b.

而\BD\=\a-b\=[。2-2。协+序=11+4-2a"=y5-2。•卜=2,

所以5-2。。=4,所以。力=),又|斤t|2=依十"2=〃2+2°6+/=|十4十

=6,所以瑟]=,，即AC=#.

用向量方法解决平面几何问题的步骤

立平面几何与向量的联系，用向量

"［表示问题中涉及的几何元素.

［*化］—］将平面几何问题转化为向量问题:

「I算卜T通过向量运算,研究几何元素间的关系

［I断H用运算结果判断几何问题中的关系〕

跟踪训练;已知A,B,C,。四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),

(0,2),则此四边形为()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

解析：选A.油=(3,3),CD=(-2,-2),所以施=一,日).所以府与⑦

共线，但|曲|二|日)|,故此四边形为梯形.

探究点2向量在物理中的应用

角度一用向量解决力学问题

侧14：如图所示，在细绳。处用水平力尸2缓慢拉起所受重力为G的物体,

绳子与铅垂方向的夹角为仇绳子所受到的拉力为人.

⑴求|八|,|凡|随角。的变化而变化的情况；

(2)当甲i|W21Gl时,求角日的取值范围.

【解】(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,

得一G=FI+F2,m1=照，|F2|=|G|tan6,

当。从0。趋向于90。时，|人|,|尸2|都逐渐增大.

(2)由|*|=照，|Fi|^2|G|,得cos。出.

vKJoC/4

又因为()°we(9o。，所以o°wew6()°.

角度二用向量解决速度问题

侧15在速度为75(加—也)km/h的西风中，飞机以150km/h的速度向西北

方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和方向.

【解】设◎为风速，为有风时飞机的飞行速度，内为无风时飞机的飞

行速度，以=讪+m如图所示.

\AB\=\Va\.\CB\=\(o\,\AC\=\Vb\.

作AO〃8C,CD_AD于点、D,8E_LA£)于点E,则N8A£>=45。.

设|崩|=150,则I为|=75（加一也）.

所以|诙|=|施|=|6|=75/，|反|=75加.

从而|Atl=150\/LNCAO=30。.

所以融=15丽km/h,即没有风时飞机的飞行速度为15（h/2km/h,方向为

北偏西600.

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

跟踪训练;一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来;

若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向.

解：分别取正东、正北方向上的单位向量i,j为基底，设风速为3+以

依题意第一次船速为8i,第二次船速为16i.

xi+yj^Si=-pj(p>0),

依题意可得

xi-\-yj—\(>i=­q(i+j)(q>0),

解得x=8,），=一8,即风速为8，一切，

因此风速的方向为西北，大小为8gkm/h.

自测当堂达标

【验证反馈达标1

1.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对

岸，则小船在静水中的速度大小为()

A.10m/sB.2^/26m/s

C.4&m/sD.12m/s

解析：选B.由题意知水|=2m/s,\v«|=10m/s,作出示意图如图.

所以小船在静水中的速度大小阳=^/102+22=2而(m/s).

2.已知三个力为=(-2,-1),尸2=(—3,2),R=(4,—3)同时作用于某

物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力尸4,则尸4=()

A.(-1,-2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理知识知B+尸2+户3+色=0,故正4=一(尸】+尸2+尸3)=

(1，2).

3.如图，在矩形A8c。中，AB=小,BC=3,BELAC,垂足为E,5HED

解析：如图，以4为坐标原点，AD,A8所在直线分别为x轴，y轴建立平

面直角坐标系，则A(0,0),8(0,小)，C(3,小),£)(3,0),危=(3,小).设最

则面尸逃网用=鸣即3孽

答案.也i

口•2

4.设P,。分别是梯形ABC。的对箱线AC与8。的中点，48〃。。，试用

向量证明：PQ//AB.

证明：设成=%值（2>0且2#1）,

因为户0=感一崩=油+两一/=麴+；（町一府）

=公+夕（历一丽一丽+南]

=AB+1（CZ）-AB）

=；(C力+筋)=：(—/+1)A及

所以用〃筋，又P,Q,A,B四点不共线，所以PQ〃AB.

国国国▼巩固提升

-T强化培优通惠厂

[A基础达标|

1.已知平面内四边形ABCO和点O,若晶=a,OB=b,OC=c,OD=d,

且a+c=〃+d,贝ij四边形48。。为（）

A.菱形B.梯形

C.矩形D.平行四边形

解析：选D.由题意知Q-》=d-c,所以旗=（?b,所以四边形4BCO为平

行四边形.故选D.

2.如果•架飞机先向东飞行200km,再向南飞行300km,设飞机飞行的路

程为skm,位移为akm,贝U（）

A.s>|a|B.5<|a|

C.s=|a|D.s与⑷不能比较大小

解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而5=500,由位移

的合成易得闷<500,故s>|a|.

3.一质点受到平面上的三个力Fi,/2,g的作用而处于平衡状态.已知

Fi与Fi的夹角为60°,且Fi,Fi的大小分别为2N和4N,则尸3的大小为（）

A.6NB.2N

C.24ND.2巾N

解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|户3F=]一尸|一尸2F=

|FI|2+|F2|24-2|FI||F2|•cos60°=22+42+2X2x4X5=28,所以时|=2巾N.

