圆锥曲线解答题型全析（培优题型专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题06圆锥曲线解答题型全析

i目录

i

|第一部分题型解码微观解剖，精细教学

=&典例剖析后方法提炼性变式训练

!题型01轨迹方程问题

|题型02圆锥曲线的弦长与面积问题

题型03斜率的和积差商问题

I

题型04圆锥曲线中的过定点问题

：题型05圆锥曲线中的求定值问题

!题型06圆锥曲线中的定直线问题

；题型07圆锥曲线中的取值范围或最值问题

题型08圆锥曲线与向量综合

j题型09圆锥曲线中的探索性问题

i第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

A第一部分题型解码

题型01轨迹方程问题

典例剖析

【例设抛物线C的方程为F=4），，点”（七,），0）（毛工0）在抛物线。2”2=一）,上，过M作抛物线G

的切线，切点分别为A，8,圆/V是以线段八8为直径的圆.

（1）若点M的坐标为（2,T）,求此时圆/V的半径长；

（2）当M在/=一'上运动时，求圆心N的轨迹方程.

【详解】解:（1）设NQ,），）,A（再£,84吟卜尸七，

・・.切线的方程分别为y=）+圣吟（…力亨，

得M4,用5的交点；7；2_"的坐标为中然殳=人*华=-4,

IJ人'*•y1/»乙।

7*>

X2Xl_________________

2

又上=2〃2〃=/二-IAB|=VF+F^x,+x2)-4A,X2=4710

“ABx2-x,2pp

Ar=-|AB|=2V10.

2

（2）•・•川为线段AB的中点，・,・x=土石■»=山区,

278

।x=/)?-1

点在C2上,即¥=-％,

]3x2+4y=12

由⑴得国斗咛叫号）;出a

.•・z2=_4工-8.y,xw0,即_?=；）,（工工0）,

83

2

・•・圆心、的轨迹方程为V=-y（x^0）.

【例1・2】已知点M（T,。），Ml,0）,动点尸满足|PM|=6|PN|.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过抛物线V=2x上一点422）作曲线£的两条切线分别交抛物线于区，C两点，求直线4c的斜率.

【答案】（1）（X—2）2+y2=3；（2）——.

【详解】⑴设P（x,y）,由M（-l,0）,N（l,o）,|PM|="|PN|,

，可得y］（x+\）2+y2=y/3y］（x-\）2+y2,

故动点P的轨迹E为（x-2尸+）J=3；

（2）由题意知，切线斜率存在且不为0,设切线方程为）」2=太"-2）,

联立得仁至+丁=3,化简得0+公卜2-4）,-3k2+4=0,

l（x-2）+y~=3k-'，

△=16-4（1+的（4-3玛=0,解得』正,

3

，切线方程为），-2=理。-2）和）,-2=-理*-2）,

联立二2邛。-2),“2=-部-2),解得％=26-2

yc=—2^3—2,

y2=2x=2A

%_/一区—汽一)'8.221

方法提炼

求动点的轨迹方程有如下几种方法：

(D直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

(3)相关点法：用动点。的坐标X、y表示相关点尸的坐标加、加然后代入点〃的坐标(照，㈤所满足的

曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程；

(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数1得到方程，即

为动点的轨迹方程；

[变式训练，

【变式1・1】已知圆C经过点4(3.1),/-1,3)且圆心C在直线3xy2=0上.

⑴求圆C方程；

(2)若E点为圆C上任意一点，且点产(4,0),求线段EF的中点M的轨迹方程.

(3-«)2+(l-/?)2=r2

【详解】(1)由题可设圆C的标准方程为(x—a>+(y—〃>=产，则(一1一。『+(3『=/，

3〃一人2二0

解之得a=2,0=4,/=10,叶以圆C的标准方程为(X—2『十()，-4f=10；

.“也

2x[=2A-4

(2)设M(x,y),E(x，y)，由尸(4,0)及M为线段EF的中点得'解得

y+0>'I=2j

y=———

2

又点E在圆C：(x-2)2+(y-4)2=10±,所以有(21-+(2y-4,=10,

『+(『='故所求的轨迹方程为2

化简得:(x-3y-2(x-3>+(y-2)=g.

