诱导公式与三角恒等变换（错题本）-人教A高中数学必修一

专题5.4诱导公式与三角恒等变换(纠错档案)

X错题红黑榜一我的错题本小试牛刀

1.(sinx)=3-cos2x,则/(cosx)等于()

A.3-cos2xB.3-sin2x

C.3+cos2xD.3+sin2x

4〃+l)例匚万-x](〃£Z).

2.化简：cos-----加+X4-COS

4J4)

3.己知2a+尸=%,求y=cos〃-6sina的最小值和最大值.

若sina=在，叵,且a,4为锐角，求二十"的值.

4.

510

23

5.已知在VA8c中，sin(A+=—,cosB=—,求cosA的值.

34

分错题诊断室分辨是非

易结点：不会运用三角恒等变换公式

类型一：三角恒等变换公式用错济错因；公式掌握不熟练

\朴措施：熟练掌握常用的恒学变换公式

诱

类型二：因将(易错点：没有对进行分美讨论

导nn+x(neZ)n

与2kn+a(k£Z)混淆而忽略对n的讨论：耕措国：对公式一没有理解选枷

公

\、补措施：化同时,需对n是*我还是偶数分美it投

式

身错点：有目套用二次函数求最值

与

类型三：换元后忽视元的范围耕错因：没有考虑三角西敷的有界性

三

补指他：全面考启还原前后元的取值范围

角

恒身错点：忽视角的范.因限制而致错

类型四：忽略逾含条件耕懦国：方法不当导致运算量加大

等

补措施：看清题目要求是钝角还是筑角，

变注意题目所给的条件，挖掘隹含条件

换

易错点：对三角彩中内角的三角的数值的

诸多限制认识不足

类型五：化归与转化思想应用错误辩错叫对丈后的解签没有经验，从而姑论错误

补指括：掌握三角函敦的求依眶型的多种

方法，合理运用转化与化购思想

?命题人视角我的错题本深挖缘由

类型一：三角恒等变换公式用错

【错因解读】不会运序诱导公式，二倍角公式，和差化积公式，积化和差公式与

万能公式等.公式掌握大熟练.

【典例引导】若/(sinx)=3—cos2x,贝ij/(cosx)等于()

A.3—cos2xB.3—sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x

【错误解法】

/(sin^)=3-cos2x=3-(2sin2^-l)=4-2sin2x,故

f(cosx)=4-2cos2x=3-cos2x,

故选A.

【正确解法】/(sinx)=3-cos2x=3-0-2sin2x)=2sin2x+2.

所以/(X)=2/+2,因此

/(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x,故选C.

【补救措施】

总结：

1.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如

a=(a+/3,2a=(a+/?)+(£—夕)，a=g[(a+/7)+(a-,)],

冗(c、(c冗、

a+—=(p+a)-p—,a=a+——.

4—4)I4J4

2.注意公式的逆向使用、变形使用，特别是二倍角公式的变形公式及其三角函数

值的变式：

如asina+〃cosa=>!a2+h2sin(a+°),其中tan,

a

.2a1-cosa1+cosa

sin"-=----c--o--s2--——a,,l+cosa=2-cos2—a，

22222

l-coscr=2sin2—.

2

3.sin2a=2sinacosa,cos2tz=cos2ez-sin2cr=2cos2a-\=l-2sin2a»

这些二倍用公式，同学们一定要熟练掌握.

【再练一个】(2027届江西上饶高一下期期末)

(兀、1(兀'

1.已知sina——=-,贝ijcos2a+—=()

类型二：将n兀+々5£Z)与2kn+a(keZ)混淆而忽略对n的讨论

【错因解读】错在没有对〃进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透彻.

<4/2+1)f4/1-1Y7、

【典例引导】化简：cos---"+xj+cos]---7i-x^nGZ).

【错误解法】原式=(’71\(71

COS〃4+—+x+cosnji----x

、4JI4J

(71\r(；TW(711

一+x=2cos—+xL

=COS、—4+x)4-COS|_-\-4)\(4)

4J14J

(1)当〃为奇数时，即〃二二2Z+1(ZEZ),

71

原式=cos(2%+1)%+乙+x+cos(2%+1)乃-1一工

_4

/\/

(7171

=-cos—+x-cos——-X

UJI4/

c(兀、

=-2cos—+x；

uy

(2)当〃为偶数时，即〃二:2k(keZ),原式

/_\/九]

=cos2C%14+—兀+x+cos2K7T------X

、4J、4J

一2cos—+x，〃为奇数

(4)

故原式=,

2cos(工+为偶数

(4)

【补救措施】

总结：化简sin(〃乃+a),cos(wr+a)(〃£Z)时，需对〃是奇数还是偶数分类讨

论，

但tan(〃乃+a)=tana(n£Z)对任意〃eZ均成立.