4.0为平面上的定点，A,B,C是平面上不共线的三点，若（为+充•一

2OAy（OB-dc）=0,则△43。是（）

A.以AB为底边的等腰三角形

B.以8c为底边的等腰三角形

C.以AB为斜边的直角三角形

D.以BC为斜边的直角三角形

解析：选B.因为丽+沆-2醇=（为一原）+（历一苏）=部+危，

OB-OC=CB,所以由（B+反一2殖）•（份一南=0,可知为（筋+危）•昂

=（AB+4C）W-AC）=0,故有I筋1=1废1，所以△4BC是以为底边的等腰

三角形，故选B.

5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度PI

的大小为例|=10km/h,水流的速度汲的大小为庙|=4km/h,设人和02所成角

为。（0＜兴兀），若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则8$夕=

（）

B

河流两岸示意图

解析：选B.由题意知（s+s>O2=0,

有W1IW2ICOS夕+遥=0,即10X4COS6>+42=0,

2

所以cos。=一亍故选B.

6.一个重20N的物体从倾斜角为以斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底

端，若重力做的功是10J,则。=.

解析：因为VVG=G-S=|G|M.COS(90°-6>),

=20X1Xcos(90c-6>)=10,所以cos(900-，)=g,

所以9=300.

答案：30°

7.点尸在平面上做匀速直线运动，速度。=(4,一3)(即点尸的运动方向与

。相同，且每秒移动的距离为|叫个单位).设开始时点Po的坐标为(一10,10),则

5秒后点P的坐标为.

解析：由题意知，P0P=5u=(20,—15),

[x+10=20,

设点P的坐标为y),则彳八厂

y-10=-15,

解得点P的坐标为(10,-5).

答案:(10,-5)

8.(2021•江苏南通市高一期末)如图，已知A,8是单位圆上的两点，。为圆

心，且NAO8=120。，是圆。的一条直径，点。在圆内，且满足元>=2扇+

(1-2)(9B(O</1<1),则加•丽的取值范围是________.

解析：加痂=(而—近)(质—应)=而•成一龙•(加+讲7)+沆2

=-l+0C2,

因为NAOB=12(r,且满足沆=7苏+(1—“份(0V/IV1),所以点。在线

3

段A8上，所以匠性/1),所以血曲的范围是一

夕

答案：一1o)

9.设P,。分别是梯形4BC力的对角线AC与的中点.

(1)试用向量证明：PQ//AB,

⑵若AB=3CQ,求PQ：AB的值.

解：(1)证明：因为。为8。的中点，所以无+日)=2&,又P为AC的中

点，所以匿=2及；

所以2的=2&-20=(无+日))一或=4+诙+/=病+&),又向量

诙与福共线，

设向量诙=7检，则2户0=(1+»麓，所以户0=甘加①，

又梯形A8C。中|牯伊|①|,所以AW—1,

所以户0〃福，PQ//AB.

(2)因为向量福与小反向，且|油|=3|Cb|,

所以牯=一3日)，即％=一/代入①式，

得的=丁加=：欣

所以尸Q：AB=7

10.两个粒子A,8从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别

为SA=(4,3),$8=(2,10).

(1)写出此时粒子8相对粒子A的位移s；

(2)计算s在弘上的投影向量.

解:(l)s=屈=68-$4=(2,10)—(4,3)=(—2,7).

(2)设s与SA的夹角为仇

nI八SA^AB-8+2113度

贝।cose=-----=/,,.；//、一2尸2d，

\SA\\AB\V?+3S/(-2)+7265

所以s在而上的投影向量为|s|cos0•j^|=^/(—2)2+72X*255^X^=

枭4,3)造即

[B能力提升]

11.(2021•春季高考上海卷)在△ABC中，。为5C的中点，七为A。的中点，

有以下结论：①存在满足条件的△A6C,使得油•行=()；②存在满足条件的

△A8C,使得在〃(浦+苏1).下列说法正确的是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

解析：选B.如图，以。为坐标原点，0c所在直线为九轴建立平面直角坐

标系.

不妨设A(2x,2y)(孙W0),3(—1,0),C(I,0),则0(0,0),E(x,y),①届

=(-l-lv,-2y)fCE=(x-\,)，)，若磊丘=0,则(-—2»2=0,

所以一(21-+1)。-1)=2)2,满足条件的x,y明显存在，所以①成立；②记AB

的中点为凡则游=2次，记C77与A。的交点为G,则G为△ABC的重

心，所以3为A。的三等分点，又E为的中点、，所以国与反7不平行，故②

不成立.故选B.

12.在048C。中，AD=1,NB4Q=6()。，七为CO的中点，若危•诙=1,

则AB的长为()

A.1B.；

C.|D.当

解析：选B.设的长为

因为危=部+前，BE=BC+CE=AD-^AB,所以危•就=（筋+病）・（屐）一

=^ABAD—^AB2-\-AD2=_%+；〃+1.

由已知，得一52+}+l=l.

又因为。＞0,所以。=；,即A8的长为;.

13.（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大

小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（）

A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变

解析：选AC.设水的阻力为f绳的拉力为凡尸与水平方向夹角为々0＜伙可，

则|「|cos〃=[/],所以|尸|=一^万因为0增大，所以cos〃减小，所以因增大.因为

COSt/

|F|sin。增大,所以船的浮力减小.

14.已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP=%+Q筋，则AAPB

的面积与△APC的面积之比为.

解析：由题意得，

5AP=AC-^2ABt