沪科版八年级数学下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）》同步练习题及答案

第页沪科版八年级数学下册《17.4一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）》同步练习题及答案知识点详解一、根与系数的关系（韦达定理）1.定理内容如果一元二次方程ax2·语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数。2.定理的推导从求根公式出发：x1·两根之和：x·两根之积：x3.特别地——二次项系数为1的情况当二次项系数a=1时，方程化为x2x其中p是一次项系数，q是常数项。二、应用前提条件使用韦达定理时，必须注意以下两个前提：1.方程必须是一元二次方程：即二次项系数a≠0。2.方程必须有实数根：即根的判别式Δ=在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。三、常见应用题型1.已知一根，求另一根及参数值这是最直接的应用。设已知一根为x1，另一根为x2.求与两根有关的代数式的值常见的对称式（即交换x1和x常见代数式用x1x(11xx(3.已知两根的关系，求参数的值给出两根之间的某种关系（如x14.构造新的一元二次方程已知两个数α、x如果二次项系数不为1，可乘以适当的常数。四、典型例题精析例1：已知一根求另一根及参数已知方程2x解：设另一个根为x22⋅2+所以另一个根为−3例2：求代数式的值设x1（1）1x1+1解：首先由韦达定理得x（1）1（2）x（3）(例3：已知两根关系求参数已知关于x的方程x2解：1.设两根为x1x2.由题意：x(代入得：(k+1k−−k3.解此方程：Δk4.检验原方程有实数根的条件：原方程判别式Δ需要Δ≥05.综上所述，不存在满足条件的k。例4：构造新方程求作一个一元二次方程，使它的两根分别是2+3解：设所求方程为x^2+px+q=0。xx所以所求方程为x^2-4x+1=0。五、易错点警示1.忽略使用前提：·忘记Δ≥0·忽略a≠0：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑a=0的情况。2.符号错误：·两根和公式x1·代入系数时，b、c的符号要带进计算。3.公式变形错误：·如x12·(x4.构造方程时符号混乱：·以α、β为根的方程为一、单选题1．设，是方程的两个实数根，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．2．设，是方程的两个实数根，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知m，n是方程的两个根，则的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20254．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（