【再练一个】

2.若/(x)=cosq-,K£Z,则/⑴+汽2)+…+/⑹的值为

类型三：换元后忽视元的范围

【错因解读】盲目套用二次函数求最值，没有考虑三角函数的有界性

【典例引导】已知2二+/?=4，求)，=8$/?-6sin。的最小值和最大值.

【错误解法】由2a+夕=不得力=%一2。，

、2

即y-cos(乃-2a)-6sina-2(sin6z--|H

7

所以此函数的最小值为-日，最大值不存在.

【正确解法】令sine",则川＜1,又/?=万一2a，

则y=cos(7一2。)一6sina=2sina——-5昨4

所以当/=一1时，函数有最大值为7；

当，=1时，函数有最小值一5.

【补救措施】

总结：三角函数求最值的常用方法：（1）将函数式化为），=Asin（s+e）形式，

利用三角函数的单调性、有界性，特别要熟练掌握辅助角公式

y=asin+bcosx=^Ja2+b2sin（x+^）；（2）将函数式化成单一名称三角函数

的一元二次函数形式；（3）数形结合；（4）换元法；注意新元的范围，如遇到

5抽了±^：05%与5抽为8$不相关的问题.

【再练一个】

3."aW2"是"si/x-asinx+l〉。在（。,兀）上恒成立”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

类型四：忽略隐含条件

【错因解读】方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错.

【典例引导】若sina二五，sin£=巫，且。，夕为锐角，求a+尸的值.

510

【错误解法】因为。锐角，所以cos外=Jl—sin2a=益叵.

又£为锐角，所以cos£=Jl—噜.

且sin（a+/?）=sinacos0+cosasin，=•

由于0vav90。,0</?<90°.

因为0<a+尸<180。，故。+夕=45。或135。.

【正确解法】因为。为锐角，属于cosa=Jl-sin2a=蛀，

又因为仅为税角，所以cos/7=Jl—sin2/7=4F，

则cos（a+f3）=cosacos/?-sincrsin/3=^~,

7F

因为。，夕为锐角，所以。<二十6〈兀，故。+尸=工.错解忽略了隐含条件，

4

TT

没有注意角的范围，导致求值错误.在解题中应挖掘\h-<A+B<7T这个隐含条

2

件.

【补救措施】上述解法欠严密，仅由sin(a+〃)=半，而

得到。+/=45。或135。是正确的，但题设中sina=@<1,

52

sin/?=巫使得0。<二十万<60。，故上述结论是错误的.我们若取a+尸

102

的余弦则易求得cos(a+/?)=手，又由于0<a+力〈兀，故a+£=?.这样

就避免了上述角的范围的探求，因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三

角函数名称，往往能化繁为简.

总结：

利用三角函数值求值(角)的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.

【再练一个】

4.若cos(a-/?)=(,cos2a=［母，且a为锐角，夕为钝角，则夕+力=一

类型五：化归与转化思想应用错误

【错因解读】对VA8C中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，得到结论而

不加检验，应用同角三角函数关系时，己知角的一个三角函数值求角的其他各三

角函数值的基本要领没有掌握.

23

【典例引导】已知在VABC中，sin(A+B)=—,cos3=-二，求cosA的值.

【错误解法】错解]：•.,sin(A+8)=sinAcos5+cosAsin8,

又sinB=Vl-cos2B=，

4

;_2sinA+^cosA=2,sinA=^cosA.8.

