湘教版（新课标）必修第一册第三章

湘教版(新课标)必修第一册第三章

一、单选题

1.下列各组函数表示同一函数的是()

A.7'(%)=«,g(x)=(G)2B./(x)=1,g(x)=x°

C.7(x)=g(%)=(收>D./(x)=x+1,g(%)=9^

2.若函数y=f(x)的定义域M={x|-2<x<2},值域N={y|0<y<2},则函数y=f(x)的图象可能是

3.已知偶函数/(%)的定义域为R,当文€［0,+8)时,/⑵=3是减函数，则八一2),/(兀)，/(-3)的大小关

系是()

A.r(7T)>/(-2)>/(-3)B./(7T)>/(-3)>/(-2)

C.f⑺VC-2)<C-3)D.f⑺</(-3)<D-2)

4.已知函数/(%)=会|,则下列结论正确的是()

A./Q)单调递增且是偶函数B./Q)单调递增且是奇函数

C.f(x)单调递减且是偶函数DJ(x)单调递减且是奇函数

5.已知函数/(约的定义域为［-5,5］,图象关于原点对称，部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.f(-l)</(I)B.f(x)的最小值为0

C1(x)的单调递增区间为［-5,3］D./(-1)=/(1)

6.如果奇函数y=/(%)在［一7,-1］上是减函数，且最大值是5,那么，/(%)在口,7］上是()

A.漕函数，最大值为一5B.减函数，最大值为一5

C.减函数，最小值为一5D.增函数，最小值为一5

7.已知奇函数f(x)在区间［1,6］上是增函数，且最大值为10,最小直为4,则在区间上/(/)的最大值、

最小值分别是()

A.-4,-10B.4,-10C.10,4D.不确定

8.已知力={无|0W无42},F={y|l<y<2},下列图象能表示以4为定义域,8为值域的函数的是().

9.设/(%)是定义在［一2,2］上的奇函数，且在［-2,2］上单调递减，若不等式/(2x-i)+/(I-x)>0的解集为

A,则g(x)=在4上的最小值为()

A8a55厂55207

MBTC.五nD.—

二、多选题

10.下面四组函数中，f(x)与g(x)表示的不是同一个函数的是()

A.f(x)=|讣g(x)=(4)2B./(x)=2x,g(x)=与

C./(x)=x,g(x)=D./(x)=x,g(x)=-7=

11.已知定义在/?上的奇函数/(乃满足/(汇+2)=/(2-无)，且在［0,2］上是增函数，则下列判断正确的是()

A.f(x)的周期是4B./(2)是函数的最大值

C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D.f(x)在［2,6］上是减函数

12.已知定义在R上的奇函数/"(%)满足/'(%+1)为偶函数，且在区间［2,3］上单调递增，则()

A.f(x)的周期为2

B./(一1)是函数/(x)的最小值

C.函数/(幻的图象的一个对称中心为(4,0)

D.f(x+16)=f(x-12)

13.已知定义在区间［-7,7］上的一个偶函数，它在［0,7］上的图象如图，则下列说法正确的有()

A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7

14.已知定义在R上的奇函数/(幻满足/'(x+2)=/(2-%),且在［0,2］上是增函数，则下列判断正确的是()

A.f(%)的周期是4B.f(2)是函数的最大值

C.1(%)的图象关于点(一2,0)对称D.f(%)在［2,6］上是减函数

15.己知定义在R上函数/(外的图象是连续不断的，且满足以下条件：®VxGR,/(一无)=/Q)；②V》i，

到c(0,Ioo),当与丰孙时，都有""2)一"勺)>0；③〃I)=0,则下列选项成立的是()

x2-xl

A./⑶V/(-4)

B.若/(m-1)V/(2),则mW(-8,3)

C.若竽>0,则x€(—l,0)U(l,+8)

D.VxWR,3MGR,使得/(无)ZM

16.给出以下四个判断，其中正确的是()

A.f(x)=q的定义域为［-1,2)U(2,+8)

X-乙

B.函数y=x与y=不是同一函数

C.若/⑺的定义域为［-2,2］,则/(2%-的的定义域为［-L

D.若函数/■(：)=5+2,则f(x)=/+2,xG(-oo,0)U(0,+oo)

三、填空题

17.已知函数/Xx)满足/•(x)=1/Q+l),当％W［0,l)J(x)=%+1,则/'(-2)=.

