一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型（高效培优专项训练）原卷版-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版）

一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型

题型归纳

目录

题型一：一次函数含参数中的图象和性质...........................................................1

题型二：一次函数中的规律探究问题...............................................................4

题型三：一次函数中求线段和最值问题.............................................................7

题型四：一次函数中折叠的综合问题..............................................................16

题型五：一次函数中的新定义型综合问题..........................................................28

题型六：一次函数中分段函数探究问题............................................................34

题型一：一次函数含参数中的图象和性质

1.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）下列关于一次函数），=-2》+方的判断，正确的是（）

A.当b＜0时，该函数图象经过一、三、四象限

从点］（4必），点4（凡必）在该函数的图象上，若为＞工2＞。，则必＜0＜»2

C.若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则〃=-2

D.若关于x的方程2x-GO的解是x=〃，，则J，=-2x+Z）的图象恒过点（见0）

2.（23-24八年级下•山东临沂・期末）关于直线^二6+太/工0）,下列说法错误的是（）

A.图象与y轴交于点（OM）

B.当k＜0时，点（一1,乂）、（Z为）在图象上，则必〉为

C.图象经过第二、三、四象限

D.图象经过定点（-1,0）

3.（2024八年级上•全国•专题练习）关于x的函数y=（"-3）x+t,给出下列结论：

①当女工3时，此函数是一次函数：

②无论A取什么值，函数图象必经过点（-1,3）；

③若图象经过二、三、四象限，则左的取值范围是上＜0：

④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则左的取值范围是0＜女＜3.

其中正确结论的序号是（）

A.①③④B.①③④C.②③④D.①②③④

4.（23-24八年级下•山东聊城•期末）关于函数》=履+4-2,下列说法正确的是（）

①当左=2时，该函数是正比例函数：

②若点/（〃1,凹）,以〃?+3,必）在该函数图象上，且必〈必，则）＞0；

③若该函数不经过第四象限，则上＞2；

④不论攵取何值时，该函数图象必过定点（一-2）.

A.①②④B.③④C.①②③④D.①②③

5.（23-24八年级下•天津•期木）关丁函数y=（〃-3）x十左（A为常数），有下列结论：

①当太工3时，此函数是一次函数：

②无论4取什么值，函数图象必经过点（-1,3）；

③若图象不经过第一象限，则4的取值范围是太＜0：

④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则〃的取值范围是0＜衣＜3.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型二：一次函数中的规律探究问题

6.（25・26八年级上•全国•单元测试）如图，在平面直角坐标系口，函数歹=2x和y=r的图象分别为直线

44,过点（1,0）作x轴的垂线交4亍点4,过4点作J，轴的垂线交右于点4,过点4作x轴的垂线交4于点4,

过点4作y轴的垂线交4于点4,……依次进行下去，则点4g的坐标为（）

A.（1012,-1013）B.（-1012\10132）C.（2,012,21013）D.（2,012,-2,°,3）

7.（24・25八年级下•山东德州,期中）在平面直角坐标系中，直线，：y=x-1与x轴交于点4,如图所示，

依次作正方形44G。，正方形482GG，…，正方形4纥GG”，使得点4，4，4............在直线/上,

点G，G,G,…，在y轴正半地上，则点々024的坐标为（）

A.(22023,22024-l)B(220*220_1)

C.(22023,22024+l)D.(2202\22023+l)

8.（24-25八年级E广东河源•期末）如图，直线y=x+2与V轴相交于点4,过点4作x轴的平行线交直

线丁=0.5x+1于点4,过点片作轴的平行线交直线y=x+2于点4,再过点4作x轴的平行线交直线

y=0.5x+l于点层，过点层作y轴的平行线交直线y=x+2于点应，…，依此类推，得到直线y=x+2上的

点4、4，4,…，与直线y=o.5x+i上的点4，层，房....则4%的长为.

题型三：一次函数中求线段和最值问题

9.（23-24八年级下•山西大同•阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，力（1,0）,

4（2,0）是x轴上的两点，则当E4+P8取最小值时，点尸的坐标为.

10.（24-25八年级上•江苏泰州•阶段练习）已知直线1=-；工+1与x轴、y轴分别交于46两点，平面内

有一动点P（/"4,-6+2）,则P/+P4的最小值为.

11.（24-25八年级下•北京•期中）如图，点力（3,0）在x轴上，直线y=r+6与两坐标轴分别交于8,C两

则00+0/1的最小值为.

12.（24-25八年级下•福建泉州•期中）如图，直线》=x+2与x轴、y轴分别交于点力，B.C,。分别为线

段力£80上的两个动点，点P的坐标为（-1,0）,则△PCD的周长的最小值为.

3

3（25-26九年级上•天津・开学考试）如图1,一次函数》=厂-6的图象与坐标轴交于点48,亦平分4如

（2）点D的坐标为

（3）如图2,点E是线段。8上的一点，点”是线段8C上的一点，求£F+O9的最小值.

14.（24-25八年级上•福建宁德・期中）如图，直线J，=2x+4与x轴、），轴分别交于8、C两点.

⑵若点4（x，V）是第一象限内的直线V=2x+4上的一个动点，则当点力运动到什么位置（求H点4的坐标）

时，△水加的面积是8.

⑶在（2）成立的情况下，点尸在线段8C上，且到x轴的距离为2、点。是直线x=4上的动点，如图2,

求。尸+。力的最小值.