44339

Vsin2A+cos2A=1，，—cos2A=-^^cosA--=0»

92781

即144cos24-48近cos4—17=0,

：.c°sA=25±3邛

12

错解2：\*cosA=cos[(A+3)-3]=cos(A+3)cosB+sin(A+3)sin3,

又sin8=71-cos2B

4

cos(4+8)=Jl-sin2(4+8)=与,

324_2凤3石

…=叵+—

33412

错解3：*.*cosA=cos[(A+B)-=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB,

又sin5=A/1-COS2B=^-,COS(A+B)=±s/l-sin2(A+B)=±—，

43

3)2近_2疗±3"

・•・cosA=±—.+—

3I4,13412

371

【正确解法】在VA3C中，由cos3=—二知一<8<乃,

42

sinB=V1-cos2B=

4

\--<B<A^B<7rsin(A+B)=-

2f3

cos(A+8)=-7l-sin2(^+B)

则cosA=cos[(A+4)-司=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB

(加\(3、2行2近+3百

I3JI4；3412

【补救措施】错解1应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于cosA的

一元二次方程再求解，方法虽不简捷却是可行的，然而，由于对VA3C中内角

的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有经验，从而结论错误.事

实上，已知cosBvO,表明了B是钝角，由4+3知，A为锐角，

cosA=独二还<0不合题意，应舍去.

12

错解2和错解3都能够发现并应用变量代换的思想化A=(A+8)-8,使问题

显得十分简明，但对三角形的三角函数值的诸多限制认识不足，导致错误结果，

事实上cos3<0,表明3取得cos(A+8)=正，错解3又得到cos(A+8)=正

而不加检验，反映在应用同角三角函数关系时，已知角的一个三角函数值求由的

其他各三角函数值的基本要领没有掌握.

总结：三角函数的求值题型：(1)“给角求值''一般化为特殊角的三角函数，无法

转化的应设法恒等变形使其相消或相约；(2)“给值求角”注意根据条件求出角的

某一三角函数值，再讨论角的范围(注意根据己知三角函数值缩小角的范围)以

便确定角的具体值；(3)“给值求值”的关键是找出已知式与欲求式之间的角、函

数名称的差异与联系，主要方法有：①方程法，②比例性质，③弦化切，注意利

用1=sin2cr+cos2a代换.

【再练一个】(2027届河北高一下期期末)

5.已知函数/(x)=>/3sin2x——cos2x-cos2x+—.

(1)求函数/(x)的单调递增区间;

3兀

⑵求函数在区间［。工让的值域.

v遗忘曲线图反复巩固

（易错点：三角恒等变换公式用错）

（2027届辽宁高一下期期末）

6.已知sin。一cos6=,，则cos4，=（）

3

（易错点：忽略隐含条件）

（2027届江苏高一下期阶段测试）

'兀、（兀、

7.设夕是锐角，cos夕+:=cos0--tan26^,则tang=（）

A.6+2B.2-V3C.2±gD.*且

2

（易错点：化归与转化思想应用错误）

（2027届江苏徐州高一下期期末）

31

8.在锐角VA3C中，sin（A+B）=-,sin（A-B）=-,则（）

2

A.sinAcosB=—B.tanA=2tanB

5

4

C.tan（A+3）=—-D.tanA=2+>/6

（易错点：将M+a（〃£Z）与2匕i+a（%£Z）混淆而忽略对n的讨论）

sin（〃乃十a）

9.已知〃为整数，化简一；----（所得结果是_____.

cos（〃万+a）

（易错点：换元后忽视元的范围）

（2027届江苏常州高一下期阶段测试）

10.已知。£0,令，求函数y=sine-cose+2sin6cos。的值域.

《5.4诱导公式与三角恒等变换【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案:

1.B

71

【分析】利用诱导公式化COS2。+可为-cos,再结合二倍角公式

进一步化简求值即可.

【详解】因为=所以

故选：B

2.0

【分析】根据特殊角对应的三角函数值，即可计算出结果.

7TY

【详解】因为/（X）=COS《-,XEZ,

所以

7T27r4454

/(!)+/(2)+…+/(6)=cos—+cos—+cosn+cos—+cos—+cos2^=0

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查求三角函数值的问题，属于基础题型.

3.B

【分析】根据已知可求出“sirx-〃sim:+1>0在（。,兀）上恒成立”的等价条件.

原式可转化为a<SIH=sinx+「一在（0,九）上恒成立，令

sinxsinx

/（X）=sinx+—,XG（0,7l）,则只需a</（x）而即可.根据基本不等式，可求

sinx

得f（x）>2，所以“sin2x-asiar+1>0在（0,兀）上恒成立”的等价条件时a<2,

即可得出结果.

【详解】当工40,兀）时，sinx>0恒成立.

所以sin2x-tzsiax+1〉0在（。,兀）上恒成立,

可转化为〃<Sin'X+1=sinx+—L在（0,兀）上恒成立,

sinxsinx

令f（x）=sinx+-----,xe（0,7i）,

则只需加n即只

又/（x）=sinx+--->2./sinx---=2,

sinxVsinx

当且仅当sinx='，且x«0,兀）时，即广；时等号成立，

smx2

所以〃<2.

