五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(贵州专用)13：综合与实践（几何压轴题综合35题）（学生版）

专题13综合与实践（几何压轴题综合，35题）1．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点【问题解决】（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是【问题探究】（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC=60°，探究线段【拓展延伸】（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,2．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA(1)【操作判断】如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC(2)【问题探究】如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：(3)【拓展延伸】点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON=33．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB

(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,4．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将(1)问题解决：如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则(2)问题探究：如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM(3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD5．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：S（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=26．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则∠AEC+∠∵∠B=∠∴∠∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2∴点A，B，C，E四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB=22，7．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+8．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为23的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=∴（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是．（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．9．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，过点D作DF⊥AE于点G，交AB于点F，求【灵活运用】（2）如图2，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点G，交BC于点F，若AB=6,【知识迁移】（3）如图3，在RtΔABC中，∠BAC=90°，点D是边AC的中点，连接BD，过点A作AF⊥BD于点E，交BC于点10．（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究：问题情境：如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°，连接BE，(1)【问题发现】如图1，当点E在边AC上时，连接DF，AD，则∠AFD=___________°(2)【进阶探究】如图2，当点E在边BC上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，将图1中△EDC绕点C逆时针旋转α度（0°<α<360°），若AB=4，11．（2025·贵州黔东南·二模）【实践操作】（1）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题：将一张矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，如图①，在同一平面内得到△AEC，CE交AD于点F，通过测量得到EF=1，BC=3【理解运用】（2）小明在老师给予的题目启发下，进行了如下操作：如图②，在矩形ABCD的AD边上取一点M，使AM=2DM，在BC边上取一点N，将四边形ABNM沿MN翻折，在同一平面内得到四边形GHNM．测量得到AB=5，BC=2AB，请你帮他解决问题：当点G【拓展迁移】（3）小红将图①中的矩形变为∠B=30°，AB=2的平行四边形AB≠BC，然后沿对角线AC翻折，如图③，在同一平面内得到△APC，CP交AD于点12．（2025·贵州黔东南·二模）【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC【操作判断】（1）如图2，将△BCD沿CD方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点D'，B'，连接AD'，BD'【深入思考】将△DD'B'绕点D顺时针旋转得到△DNM，D'（2）如图3，当BD⊥MN时，垂足为Q，MN与CB交于点P，DM与CB交于点E，求线段（3）在旋转的过程中，线段DM与CB交于点E，当点B在线段MN上时，试求线段BE的长．13．（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点M、N分别为AB、AC上的动点（不含端点），且AM【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小李发现：将NA绕点N顺时针旋转120°得到ND，连接CD，则MN【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AF⊥MN于点E，交BC于点F，将NA绕点N顺时针旋转90°【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，连接14．（2025·贵州贵阳·三模）小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究．(1)【提出问题】已知，如图①，在△ABC中，AB=BC=CA=2，点D是边BC的中点，连接AD，将AD绕点D顺时针方向旋转60°，点A的对应点是点E，连接(2)【类比探究】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，点D是边BC的中点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°，点A的对应的是点E(3)【变式延伸】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点D是BC边上任意一点，连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作Rt△ADE，使得∠15．（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知AB=3，BC=4，将△ABC绕点A【探究发现】(1)如图①，当点E落在AC上，连接CF，则CF=___________【深入探究】(2)如图，旋转到如图②的位置，连接CE与AF相交于点H，若∠FEH=∠FHE【拓展应用】(3)如图③，在旋转过程中，当点M，N分别为CF，BC中点时，连接MN，当△CMN以MN为直角边的直角三角形时，直接写出MN16．（2025·贵州贵阳·一模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，得到△FDE，点C关于DE的对称点F恰好落在AD边上，P是AD边上一动点(点P不与点D重合)，连接EP，作EC关于EP的对称线段EC'，射线(1)问题解决：如图①，当点C'落在AB边上时，∠EGC(2)问题探究：如图②，当点C'不在AB边上时，求C(3)拓展延伸：当∠FDG=15°时，请求出17．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在正方形ABCD中，P为射线DB上一动点，E为射线DC上一动点，连接PE，过点P作PF⊥PE交直线DA于点(1)【操作判断】如图①，连接AC交BD于点O，当点P与点O重合，点E在线段DC上时，根据题意在图①中画出PF，并探究DE，FD，DB三条线段之间的数量关系；(2)【问题探究】如图②，当点P在DB的延长线上，且PBBD=13，点E，F分别在DC的延长线和DA的延长线上，请写出DE，(3)【拓展延伸】当点P在线段BD上时，O为BD的中点，若正方形ABCD的边长为6，连接CP，CP=25，DF=2，BP18．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．(1)【操作判断】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，AF，∠EAF=45°，连接EF，探索线段DE，BF，小军的思路：过点A作AG⊥AE交CB的延长线于点G，易证△ABG≌△ADE，从而∠根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段DE，BF，EF之间的数量关系，并说明理由；(2)【问题探究】如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，连接AE，AF，∠EAF=45°，连接EF，探索线段DE，BF，(3)【拓展延伸】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点E，F分别在射线DC，CB上，连接AE，AF，已知∠EAF=45°，19．（2025·贵州黔南·二模）在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作DF⊥AE分别交直线AE，AB于点G，F，且备用图(1)【问题解决】如图①，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形；图①(2)【深入探究】在（1）的条件下，若FG=1，GD=4，求(3)【拓展迁移】过点A作AM∥FD交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，20．（2025·贵州·一模）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．(1)【操作发现】小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________；A．三角形的稳定性