题型四：一次函数中折叠的综合问题

15.（24-25八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点力（0,4）,8（-3,0）,连接

AB.将△WOB沿过点8的直线折叠，使点力落在x轴上的点H处，折痕所在的直线交N轴正半轴于点C,

则点C的坐标为.

16.（24-25八年级上•全国•期中）如图，一次函数N=-工+6的图象与x轴交于点力,与y轴交于点儿C是

x轴上一动点，连接4C,将△力EC沿8。所在的直线折叠，当点力落在y轴上时，点C的坐标为—.

4

17.（24-25八年级上•广东深圳•阶段练习）如图，直线48:y=-§x+4与x轴，V轴分别相交于点4和点

B,M是。8上一点，若将△力笈M沿4”折叠，则点8恰好落在x轴上的点"处.求：

（1）求力、8的坐标；

⑵求△力8M的面积.

18.（24-25八年级上•重庆南岸•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线），=h+b与x轴、y轴分别相

交干点力（-6,0）、4（0,8）,C是线段上一点，将AO/C沿着幺。折叠，点。落在点。，连接30.

(1)求直线48的函数解析式；

⑵若SAOB，求点。的坐标；

(3)点P是平面内一点，若NP4B=45。,请直接写出直线总的函数解析式.

4

19.(24-25八年级下•湖南衡阳•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线48:y=-§x+4与x轴、V轴

分别交于点4,8,点C在y轴的负半轴上，若将△08沿直线4c折叠，点B恰好落在X轴正半轴上的点

D处.

(1)点8的坐标是,的长为；

(2)求直线的解析式；

3

(3)点A/是N轴上一动点，若S&MA8=~S^OCD，请求出点M的坐标；

(4)在第一象限内是否存在点P,使△48为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

20.(2025•天津河东•二模)将一个直角三角形纸片/月。放置在平面直角坐标系中，点力(16,0),点8(0,8),

点。(0,0).。是边8上的一点(点尸不与点4。重合)，沿着4尸折叠该纸片，得点O的对应点C

(1)填空：如图①，当点。在边/信上时，点尸的坐标为,△43的面积为；

(2)如图②，当轴时，PC与AB交于点D,求点。的坐标；

(3)设点/到直线PC的距离为力在折叠过程中，当d=8C时，求0P的长(直接写出结果即可).

题型五：一次函数中的新定义型综合问题

21.(24-25八年级下,云南楚雄•期末)定义：若两个实数“，6满足a+6疝，则。与人互为“和谐数”，点(。㈤

为“和谐点

⑴若(0,。为“和谐点”,求日的值.

⑵已知点",用是关于x的一次函数乂=-3、+38和8=gx-等的图象的交点，是否存在实数加，使

点(xj)为“和谐点”？若存在，请求出机的值；若不存在，请说明理由.

22.(23-24八年级下•湖南长沙•阶段练习)在平面直角坐标系中，对于点力(。力)和点8(x,y),给出如下定

(1)点(-3,-1)的雅值点坐标是」若点/的雅值点为(3,5),则点力的坐标是一

1Q

(2)如图1,点。、点。是y轴上的动点，若点。的雅值点石在直线y=-]X+3上，ACQE的面积为彳，求

点C的坐标;

(3)点M是直线J，=2x上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P,使得是等腰直角三角形

且NMNP=90。，请求出满足条件的Q点坐标.

23.(23-24八年级下•广东深圳•期中)阅读理解：

【新定义】对于线段和点°,定义：若QM=QN,则称点。为线段MV的“等距点”；特别地，若

4MQN=90。，则称点Q是线段MN的“完美等距点”.

【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点4的坐标为(6,0),点尸(〃?,〃)是直线y=

上一动点.

(1)已知4个点：3(3,-3)、C(3,-2i.。(-3,-3)、七(3,&),以上这四个点中一是线段3的“等距点”，一是线

段"的“完美等距点(填写大写字母).

⑵若点P在第三象限，且OP=2石，点〃在)，轴上，且〃是线段公的“等距点”，求点〃的坐标：

(3)当〃>0,是否存在这样的点N,使点N是线段Q1的“等距点”且为线段。。的“完美等距点”，请直接写出

所有这样的点P的坐标.

题型六：一次函数中分段函数探究问题

24.(24-25八年级下•安徽合肥•阶段练习)某班数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数)，=卜-2|的

图象和性质进行了研究.探究过程如下，请补充完整.

(1)如表是y与x的几组对应值，其中机=:

X・・・-3-2-1012345・・・

y・・・54m210123・・・

(2)如图，在平面直角坐标系xQy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另•部分:

(3)观察函数图象发现：

①咳函数图象的最低点坐标是；

②当x<2时，y随X的增大而.

(4)进一步探究：不等式卜-2|22的解集是

25.(24-25八年级下•河南商丘•期末)研究新函数J=-3凶+1,可以通过一次函数的图象和性质的学习过程

来探究新函数.

(1)补全下表：

X•・・-3-2-10123•・•

y.・・—8-21-5—8

(2)根据(1)中的数据在下图中画出函数图象:

(3)根据(2)中的图象，探究该函数的性质.

①该函数的最大值为:

②若方程-3忖+1=女有两个解，则左的取值范围是

③请你再写出一条该函数的性质.

26.（24-25八年级下•北京•期末）请同学们探究函数y=2|x+l|-3