【变式1-2](2022•河北•模拟)已知点A(-2,0),8(2,0),动点M(Q)满足直线AM与8M的斜率之积

为;，记M的轨迹为曲线C

⑴求C的方程，并说明C是什么曲线;

⑵若直线/：），=x-3和曲线C相交于E,F两点，求

【详解】（1）解：设则AM,8M的斜率分别为K=T，&=一三，

由已知得三•3）=2，化简得《一］=1"工±2）,即曲线C的方程为《一£=1（XH±2）,

x+2x-2242v742v7

曲线C是一个双曲线，除去左右顶点.

上上=1

（2）解；联立J42~消去丁整理得12工+22=0,

y=x-3

设E（1,y）,尸（孙必），则当+0=12,=22,

22

|^|=Jl+储"-x2|=Jl+白+/丫—=V1+1712-4X22=垃底=4币.

【变式1・3】己知48两点的坐标分别是（-2,0）,（2,0）,直线AM,8M相交于点M,且直线4M的斜率与

直线8M的斜率的差是T,记点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程.

（2）将曲线C向上平移4个单位得到曲线E,已知斜率为3的直线/与曲线E有两个不同的交点。，石且满足

ODOE=2^求直线/的方程.

【详解】（1）设点M（x,y）,根据题意可知XH±2,

此线AM的斜率为如“=备，直线BM的斜率媪=£;

即可得脑-喘=喜-3=4整理可得，=入42药

Y|/

（2）如下图所示：\

-22x

将曲线C向上平移4个单位得到曲线£为丁=Y（x工±2）；

设直线I的方程为y=3x+c,D（x）,y）,£（士,为）：

联立曲线E和直线/整理可得f—3x-c=0,所以X+々=二%莅=-c；

因此。/）。石二司工十）1%=玉玉+（3'+C）（342+c）=1+3C（M+修）+。2=2,

即/一c—2=0,解得c=2或c=-l：

当c=2时，方程V—3x-2=0的根为1=把姮，符合题意；

2

当c=-l时，方程f-3x+l=0的根为1=注5,符合题意：

2

因此可知，直线/的方程为y=3x+2或y=3x-l.

题型02圆锥曲线的弦长与面积问题

典例剖析

22U

[^02-11（2。2b•河南•模拟）已知椭圆C：]+方■=1"—）的焦距为2&，离心率为三

⑴求C的标准方程；

（2）若A，[,。],直线/：x=）+1（/>0）交椭圆C于邑F两点，且△AM的面积为回，求t的值.

【详解】（1）由题意得，2c，=2&，c=0，

X^=-=—,则4=2,则从=42一C2=2,

a2

所以0的标准方程为》?「

（2）由题意设E（X1,y）,尸伍,力），如图所示:

7

联立,整理得(r+2))，2+3)-；=0,△>0,

3f，

则K+乃二一；^,）'访"一^^.

1907J16—+I4

故1yLy2I=J(y+)'2)2—4y)，2

而+2)2+K=入2

设直线/与x轴的交点为0（|,0）,乂《一|,0）,则“|=«|-（-|）=4,

故S.Q[|A叩x-），h2x里/=苧，结合”0,解得/=及.

【例2・2】已知双曲线C:£-£=l（"0力〉0）的左、右焦点分别为E,外，点42,3）在C匕且

.⑴求。的标准方程：⑵过尸2的直线交。于M,/V两点，线段AM与线段£可交于点R,若

△F】RM的面枳等于“VW的面积，求|MN|.

【详解】⑴因为A序匕［且A（2,3）,所以焦点5（2,0）,即C=2,|£闾=2c=4,|A周二3,

所以|4周二插班而了:5,

根据双曲线的定义有|"；HMl=5-3=2=2ana=l,所以从=/_/=3,

所以双曲线号-十、

（2）根据题意过5（2,0）的直线斜率为0显然不满足题意，可设过6（2,0）的直线为x=〃”+2,

x=my+2

2J_zz＞（3/n2-l）/+12/^'+9=0,当加工±且时，有A=（12，〃y-4x9（3加-1）=36（＞+］）＞o,

itl-

x—13

3

12//z9

设（））则由韦达定理有先=一

M%,%,N（f，%，X+3/n2-l，y,＞，2-3/n2-l*

2

所以|MN|=Vl+m|y,-,v2|=Jl+nJ,+刈）2-4/），2=‘

因为=5/八,，所以S”，M=SW，M,即点耳（一2,0）和点A（2,3）到直线x=〃少+2的距离相等,

1-2-21|2-2-3加|4

则有d=J==^=匕_1，解得加=±彳，所以MN

dl+m2Jl+/3

方法提炼

弦长公式：设直线/:片w7〃交椭圆，■+方=1（a＞力0）于弓（Mj）,22（4,心）两点，则

1尸网=S+M|M-汹1或IR产zl=J1+为y—M.