18.已知函数f(2%-1)=4x+5,若/(a)=13,则。=.

19.已知函数f(%)=品,财⑥+/(1)+/(i)+6)+f⑴+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.

20.已知/(G+1)=2/1+5,则/'(2)=________.

21.已知函数y=f(x)的对应关系如表，函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线4BC,其中4(1,3),

6(3,2),则g［/(3)］的值为.

Xi23

y=fM232

22.

已知函数f(x)=x+，且f(1)=2.

(1)判断并证明函数/'(%)在其定义域上的奇偶性.

(2)证明函数/(x)在(1,+8)上是增函数.

(3)求函数f(x)在区间［2,5］上的最大值和最小值.

23.

已知函数/'(X)=1+竽(-2<A<2).

(1)求/(一3与/(I)；

(2)用分段函数的形式表示函数/(上)；

(3)画出函数/(幻的图象，并写出函数/(无)的值域.

24.

已知函数/(%)满足f(x)+3/(-x)=2x-1.

(1)求/(%)的解析式;

(2)求函数g(%)=-%/(%)在［2,4］上的值域.

25.

已知函数/(¥)=QX+&的图象经过点4(1,0)，

X/

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)判断函数/(x)在(0,+8)上的单调性并用定义证明；

(3)求/(%)在区间内1］上的最值.

26.

已知函数/'(%)对于任意％,y£R,总有/'(%)+f(y)=f(x+y),且x>。时，f(x)<0.

(1)求证：/(x)在R上是奇函数；

(2)求证:((%)在R上是减函数;

(3)若/⑴=求/'(%)在区间［-3,3］上的最大值和最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

对于力，f(x)=，淳=|x|,g(x)=(-/x)2=x(x>0),定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；

对于8,/(x)=1(%eR),g(x)=x°=1(%手0),定义域不同)，故不为同一函数；

对干C,/(x)=x,g(x)=V^=%,定义域和对应法则均相同，故为同一函数；

对于。，/(x)=x+1,(xe/?),gQ)==%+1(%工1),定义域不同，故不为同一函数.

故选C

2.【答案】B

【解析】

选项A,定义域为［一2,0］,与条件不符，故4错误；

选项&定义域、值域均与条件相符，故8正确；

选项C,不符合函数的定义，在［-2,2］内的任一%的值，在［0,2］内并非只有唯一的y值与之对应，故。错误;

选项。，值域与条件不符，故。错误.

综上所述，正确选项为B.

故选:B.

3.【答案】D

【解析】因为偶函数/(%)的定义域为R,

当xw［o,+8)时,/■(工)是减函数,

所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),

而2V3V7T,所以/'(2)>f(3)>f(7T),

即/(一2)>/(—3)>/(TT).

故选D.

4.【答案】B

【解析】因为/(%)=品，其定义域为R,关于原点对称，

g“乙、2-x-l表T1-2X2X-10、

所以/(一%)=办=耳=用7=-两=-fM，

2X

所以/(%)是令函数.

,、2x+l-212

乂/0z0=亍丁=1一行，

因为指数函数y=2'在R上单调递增，且2、>0,那么2、+1在R上单调递增，且2、+l>l,

所以y=Ai在R上单调递减，则丫=一岛在R上单调递增，

那么/(%)=l-/在R上单调递增.

故/(外单调递增且是奇函数.

故选:B.

5.【答案】A

【解析】

对于4,由函数f(x)为奇函数，且在［-3,3］上单调递增,故有/*(-1)V/(l),则A正确;

对于8,由函数/(%)为奇函数以及图象得了(-3)=-3为最小值，则4错误；

对干C,由函数f(x)为奇函数以及函数图象得其［-3,3］上单调涕增，则。错误：

对于D,由函数/(%)为奇函数则f(-1)=一/(1),则十错误.

故选A.

6.【答案】C

【解析】

•・•奇函数/(%)的图象关于原点对称，

故奇函数〃%)在对称区间上单调性相同，

若函数f(x)在上是减函数且最大值是5,

则/(外在口，7］上是减函数且最小值是-5,

故选C

7.【答案】A

【解析】

•・•奇函数/"(%)在区间［1,6］是增函数，且最大值为10,最小值为4,

根据奇函数图象关于原点对称，

•••/•(均在［-6,-1］也为增函数，

.•./(均在［-6,-1］上的最大值、最小值分别是一4,-10,

故选A.

