圆与圆的位置关系（导学案）-高二年级数学上册湘教版选择性

262园与圆的位置关系

【学习目标】

1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.（直观想象）

2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.（逻辑推理、数学运算）

【自主预习】

学忆眼/〕

1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆

与圆的位置关系又有几种呢？

2.如何判断出两圆的位置关系?

3.已知两圆G：,F+y+dx+By+F］二0和X2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过代

数的方法判断两圆的位置关系？

回自学检扁』

1.判断下列结论是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切.（）

⑵如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交.（）

（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直

线方程.()

(4)过圆0：/+),2=户外一点尸(出,/)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则0,

P,A,B四点共圆且直线的方程是xox+)，oy二产.()

2.圆Oi：r+VlxO和圆。2：1+)24)，=0的位置关系为().

A.相离B.相交

C.外切D.内切

3.已知两圆x2+.y2=10和(xl)2+G，3)2=2()相交于4B两点，则直线AB的方程

是.

【合作探究】

探究1圆与圆的位置关系

国情境设・/)

杲地12月24日拍到的日环食的全过程如图所示.

可以用两个圆来表示上述变化过程.

oOoQaD@O

根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系

表示这些圆的位置关系？

问题：判断两圆的位置关系有什么方法？

阻新知生成力

1.圆与圆的位置关系

圆与圆之间存在以下三种位置关系：

(1)两圆相交，有两个公共点：

(2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点;

(3)两圆相离，包含外离与内含，没有公共点.

2.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为门，2两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系

的判定方法如下:

位置关系外离外切相交内切内含

图示00

d与门，F2

的d>ri+12d=ri+r2|r)r2|<d<ri+r2d=|r]r2|0<d<|r)r2|

关系

(2)代数法：设两圆的一般方程分别为G：/+产+/)|什后),十月=o(□介□招吊>o),

C2：X2+)2+£)>+&)叶乃二。(□升口，4“2>。)，

(炉+炉+口x+py+Di=0

联立方程得卜—加+»口2=

0

9

则方程组解的个数与两圆的位置关系如卜.:

方程组解的个数2个1个0个

两圆的公共点个数2个1个0个

两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含

©新知运用上

例1两圆G：/+>22x3=0,C2：x2+5*24x+2y+3=0的位置关系是().

A.外离B.相切

C.相交D.内含

【方法总结】判断两圆的位置关系的两种方法

(I)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，

进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断

两圆的位置关系.

巩固训练若网C：X2+)。=1与圆C2：X2+)26x8)—/〃=0外切，则/〃=().

A.21B.19

C.9D.D11

探究2两圆相切问题

例2求与圆炉+9标二。外切且与直线］+内,=0相切于点M(3,V3)的圆的方程.

【方法总结】处理两国相切问题的两个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切

和外切两种情况讨论.

(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝

对值(内切)或两圆半径之和(外切).

。巩固训练若圆X2+)，=m与圆(+),2+6x8/11=0内切，则〃7=.

探究3相交弦及圆系方程问题

例3已知圆Ci：/+)2+6(4=0和圆C2：X?+)R+6)，28=0.

(I)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；

(2)求经过两圆交点且圆心在直线入了4=0上的圆的方程.

【方法总结】

1.若圆Ci：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆Cz：x2+y2+D2X+E2y+F2=0相交，则两圆公

共修所在直线的方程为(DiDz)x十(EE)y十FR-O.

2.公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

⑵几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的

直角三角形，根据勾股定理求解.

(3)已知圆C：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两

圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D|x+Eiy+Fi+Mx2+y2+D2X+E2y+F2)=0(QH).

巩固训练已知两圆G：x2+y^+2y3=0flC2：x24-j?24.r2y+1=0.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长.

【随堂检测】

1.圆G：f+产1与圆Q：x2+(y3)2=l的内公切线有且仅有().

A.1条B.2条C.3条D.4条

2.若圆x2+/4x+6^=0和圆好+)?6工=0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方

程是().

A.x+)+3=()B.2孙5=()

C.3x)9=0D.4x3)，+7=0

3.已知圆x2+y2+2x4y5=0与圆x2+y2^-2x\=0相交于A,B两点，则公共弦AB的

长度是.