【变式2・1】已知椭圆鼻+1=l（a义＞0）的离心率为且，短轴长为4.椭圆与直线y=i+2相交于A,B两点.

crlr2

（1）求椭圆的方程；（2）求弦长|人治

【详解】⑴.••椭圆营+*=1（〃＞/，＞0）的离心率为坐，短轴长为4,

C6

e=—=——

a2,

.・.，2〃=4,解得。=4,〃=2,.••椭圆方程为二+二=1.

2f7->164

-)2

E+三=1

(2)联。：，164，得5f+4x-12=0，显然有△>()，

y=x+2

412

设A($,)[),B(x,y),则玉+超=-三，K々=一彳

22JJ

由弦长公式可得MM=ViTFJ(…2)2-=V2J—+—=延.

Y25255

【变式2-2]已知双曲线=l（a>0,8>0）的焦距为2君,离心率为6.

⑴求c的方程；（2）若人是C的左顶点，直线/：y=3x-3与C交于P,Q两点，求△APQ的面积.

【详解】（1）依题意，双曲线C的半焦距。=石，由离心率6=£=石，解得4=1,。2=°2一°2=4,

a

所以双曲线。的方程为——IL1.

4

6

（2）由（1）知双曲线C的左顶点4T0）,点A到直线，：3x-y-3=0的距离d=

y=3X-313

由：22/肖去得5/一18%+13=0,解得内=1，即=1

4/一)尸=45

则|PQ|=7177|x,1=也，所以△APQ的面积y“Q=；|PQ|/=?.

5，〉

【变式2・3】已知点8是圆。:（x-4+/=16上的任意一点，点RT0）,线段8尸的垂直平分线交3c于

点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线/：），=2x+机与E交于点M,N,且求m

的值.

【详解】（1）由条件可得|PC|+|PF|=|Pq+|因=|比1=4>|因=2

所以动点P的轨迹E是以凡C为焦点的椭圆，

设其方程为'+9

所以2。=4,2c=2,所以a=2,c=

所以方程为工+亡=1

43

■。,

工+21=1

⑵设%（工2，%），联立｛43〃〃可得19/+16〃a+4加-12=0

y=2x+m

所以由A=256〃/-76（4“_]2）＞0得me（-V19,M）

16m4/n2-12

玉+苍=一丁，工心二『—

因为|MN|=泗+巧匠/-4司=护票己耳=噜

所以可解得〃?=±1

题型03斜率的和积差商问题

典例剖析

22।，3、

【例3・1】已知椭圆C：々+上7=1（〃>/?>0）的离心率e=7，且椭圆过点1,彳.

a-b-212）

⑴求。的方程：

⑵过点M（0J）直线/与椭圆有两个交点4,B,已知>轴上点N（0,3）,求证：kH.

【详解】⑴由椭圆C：£+与=1的离心率e=J,得/=之生=,，则4〃=3a,

a~lr2a~4

3I9v22

由椭圆C过点（1弓），得B+B=l，解得标=4万=3,所以椭圆C的方程为二+匕=1.

2a~4b~43

（2）依题意，直线/的斜率存在，设直线/的方程/：y=kx+\t

Z+£=i…

由43消去九得（3+4公］+8依-8=0,

y=kx+\

OLQ

设A（$，x）,8（工2，%），显然△>（），则八2，百马=一丁市

所以心+%="+—=（知+1）-3+（5+1）-3=幺三+星二

3+4*

【例3・2】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点”（忘血）,N（瓜T）.

⑴求。的方程；

⑵已知点0（3,0）,直线/2=/），+〃（〃=3,，工0）与C交于AB两点，且直线£）4。8的斜率之和为;，证

明：点&〃）在一条定抛物线上.

【详解】（1）依题意设。的方程为pf+q），2=l,

P」

因为c经过点所以，丫：2；；,解得.:，故c的方程为工+二=1.