）A． B． C． D．6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（

）A．2 B． C．8 D．7．若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（）A． B．C． D．8．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（）A．3 B． C． D．9．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（）A． B． C．1 D．2二、填空题10．若长方形的长和宽分别是方程的两根，则长方形的周长是______，面积是______．11．已知，，且，则______．12．设，是方程的两个实数根，则的值为________．13．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____．14．设，是方程的两个根，则________．三、解答题15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值．(2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值．17．设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)．(2)．18．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值．19．已知关于的一元二次方程．(1)若此方程的根为与，当时，求的值；(2)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；20．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数．求的值．21．已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若是原方程的两个根，且，求的值．参考答案知识点详解一、根与系数的关系（韦达定理）1.定理内容如果一元二次方程ax2·语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数。2.定理的推导从求根公式出发：x1·两根之和：x·两根之积：x3.特别地——二次项系数为1的情况当二次项系数a=1时，方程化为x2x其中p是一次项系数，q是常数项。二、应用前提条件使用韦达定理时，必须注意以下两个前提：1.方程必须是一元二次方程：即二次项系数a≠0。2.方程必须有实数根：即根的判别式Δ=在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。三、常见应用题型1.已知一根，求另一根及参数值这是最直接的应用。设已知一根为x1，另一根为x2.求与两根有关的代数式的值常见的对称式（即交换x1和x常见代数式用x1x(11xx(3.已知两根的关系，求参数的值给出两根之间的某种关系（如x14.构造新的一元二次方程已知两个数α、x如果二次项系数不为1，可乘以适当的常数。四、典型例题精析例1：已知一根求另一根及参数已知方程2x解：设另一个根为x22⋅2+所以另一个根为−3例2：求代数式的值设x1（1）1x1+1解：首先由韦达定理得x（1）1（2）x（3）(例3：已知两根关系求参数已知关于x的方程x2解：1.设两根为x1x2.由题意：x(代入得：(k+1k−−k3.解此方程：Δk4.检验原方程有实数根的条件：原方程判别式Δ需要Δ≥05.综上所述，不存在满足条件的k。例4：构造新方程求作一个一元二次方程，使它的两根分别是2+3解：设所求方程为x^2+px+q=0。xx所以所求方程为x^2-4x+1=0。五、易错点警示1.忽略使用前提：·忘记Δ≥0·忽略a≠0：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑a=0的情况。2.符号错误：·两根和公式x1·代入系数时，b、c的符号要带进计算。3.公式变形错误：·如x12·(x4.构造方程时符号混乱：·以α、β为根的方程为一、单选题1．设，是方程的两个实数根，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，最后代入求值即可．【详解】，是方程的两个实数根，，，．故选D．2．设，是方程的两个实数根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值．【详解】是方程的实数根，，即，又，是方程的两个实数根，由根与系数关系得：，，故选．3．已知m，n是方程的两个根，则的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，由m是方程的根，可得，代入原式化简为，再根据方程根与系数的关系，即可求值．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，即，∴又∵m，n是方程的两个根，∴，∴原式，故选C．4．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限．【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，，则，，，所以，，所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限，故选：D．5．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，，∴，∴，∴一元二次方程为，∴解得，．故选：D．6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】C【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，，故选：C．7．若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系判断即可．【详解】解：关于的一元二次方程的两个根为，则对于一元二次方程，，即，∴关于的一元二次方程为．故选：C．8．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解．【详解】解：∵当时方程的两根分别是和，∴，解得：，∴，，∴，∴．故选：B．9．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．【详解】解：设该方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得，解得．故选：．二、填空题10．若长方形的长和宽分别是方程的两根，则长方形的周长是______，面积是______．【答案】106【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和长方形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．设长方形的长和宽分别为方程的两根，根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可得到周长和面积．【详解】解：设长方形的长为p，宽为q，则p和q是方程的两个根．由根与系数的关系，得，．故周长为，面积为．故答案为：10，6．11．已知，，且，则______．【答案】【分析】本题考查根与系数的关系，由题意可知，m和n是方程的两个根，根据根与系数的关系求出和的值，再代入所求表达式计算即可．【详解】解：∵，，且，∴m和n是方程的两个根．∴，．∴．故答案为：．12．设，是方程的两个实数根，则的值为________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，掌握先对代数式因式分解，再利用韦达定理代入计算是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，∴．故答案为：．13．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值．根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴．故答案为：．14．设，是方程的两个根，则________．【答案】10【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算．【详解】解：∵是方程的根，∴，因此．同理，也是方程的根，∴．因此．于是，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算．三、解答题15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．【答案】(1)且(2)【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，．（1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题；（2）利用根与系数的关系即可解决问题．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．又∵，∴的取值范围是且．（2）解：∵该方程有两个实数根分别为、，∴，，又∵，∴，∴，解得：，经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去，∴．16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值．(2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值．【答案】(1)，(2)的值为【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式的应用，掌握韦达定理的内容，以及用判别式检验根的存在性是解题的关键．（1）利用韦达定理，由两根之和求另一根，再由两根之积求的值．（2）利用韦达定理表示两根和与积，代入的表达式，列方程求，再用判别式检验根的情况．【详解】（1）解：根据题意，得，，，．当时，，符合题意．（2）解：∵方程的两个不相等的实数根为和，，，，解得，．经检验，，都为原分式方程的根．当时，；当时，（不符合题意，舍去）．综上，的值为．17．设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．（1）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论；（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：由题意，得，．原式．（2）解：由题意，得，．原式．18．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及矩形的性质，熟练掌握判别式的计算和根与系数的关系是解题的关键．（1）先写出一元二次方程的系数，再计算判别式，判断其符号．（2）先利用根与系数的关系得到和，再结合矩形对角线与边长的勾股定理关系，建立关于的方程，最后求解并检验．【详解】（1）证明：∵方程为∴，，，∵，∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（