4.已知以C(4,3)为圆心的圆与圆。：/+.俨=1相切，求圆C的方程.

参考答案

2.6.2圆与圆的位置关系

自主预习

预学忆思

1.按交点个数可分为三种位置关系.

2.通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系判断.具体如下：

设两圆的圆心距为/,圆Ci的半径为门，圆C2的半径为2则判断圆Ci与圆Ci

的位置关系的依据有以下儿点：

0门+冷时，圆G与圆Q外离；

②^/二门+-2时，圆G与圆C2外切；

叵当|门山</<小+-2时，圆C1与圆。2相交;

④当/=|门间时，圆C1与圆C1内切；

⑤当/〈卜1「2|时，圆G与圆。2内含.

3.联立两圆的方程，消去)，后得到一个关于X的一元二次方程.当/>0时，两圆

相交；当/=()时，两圆外切或内切；当/<()时，两圆外离或内含.

自学检测

1.⑴X(2)x(3)X(4)，

2.B【解析】由题意得圆。।的圆心坐标为(1,0),半径〃=1；圆。2的圆心坐标

为(0,2),半径7*2=2.因为1二厂2厂1<|。1。2|=75<口+/2=3,所以两圆相交.

3.X+3尸0【解析】圆(X1)2+Q3)2=20化为一般式为r+)迎电皿4，①

又圆/+)2=10,即炉+),2]0=0,②

由Z②得x+3)，=o,即为直线AB的方程.

合作探究

探究1情境设置

问题：判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我

们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系

判断.

新知运用

例1C【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是

(xl)2+)2=4,。2)2+0，+1)2=2,所以两圆的圆心分别为G(l,0),C2(2,1),半径

分别为门=2,竹二值则IC1C2I二J(l_2,+(0+1］々,门+r2=2+犷，72=2/1,故

“2<|。1。2|<门+「2，即两圆相交.

(法一代数法)晤:睬一:二3=0解得辟言;能即方程组有2组

解，也就是说两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.

巩固训练C【解析】因为r+)26x8)，+机=0可化为。3)2+°，4)2=25机，

所以25m>0,得/”25,且圆C2的圆心为(3,4),半径为迎.

由圆与圆外切，可得J(3_0,+(4_0,=1+J25.口,解得m=9.故选C.

探究2

例2【解析】圆的标准方程为(月)2+尸=1,

则圆心为。(1,0),半径为1.

设所求圆的方程为(m)2+(助)2=/2〃〉。).

ln_l)24-D2=r+l

由题意，可得Wx(*)=」，'

.U^l=r,

=4=0

解得I□=0'或］口=_4>/3

、□=2'(□=6

即所求圆的方程为(")2+V=4或/+0+4丹氏36.

巩固训练1或121【解析】圆炉+产二小的圆心坐标为(0,0),半径门=g,

圆x2+)2+6%8丁11=0的圆心坐标为(3,4),半径r2=6.因为两圆内切，且圆心距d=5,

所以|6七|二5,

解得/n=l或机=121.

探究3

例3【解析】(1)设I圆交点为4汨,yi),Bg”),

□2+Q2-l-6x4=0

则A,8两点的坐标是方程组"八6#=。

的解.

□

①②,得.0+4=().

：工，B两点的坐标都满足此方程,

・：町，+4=()为两圆公共弦所在直线的方程.

又圆G的圆心为(3,0),半径r=/T3,

•:点G到直线AB的距离"二号邛，

VZZ

・：|A8|=2j匚2.口2=2网=5丘,

即两圆的公共弦长为5Q.

(2)(法一)解方程组得两圆的交点为4晨3)，8(6,2).

设所求圆的圆心为(mb),由于圆心在直线xy4=0上，故8=44,

+22

故圆心为(;，；)，半径为鸟.

故圆的方程为(以2+(y+)二等

KP工2+),2尤+7)，32=0.

(法二)设所求圆的方程为f+)2+6"+2(f+y2+6y28)=0(/#1),

其圆心为(启，舁)，代入.昼4=0,

解得2=7.

故所求圆的方程为x2+y2x+7y32-0.

八

巩固训I练【解析】⑴由,一22十2一2：2"二°，八消去丁，整理得安2x=0,①

(□'+Z)2_4x_2y+1=0,

因为/=(2)24x1x0=4