I''一a=-

3

（2）证明：设直线的斜率分别为占，k-A（XQJ,85,），2）.

将工=）+〃代入三+[=1,得（/+3）丁+2加），+〃2-9=0.

由题设可知△=12（3/一〃2+9）＞。，x十出一占，,以二与言，

f+3f+3

所间k+E:XI%_一（占-3）+3目-3）_力（仆+〃—3j+*（g+〃—3）

1

'%-3匕-3（A,-3）（X2-3）（m+〃-3）（再+〃-3）

:2/），阴+（"3）3+），2）J

/y）'2+«〃-3）（y+必）+（，?-3『f'

所以尸）1%-（〃一31=0,所以尸：+；_（〃_3）2=（〃-3）r4^1-（«-3）=0.

因为33,所以产骁—（〃—3）=0,所以〃=2/+3,

厂+3

故点心〃）在抛物线y=2f+3E,即点在一条定抛物线上.

方法提煤

1.针对圆锥曲线中的斜率和积差商问题，核心在于坐标化转化与韦达定理的应用。

首先，将斜率表示为，利用直线方程将纵坐标差转化为横坐标差的倍数。

在处理斜率的和、积、差、商时，将其通分或变形，转化为关于和的表达式，直接代入韦达定理的结果进

行整体运算。

对于定点定值问题，可利用特殊位置（如斜率不存在或无穷大）先猜后证；涉及对称性或中点弦时.，优先

考虑点差法，设而不求，简化运算。

2.常用的二级结论：

22

（1）己知点。（小，九）是椭圆上一个定点，椭圆。:三+5=1（。＞〃＞0）上有两动点A、B

若直线k,,A+%=2（/1h0）,则直线AI3过定点（x0-生，一儿一生。）

若直线怎A+浮8=0,则直线A3斜率为定值竺

若直线％33多，则直线加过定点（然…未白。）

若直线3A则直线At?斜率为定值-比；

T%

当直线AB过定点为原点时，则有即八（8=-：（第三定义）；

a~

⑵过双曲线歹步1上任一点—。）‘人"为双曲线上两动点

若kPA+.8==0），则直线A8恒过定点（/%一等也，一/%+=%）.

4A

若直线&乂+&，8=0,则直线斜率为定值-生

yq

若怎a•须8=〃2/一4），则直线.恒过定点（黑名为，一竺名％）.

aAcT+b~Aa+b

若直线攵%•即8=-4，则直线A£?斜率为定值比；

a'%

当直线44过定点为原点时，则有即八•即8='（第三定义）；

（3）过抛物线y2=2px上任一点夕（.%,），0）引两条弦PA、PB，

若kPA,kpB=4（2H0），则直线AB恒过定点（不一年，一九）,（2018全国一卷文科）

若女小+勺，8=42/0），则直线A5恒过定点（与一如，—~y0）'

AA

若直线k,.A+k,,H=（），则直线AB斜率为定值则-2.

【变式3-1】已知椭圆C《+&gb＞。）的离心率妈，左、右顶点分别为4B,左、右焦点分别

为耳、人.过右焦点尸2的直线/交椭圆于点M、M且的周长为16.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵记直线八M、8/V的斜率分别为匕、k2,证明：g为定值.

【详解】（1）由的周长为16,及椭圆的定义，可知：4。=16,即〃=4,

又离心率为c=所以c=2',-^^=16-4=12.

所以椭圆C的方程为:

（2）依题意，直线/与x轴不重合,

—厂+—y=1

设i的方程为：x=my+2.联立1612得:（3m2+4）/+12/wy-36=0,

r=my+2

因为外在椭圆内，所以A>0,即（12〃?）2+4（3〃/+4）X36>0,易知该不等式恒成立,

-12m-36

设（）（，），由韦达定理得y

M%,y,Nw%y+23,〃2+4'y）'2-3/+4•

又AI0）,8（4,。），则Q『二平二晔也二小也&二卢

&%%（%+4）为（〃5+6）

4

y.+y,-12//Zm/、

注意到不：=W=5,即："犷为=3（）1+%）

4=加）1月23:=3（y+%）-2y=y+3y2=J_

k?〃明必+6片3（凹+%）+6%3凹+9月3,

【变式3・2】已知抛物线C:y2=2/M〃>0）的准线为/，过抛物线上一点。向x轴作垂线，垂足恰好为抛物

线C的焦点尸，且忸耳=4.