又。W2是。<2的必要不充分条件，

所以，02"是"sin^r-asinx+l>0在（。㈤上恒成立”的必要不充分条件.

故选：B.

3兀

4.—

4

【分析】利用配凑法将a十）表示成2々一（二一分），再去求解3s[2a-（a"）]

即可得到a+夕的值.

【详解】因为a为锐角，cos2a=®〉0,所以0<a<f,

104

又因为万为钝角，所以g,

71TC八54

所以一zr<a一/<——,—<a+/<—,

424

所以

2a-(a—6)]=cos2acos(a-/?)+sin2asin(a-x[+x

cos(a+P)=cos

因为］＜。+/?＜芳，所以。+夕=当

2冗

故答案为：:

4

7T7T

5.(1)伙兀——，攵兀+—](ZwZ)

63

⑵[-"2]

【分析】S）由三角恒等变换得/a）=2sin〔2x-%｝再整体代换求解即可;

（2）整体代换求解函数的值域即可.

【详解】(1)因为f。)=6sin24——cos2x-cos2x+—

22

1+cos2x1

=A/5sin2x-』cos2x------+—

222

=&sin2x-cos2x

1]

2——sin2x——cos2x

\22/

=2sin2x--,

I6/

由2kn-^<2x-<2kn+],(Z£Z),

即〃兀一.KxK〃兀+g,(ZwZ),

冗7E

所以函数/（X）的单调递增区间为：［E-三,E+彳］（攵eZ）.

63

3ITIT7T47r

(2)因为OWxS』，所以一士二2%一上二」,

4663

.

所以sin2x—gw

k6)

所以2sin(2x-i)G[-^2L

所以函数/(X)在区间［0,9］上的值域为：［-6,2］.

4

6.A

1Q

【分析】将sine—cos8=5两边平方，可求得sin2e=§,再利用二倍角公式，

即可求得答案.

I7I

【详解】因为sine—cose=§,所以(sine-cos。)=§,

1Q

即得l—sin26=§,则sin26=］,

故cos48=l—24/29=1—2x"=-%，

8181

故选：A

7.C

【分析】利用两角和与差的余弦公式展开等式左边，再结合正切函数的二倍角公

式化简等式右边，然后通过化简等式求解tan。.

7T7T

【详解】利用两角和与差的余弦公式展开cos(e+：)与cos(，-一)可得:

44

cos(夕+—)=cos6^cos—一sin6^sin—=(cos0-sin0)

4442

cos(0--)=cos0cos—+sin^sin—=(cos8+sin6)

4442

2tan。

根据正切函数的二倍角公式tan20=

l-lan2^

ITTTTTTT

将cos（6+—）、cos（6——）、1@112夕代入原等式85（6+—）=85（夕——）tan20

4444

可得：

—（cos。-sin夕）=—（cos0+sin夕）•23nl

221-tan^fl

因为。是锐角，cosOwO,等式两边同时除以上cos。得：

乙

1八八八、2tan。..门2tan。

1-tan6^=（14-tan0）---------,化为M：l-tan®=-------

l-tan-01-tan。

等式两边同时乘以l-tan。得：（1一tan8）2=2tan。

展开得：l-Ztane+tan?。=2tan8，则tan?6-4tan6+1=0

则tan”出叵三HL包叵=生旦2±G

2x122

因为。是锐角，tan。）。，所以tan6=2±G都符合条件.

tan6=2±百.

故选：C.

8.ABD

【分析】对于选项A,将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得sinAcosB

的值；对于选项B,根据条件求出sinAcos民cosAsin5的值，进而可得到

tanAtanB的关系；对于选项C,根据sin（A+B）先求出其余弦值，进而得到

正切值；对于选项D,首先将：an"tan：=一1展开，然后根据tanA=2tan9

1-tanAtanB4

求出tanA.

【详解】对于选项A：

31

因为$抽（4+8）=—,$m（4-8）=—，

3

所以sinAcosB+cosAsinB=一①

sinAcosB-cosAsinB=-(2),

3]_

+

所以•Ap552,所以A正确;

sinAcosB=———=—

25

对于选项B：

31

因为.4D5+52,.1211

sinAcosB=-——-=—cosAsinB==