B．等腰三角形是轴对称图形

C．三角形内角和等于180°(2)【思考操作】如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(3)【拓展延伸】如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据；如图④，小星最后拿到一块凸四边形ABCD铁皮．他能否在四边形内部取一点P，使切法满足PA=AB，PB=根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得△AED，△AFD，△BED则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；21．（2025·贵州六盘水·一模）【综合与实践】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在射线CB上运动，在AD左侧作∠ADP=∠C，过点A作线段AE，使AE(1)【操作发现】若∠C=45°，如图（1）所示，线段CD，BE的数量关系为______，直线(2)【类比探究】如图（2）所示，若∠C=α，则（1(3)【拓展延伸】如图（3），若∠C=30°，BC=6，当△ADC是以22．（2025·贵州安顺·一模）综合与探究如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，P是直线AC上的一动点，将线段BP绕点P【操作判断】（1）如图1，当点P与点C重合时，连接BD，根据题意，在图1中画出PD，BD，图中四边形ABDC的形状是【问题探究】（2）当点P与点A，C都不重合时，连接DC，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图【拓展延伸】（3）当点P与点A，C都不重合时，若AB=6，AP23．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．【问题初探】（1）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘，如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90∘到△CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM【类比分析】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘，∠EAF【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF24．（2025·贵州遵义·一模）【探索研究】在△ABC中，D为BC延长线上一点，DC=BC，P为AB上一点，连接DP交AC(1)如图1，若AC⊥CD,DP(2)如图2，若P为AB中点，△ABC为等边三角形，求AP与PD(3)如图3，连接BE，若BP=CE,∠BPD=∠25．（2025·贵州·模拟预测）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程：【问题解决】（1）如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，将DE绕点E顺时针旋转90°后得EF，若F恰好落在BC边上，求证：△ADE【问题探究】（2）如图②，在正方形ABCD中，E为AB的中点，将DE绕点E顺时针旋转90°后得EF，连接BF，DF．若AB=4，求点F到BC【拓展延伸】（3）如图③，在菱形ABCD中，E为对角线AC上任意一点，点F在边DC上，∠DEF=∠DAC，AC与BD交于点O．若AC=8，BD=626．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与探究小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，AB=AC，∠A=90°，点D是直线AC左侧的一动点．作点C关于直线AD的对称点为点E，连接BE，直线BE与直线AD交于点F，连接【动手操作】（1）当0°<∠CAD<45°时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若∠CAD=30°，BC【问题探究】（2）根据（1）所画图形，猜想∠CFB的大小以及EF，BF，AF【拓展延伸】（3）如图②，在等腰三角形中，AB=AC，∠A=120°，其余条件不变，当0°<∠CAD<60°时，若BF=10，AF=3327．（2025·贵州安顺·三模）综合与实践【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：如图1，在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折叠，折边AC落在AB上，点C落在AB上的点D处，折线交BC于点∵∠ADE>∠B∴∠C这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法．【类比探究】类似地，应用上述方法探究：（1）如图2，在△ABC中，∠C>∠B，判断：AB______AC（填【拓展运用】（2）如图3，在△ABC中，D为BC上的一点，且∠ADB=∠CAB>90°28．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究：【问题解决】（1）如图①，在矩形ABCD中，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为点F，当点F恰好落在边AB的垂直平分线MG上时，求∠【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕BE交MG于点N，延长BF交边CD于点H，若MN=1,BC=5【拓展延伸】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，点E是射线AD上一动点，连接BE，将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为点F，当点F恰好落在边29．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究

主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形ABCD中，AD足够长进行探究活动．【动手操作】操作一：在AD上有一点P，沿BP折叠，使点A落在A'操作二：射线PA'交BC于M，过M作MN⊥AD交【探究发现】（1）写出与∠APB相等的一个角为，PM与BM的数量有关系为【问题探究】（2）如图，若点A与M重合，判断四边形ABMN的形状，并说明理由；【拓展应用】（3）在折叠过程中若A'P=330．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与实践在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点Q在射线BC上，将△ABQ沿AQ(1)【初步探究】如图①，若点Q在线段BC上，点E恰好落在对角线AC上，则CE的长为______；(2)【深入思考】如图②，若点Q在射线BC上，点E在矩形ABCD外，且EA=ED，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕AQ（不写作法，保留痕迹），并求(3)【拓展提升】如图③，若点Q在线段BC上，点P是线段DC的三等分点，将△ADP沿AP翻折，点D对应点为点G，若A，E31．（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是射线CB（1）【操作判断】如图①，AE⊥BC，将射线AE绕点A逆时针旋转60°交CD于点F，根据题意在图①中画出射线AF，图中∠AFD（2）【问题探究】如图②，点E在线段BC上（不与点B，C重合