（I）求抛物线C的方程；

（II）设/与工轴的交点为4,过x轴上的一个定点（1,0）的直线〃，与抛物线。交于RE两点.记直线

4D4E的斜率分别为尤,%，若｛+&=；，求直线，〃的方程.

【详解】（I）由题意《多4）,代入尸=2内，得"=16,P=4,.•.抛物线。的方程为），2=8X.

（II）当直线，〃的斜率不存在时<勺+&2=。与题意不符，所以直线的斜率一定存在,

设直线旭的方程为>=%（*—1）代入至Uy2=gx中得炉f一（2S+8）x+d=（）,

2k2+8

X>+X2=­p—

设D(XQ，J,〃%,%)•则k?'

=F=1

k+匕='+*_"(内―1+k&-])_k[2中2+(，I+“2)-4]_8、=1._4

2

'%+2X2+2Xi+2X2+2~(X,+2)(X2+2)―9/+16-3'"-3

所以直线〃？的方程为4x-3y-4=0.

【变式3・3】已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的右焦点为“(1,0),右顶点为A,直线/：%=2与x轴交于点

M,且|刎“网.

⑴求椭圆。的方程.

⑵设点8为直线/:x=2上的动点，过3作C的两条切线，分别交》轴于点忆。.证明：直线的

斜率成等差数列.

【详解】⑴由右焦点尸。,0)知c=l,|，|=。|4尸|,所以|2-4=a(a—1),若〃之2,则〃-2=/_入

即/-2〃+2=0,方程无解；若”2,则2-〃=/-〃，所以d=2,椭圆C的方程为三十丁=1・

(2)设B(2/)，易知过/?且与C用切的直线斜率存在，方程设为y-=A(x-2),

x2-1

联立方程《耳+)'=,消>得(2^+1卜2+软(/_2幻X+2Q—2幻2-2=0,

y-t=k(x-2)

A=8(23+r-W-l)=0,即2炉一4衣+〃一1=0,

设直线BP,BQ,BF的斜率分别为加的出，

—4-/”—[1—()

所以4+右=---=2/,kk=----,k.=---=/,则仁+&=2%,

2x22y2—1

即直线BP,BF,BQ的斜率成等差数列.

题型04圆锥曲线中的过定点问题

典例剖析

【例4・1】已知抛物线C：)'=2px(〃>0)的焦点尸是椭圆］+弓=1的一个焦点.

(1)求抛物线。的方程；

(2)设尸，M,N为抛物线C上的不同三点，点P(l,2),且加，PM求证：直线MV过定点.

【详解】⑴因为椭圆总+[=1的焦点为(±1,。)，

依题意，g=\,P=2,所以C：y2=4.r

(2)设直线MN的方程为“=乃，+〃，与抛物线联立得)，2-4〃少-4〃=0,

设N(再,%)，则)'|+丫2=46，y,^=-4/i,

由PMJ.PN,则丽■.丽二0，即(石一宁一2)・(七一1,)，2-2)=0,

所以(％-l)(WT)+(y-2)(必-2)=0

即(利+〃-1)G佻+〃-1)+(y-2)()，2-2)=(),

整理得到(〃「+l)y)，2+(〃?〃一〃?一2)(.耳+%)+(〃-if+4=。，

所以+1)+4/"("7〃-〃?-2)+(〃-1)~+4=0,

化简得ri2-6n-4m2-Sm+5=0即(〃-3『=4(〃?-1『，解得〃=2〃?+5或〃=-2m+1.

当〃=2〃z+5时，直线MN的方程为工=，叫+2，〃+5,即为1-5=〃?()，+2),即直线过定点(5,-2)；

当〃=一2〃?+1时，直线MN的方程为2〃?+1,即为x-l=〃?(y-2),即直线过定点(1,2),

此时与点P重合，故应舍去，所以直线MN过定点(5,-2).

【例4・2】已知椭圆C：3<+4/=12.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设A3分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP,8P分别与直线x=4相交于点当点P运

动时，以M,N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论.