8.【答案】B

【解析】

4是函数图象，其值域为［0,2］,故不符合题意；

8是函数的图象，定义域为［0,2］,值域为［1,2］,故符合题意；

C是函数图象，值域为{1,2},故不符合题意；

。是函数图象，值域为{1,2},故不符合题意.

故选艮

9.【答案】D

【解析】

•••星数/(外为奇函数，故/'(2%-；)+/(I-幻》0=f(2xf［x-1),

又••函数定义在［-2,2］上，且在［-2,2］上单调递减，

f-2<2x-i<2

故卜241一工&2

［2x-i<x-l

•.・函数g(%)=%-扶昌,一引上单调递增，故9(x)min=9(-3二要,

故选D.

10.【答案】ABD

【解析】

4函数/(%)=|无|的定义域为R,g(x)=(O的定义域为［0,+8),定义域不同，不是同一函数；

8:函数/(%)=2%的定义域为R,g(x)=与的定义域为{X氏看0},定义域不同，不是同一函数；

C:/(x)=x,g{x)=V^=x,定义域均为R,对应法则也相同，两函数为同一函数；

D:f(x)=x的定义域为R,g(x)=用的定义域为{”|“工0},定义域不同，对应法则不同，不是同一函数.

故选ABD.

11.【答案】BD

【解析】

对于4,vf(x+2)=f(2—x),f(x)=f(4—x),

又♦."(%)为奇函数，/(幻=-f(-x),

则/(一幻=/(4+x),即f(%)=-f(4+x),

f(x4-4)=-f(x+8),

•••/(%)=/。+8),即/(%)的周期是8,故A错误;

对于B,因为f(x)是R上的奇函数，且/'(X)在［0,2］上是增函数，

所以/•(%)在［一2,2］上是增函数；

又由f(x+2)=f(2-x),可得/(%)关于直线％=2对称，

所以f(%)在［2,6］上是减函数,

所以当％E［-2,6］时，/(2)是函数在［-2,6］上的最大值，

又因为外幻的周期是8,所以/(2)是函数在R上的最大值，故B正确；

对于C,因为/(幻是R上的奇函数，所以八幻关于原点对称，

又因为汽幻关于直线x=2对称，所以/(公关于直线工=一2对称，故C错误;

对于。，由选项8可得，/Xx)在［2,6］上是减函数，故。正确.

故选：BD.

12.【答案】CD

【解析】

因为定义在R上的奇函数f(x)满足+1)为偶函数，

所以f(一幻=-fW，/(-X+1)=f(x+1).

进一步有f(x+2)=f［(x+1)+1］=f［-(x+1)+1］=f(r)=-/'(%),

所以函数f(x)的周期不是2,故A错误；

再进一步有/(%+4)=-/(x+2)=/(%),所以4是/(%)的周期,

又/(均在区间［2,3］上单调递增，

所以/⑺在区间［-2,-1］上也单调递增，

所以/•(-1)不是函数/(%)的最小俏，故8错误；

因为/(均是奇函数，图象关于原点对称，并且周期4,

所以它的图象也关于点(4,0)对称，

即函数f(x)的图象的一个对称中心为(4,0),故C正确；

因为/'CO的周期为4,

所以/(%+16)=/［(3-12)+7X4］=/(%-12),故以正确.

故选CD.

13.【答案】BC

【解析】

根据偶函数的对称性画出函数的完整图象:

由图象可知，这个函数有三个单调增区间，三个单调减区间，

这个函数在其定义域内有最大值7,最小值不是-7：

故选BC.

14.【答案】BD

【解析】

对于4,v/(x+2)=/(2-x),/.fW=/(4-x),

又•；/lx)为奇函数，•••f(x)=一/'(一%)，

则/(t)=-/(4-%),即/'(X)=-f(4+x),

/(x4-4)=-f(x+8),

.*./(%)=/(%+8),即/(%)的周期是8,故4错误;

对于氏因为/'(%)是R上的奇函数，且/(功在［0,2］上是增函数，

所以/(均在［-2,2］上是增函数；

又由f(X+2)=/(2-%),可得/■(幻关于直线无=2对称，

所以/'(外在［2,6］上是减函数，

所以当［-2,6］时，/'(2)是函数在［-2,6］上的最大值，

又因为f(%)的周期是8,所以/1(2)是函数在R上的最大值，故B正确：

对于C,因为/(%)是R上的奇函数，所以/(%)关于原点对称，

又因为f(x)关于直线x=2对称，所以f(x)关于直线％=-2对称，故C错误;

对于0,由选项B可得，f(x)在［2,6］上是减函数，故。正确.