【详解】⑴由3f+4y2=12得上+二=1,

43

那么/=4,b?=3,所以°2=/一/=1

C1

解得4=2,C=1所以离心率。=一=7，

a2

(2)由题可知A(-2,0),8(2,0),设P(』,)b),则。:3%+4寸=12①

直线4。的方程：)，=3^*+2)

令x=4,得坊=煞，从而M点坐标为f4,

天+2IA-O+2J

直线82的方程：y=^-(x-2)

%-2

令x=4,得”碧，从而N点坐标为(4,且\

X。-2{-V,,-2

设以MN为直径的圆经过x轴上的定点e(x„O),则MQ±NQ

山苑苑=。得-4)%+累一2广。②

由①式得12)，；=36-9石=9(4—£),代入②得(3一4『=9,解得N=1或％=7

所以MN为直径的圆经过x轴上体定点(1,0)和(7,0).

方法提嫌

圆锥曲线中的定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关

系，找到定点.

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

、变式训练

【变式4・1］已知P(l,2)在抛物线C：必=2px上.

⑴求抛物线C的方程；

(2)48是抛物线C上两个动点，如果直线外的斜率与直线P8的斜率之和为2,证明：直线A8过定点.

【详解】(1)尸点坐标代入抛物线方程得4=2夕，・••夕=2,・••抛物线方程为/=4x.

(2)证明：设48：x=mWl,将力〃的方程与/=4才联立得/-4勿y-4E=0,

设，4(x”y),BN,力，则匕+%=4m,力力=・4£,

k二y-2二x-2二4

所以△>°nl6/'+16E>0=//+，>U,从父y+2,同理：%,产

-----1

4

44

由题意：——7+—=，4（力+川4）=2（加射2匕+2.彩+4）,

.•・力％=4,-4t=4,E=・1,故直线恒过定点（-1,0）.

【变式4-2】已知焦点在x轴上的椭圆C：=1(〃>〃>()),短轴长为2右，椭圆左顶点到左焦点的

距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

2

(2)如图，已知点?(§,0),点/1是椭圆的右顶点，直线/与椭圆。交于不同的两点E、F,E,尸两点都在

人.轴上方，J1ZAPE=ZOPF.证明直线/过定点，并求出该定点坐标.

2b=26b=yf3,、

【详解】(1)由a-c=\得，4=2,所以椭圆C的标准方程为:+上=1.

a2-c2=b2c=\

(2)当直线/斜率不存在时.，直线/与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意.

所以直线/斜率存在，设直线/的方程为)，="+，〃.

二£=[

设E（x“1）、"（乙,y2），由,43得（3+4攵2）/+8如a+452-12=0,

[y=依+/〃

-SkmW-12

所以％+七=

3+4?3+4公

X।2二。

因为44依=/。夕产，所以即F+MF=0,即22~,

整理得2"丙+。〃一g外(玉+8)一与=°，化简得〃?=Wk,

所以直线/的方程为产心-6攵人(x-6),所以直线/过定点(6,0).

【变式4・3】在平面直角坐标系M"中，M为直线y=x-2上一动点，过点就作抛物线GY=y的两条切

线如，MB,切点分别为48,川为/历的中点.

(1)证明：轴.

(2)直线力4是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

【详解】(1)设1(%,犬),5(和用2),由y=V?y2x

2

所以切线物的斜率为23，因此切线MA的方程为：y-A,=2xl(x-x1),

"为宜.线y=x—2上一动点，设M(fj-2),

因此彳jZ—2—X]~=2X](/—3)xj—+/—2=0,

同理可得：x^-2x2t+t-2=0,

因此用,占是方程V一2.-2=0的两个根,

所以％+9=21,%与=/一2

因为"为团的中点，所以M-七上一，因此劭vj_/轴；

(2)因为N,二二一七一二(内+&)一—2M&-2产-/+2,所以阳=强二三=毛+X=2],

22石一再

所以直线力〃：y—(2r—?+2)=2t{x—t),即y—2=2£*-g),

所以百线初过定点(g.2).

题型05圆锥曲线中的求定值问题

典例剖析

【例5・1】已知椭圆C:/+，=l（a>〃>0）的离心率为3，C上的点到其一个焦点的距离的最大值为3.

⑴求C的标准方程；

⑵设A,B为C的左、右顶点，P（异于左、右顶点）为C上一动点，直线Q4,总的斜率分别为勺，

%求证：,•白为定值.

c1

厂5'=2,,

【详解】（1）根据题意得a+c=3，解得〃=右，二。的标准方程为匕+二=1；

。，，，，43

(2)证明:由⑴得人(-2,0),3(2,0),

丫22ak_%一°_外院_)'。一°_>

设点P（玉,No），贝+/=X；=3-了年,2

,%-2)与+2'x0-2x0-2

【例5・2】已知抛物线C：V=2x,过M（l,0）的直线/与抛物线C相交于AK两点.