故选：BD.

15.【答案】ACD

【解析】

由条件①得/(%)是偶函数，条件②得/(乃在(0,+8)上单调递增，

所以/■⑶Vf(4)=7•(-4),故A对,

若/(m—l)<f(2),贝-得一1VmV3,故B错,

若呼>。，则脍)°>o或忧)°<o,因为f(-D=f⑴=。，

所以x>1或一1<x<0,故C正确，

因为定义在R上函数/(%)的图象是连续不断的，且在(0,+8)上单调递增，

所以f(x)min=/(0)，所以对VXWR，只需MWf(O)即可，故。正确，

故选：ACD.

16.【答案】ABD

【解析】对于4,由得xN—l且XH2,

所以函数/(%)的定义域为[一1,2)U(2,+8),故A正确；

对于B,y=x的定义域为R,y==的定义域为"|义工0},两函数定义域不同，不是同一函数，故B正确;

对于C,由于f(x)的定义域为[-2,2],

所以/(2%—1)中：—2<2x—1<2,解得—"<x<!

»所以/'(2%—1)的定义域为故C错误；

对于。，令：=3(t#=0),则X=；,所以/'(t)=t2+2,故/(3)=/+2,(x=#0),故。正确.

故选ABD

17.【答案】1

4

【解析】

因为/(%)=[/■(%+1)，且/'(0)=1,

所以f(-2)="(-1)=抓0)=；.

故答案为

18.【答案】3

令t=2x-l,得工=半，

则/⑷=4x岑+5=2t+7.

因为/(a)=13,所以2a+7=13,

解得Q=3.

19.【答案】£

【解析】/(X)+/&)

11

1X2

因此/G)+/⑸+/G)+/(旬+/Q)+/G)+/6)+〃2)+AD

=1+1+1+i+/(i)

故答案为去

20.【答案】7

【解析】令+1=2=%=1,

则/(，！+1)=271+5nf(2)=7.

故答案为7.

21.【答案】1

【解析】由/(%)的表格知,“3)=2,

由函数g(x)的图像可知,g(2)=1,

，g[/(3)]=9(2)=1，

故答案为1.

22.【解析】(1)/(%)在其定义域上为奇函数，

•.•/(%)=%+p定义域为{加又*D}»/(I)=1+a=2,

...Q=1,.../(%)=无+5/(-X)=-X-^=-/(X),

在定义域上为奇函数.

(2)任取％i，x26(1,4-co),且Xi<x2,

fg-fg=(%2+3―(%1+2)=(X2-Xl)•(l-金)，

x—Xj>0,XjX>1»<1,1---->0.

22xlx2xlx2

•••f(x2)-0,/(x2)>/(Xi),

••./(X)在(L+8)上为增函数.

⑶•••f(%)在(1,+8)上单调递增，

・••fa)在［2,5］上的最小值和最大值为/COmin=/(2)=2+|=|,/(x)max=/(5)=5+|=y.

23.【答案】f=1；

〃、_［1,0<x<2

X；

H)-(1_X/-2<X<0

函数的大致图象如图详见解答过程：函数的值域为［1,3)

【解析】(1)因为/(x)=l+竽(-2VXW2),

所以/(一3=1+学=}/(1)=1+0=1；

⑵蛆)=1+牛={:纥与々<。；

(3)函数的大致图象如图所示：

结合函数图象可知，函数的值域为［1,3).

24.【解析】(1)由/(x)+3/(-％)=2%-1可得

f(-x)+3/(x)——2x—1,

通过消元可得/■(%)=-%-/

(2)由题意可得g(x)=-xf(x)=M=(x+g)-2,

因为g(x)的图象的对称轴为x=

又因为xe［2,4］,函数为吗在［2,4］上单调递增,

所以g(x)min=g(2)=22+2xi