（1）若|"1+|所|=5,求直线/的方程;

（2）求证：丽^+|^不为定值，并求出该定值.

【详解】⑴设过"（L0）的直线为1=@+1,4（芭,）1）,5（七』），

联立['；2：得,,2一2@一2=0,）1+%=2火,»2=-2,得+%）+2=2K+2,

[x=b，+l

因为呜，。）为抛物线V=2x的焦点，所以，|AF|+|昨芭+2+1=5,

即西十七=2尸十2=4,所以《=L,

因此，直线/的方程为：y=x-1或丁=—+1；

法二：当过点M的直线与X轴垂直时，与抛物线的交点坐标分别为（1，及），（1，-夜），

又|M日=g,所以4/+8/=2，pi=3,不合题意舍去：

当过点M的直线/斜率存在时，可设/：y=〃（x-l）,联立得〃2/-（2〃2+2）X+〃2=0,

所以％+百富=2+a4,得〃小，

因此，直线/的方程为：y=x-l^y=-x+\.

111111

2

|二|2忸叫2(3_］『+犬(x2-l)+y；(公+1)样心2+］祝

y；+£二（）；+%）2-2），02二4r+4

所以定值为1.

k"）y汶仁+力汶（公+1卜4

方法提嫌

圆锥曲线中的定值问题主要分两类

1.圆锥曲线中的定线段的长的问题：探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用

弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件（如直线与曲线相切等）得到弦长表达式中的相关

量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.

2.圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题：探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解

法，即可先利用三角形面积公式（如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解）把要探求的几何

图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个

关系式代入几何图形的面枳表达式中，化简即可.

【变式5・1】己知点尸（1,0）,直线/：x=—2,P为y轴右侧或y轴上动点,且点尸到/的距离比线段尸产的长

度大1,记点尸的轨迹为E.

（1）求曲线E的方程；

（2）己知直线4：x=l交曲线E于A,8两点（点4在点8的上方），C,。为曲线E上两个动点，且

ZCAB=ZDAB,求证：直线CO的斜率为定值.

【详解】（1）依题意，线段尸尸的长度等于〃到/。：工=-1的距离，

由抛物线定义知，点〃的轨迹是以尸（1，。）为焦点，％：x=T为准线的抛物线,

所以E的方程为V=4x；

⑵将J=1代入丁=4%得尸±2,则41,2),B(1-2),如图:

22

设抛物线E上动点C（3v,y）,。（今v乃），显然直线八C,4?斜率存在,

4

k=『=—4

ACy+2,同理3o二—7*因为NC48=NZM8,则旗c+4s=0.

4

L4

+=0=y+2+%+2=0=另+%=,

y1^2y2+2

T,即直线C。的斜率为定值-L

直线C。的斜率

44

【变式5・2】已知椭圆C：二+与=］（。>0,b>0）,离心率为且，且点

在椭圆C上.

a~lr2\JJ

（1）求椭圆。的方程;

（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点与，层的连线分别与戈轴交于巴

Q两点，求证|。外|。0|为定值.

31.

—+--=i

a24b2

a2=4V2

【详解】（1）由题设，-=—，可得，故椭圆方程为

a2

a2+b2=c2

（2）由题意，若々（0,1）,男（0,7）,设椭圆上任意一点M5,为），（为工±1）

・•・直线RW的方程为）=上x+1；直线与M的方程为丁=叁％-1,

飞与

令y=o,得以=二\

0~~.

）’0一1%+1

闻_4|"

・•・|。尸|・|。。|MT"=4为定值，得证.

【变式5・3】已知椭圆工+£=1（a>b>0）的左、右顶点分别为48,且|AB|=2夜，e是椭圆的离心

b2

率’点1与）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程;

（2）若P是椭圆上的动点，且P与48不重合，直线/垂直于X轴，/与直线4P,8P分别交于M,N两

点，设直线AN,的斜率分别为的，灯，证明：灯灯为定值.

2a=2拉

c23a=>/2

【详解】（1）由题意易知：7+疗=L解得：-