人教版数学八年级下册《23.3正方形》同步练习题（附答案解析）

第页人教版数学八年级下册《23.3正方形》同步练习题（附答案解析）【题组一正方形的判定】1．（重庆期末）下列命题中是真命题的是（）A．一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．四边相等且对角线相等的四边形是正方形2．如图，在▱ABCD中，AC⊥BD，垂足为O．添加下列哪个条件，不能使▱ABCD成为正方形的是（

）A．AC=BD B．∠ABC=90° C．AD=BD D．OA=OB【题组二正方形为背景的小几何】3．（江北期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE、CE，点F是边CD上一点，EF=EC，连接AF．若∠ECF=α，则∠DAF等于（

）A．90°−α B．α−45° C．135°−2α D．15°+α4．（重庆月考）如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上，且AF=CE，连接BF，EF，BE，若∠DFE=α，则∠ABE等于（

）A．90°−α B．45°−α C．2α D．45°+α5．（一外月考）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE=DF=1，则EM的长度为（

）A．32 B．52 C．2 6．（礼嘉期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是（

）A．2 B．455 C．3 7．（北碚月考）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别在边CD、AD上，BE、CF相交于点G，BE=CF=17，点O是BF中点，则OG的长为【题组三四边形为背景的大几何证明】8．（渝北开学）正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为线段AO上一点，连接BE．(1)如图1，若BE=5，AE=2，求(2)如图2，F为BC上一点，连接DF，G为DF上一点，连接OG，CG，若∠DOG=∠BEO，∠FGC=∠BDF，AE=CG，求证：BE=2CG；参考答案与解析【题组一正方形的判定】1．（重庆期末）下列命题中是真命题的是（）A．一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．四边相等且对角线相等的四边形是正方形【答案】D【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确性．【详解】解：A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题；B．菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题；C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题；D．四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题．故选：D．2．如图，在▱ABCD中，AC⊥BD，垂足为O．添加下列哪个条件，不能使▱ABCD成为正方形的是（

）A．AC=BD B．∠ABC=90° C．AD=BD D．OA=OB【答案】C【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由AC⊥BD得出▱ABCD是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形．若AC=BD，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形ABCD是正方形，故A不符合“不能使”的要求．若∠ABC=90°，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形ABCD是正方形，故B不符合“不能使”的要求．若AD=BD，AD是菱形的边，BD是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形ABCD是正方形，故C符合“不能使”的要求．若OA=OB，因菱形对角线互相平分（OA=OC，OB=OD），则AC=2OA，BD=2OB，即AC=BD．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形ABCD是正方形，故D不符合“不能使”的要求．故选C【题组二正方形为背景的小几何】3．（江北期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE、CE，点F是边CD上一点，EF=EC，连接AF．若∠ECF=α，则∠DAF等于（

）A．90°−α B．α−45° C．135°−2α D．15°+α【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由正方形的性质可证△ABE≌△CBESAS，得到EA=EC，∠AEB=∠CEB，即得EA=EF，进而由∠ECF=α得∠EFC=∠ECF=α，∠BCE=90°−α，即得∠CEF=180°−2α，∠AEB=∠CEB=45°+α，得到∠AEF=90°，即得到∠EFA=∠EAF=45°，再求出∠AFD【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠CBE=45°，∠ADC=∠BCD=90°，AB=CB，∵BE=BE，∴△ABE≌△CBESAS∴EA=EC，∠AEB=∠CEB，∵EF=EC，∴EA=EF，∵∠ECF=α，∴∠EFC=∠ECF=α，∠BCE=90°−α，∴∠CEF=180°−2α，∠AEB=∠CEB=180°−45°−90°−α∴∠AEF=360°−∠AEB−∠CEB−∠CEF=360°−245°+α∵EA=EF，∴∠EFA=∠EAF=45°，∴∠AFD=180°−∠EFA−∠EFC=180°−45°−α=135°−α，∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−135°−α故选：B．4．（重庆月考）如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上，且AF=CE，连接BF，EF，BE，若∠DFE=α，则∠ABE等于（

）A．90°−α B．45°−α C．2α D．45°+α【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过证明△BAF≌△BCE得出△EBF是等腰直角三角形是解题的关键．由正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAD=90°，进而可得∠C=∠BAF，再结合AF=CE，利用SAS可证得△BAF≌△BCE，于是可得BF=BE，∠ABF=∠CBE，进而可得∠EBF=90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BFE=45°，由∠DFE=α可得可得【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAD=90°，∴∠BAF=180°−∠BAD=90°，∴∠C=∠BAF，又∵AF=CE，∴△BAF≌△BCESAS∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，∴∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=1∵∠DFE=α，∴∠ABF=90°−∠AFB=90°−∠AFE+∠BFE∴∠ABE=90°−∠ABF=90°−45°−α故选：D．5．（一外月考）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE=DF=1，则EM的长度为（

）A．32 B．52 C．2 【答案】B【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE=AF，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明EM=FM，设EM=x，则FM=x，MC=4−x，CE=2，在Rt△MCE【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∴在Rt△ABE和RtAB=AD∠ABE=∠ADF∴Rt△ABE≌∴AE=AF；∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，∴在△AEM和△AFM中，AE=AF∠EAM=FAM∴△AEM≌△AFMSAS∴EM=FM，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=3，∠BCD=90°，设EM=x，则FM=x，MC=CD−DM=3−x−1CE=BC−BE=3−1=2，在Rt△MCE中，根据勾股定理，得E即x2解得：x=5∴EM=5故选：B．6．（礼嘉期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是（

）A．2 B．455 C．3 【答案】B【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．连接DF，交AE于H，由勾股定理可求AE的长，由折叠的性质可得DE=EF=2,AE⊥DF,FH=DH，由面积法可求DH=455【详解】解：如图，连接DF，交AE于H，

∵在正方形ABCD中，AB=4，E是CD的中点，∴AB=BC=CD=4,CE=DE=2,∠∴AE=A∵将△ADE沿AE翻折至△AFE，∴DE=EF=2,AE⊥DF,FH=DH，∵S△ADE∴DH=4∴EH=D∵CE=DE,FH=DH，∴CF=2EH=45故选：B．7．（北碚月考）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别在边CD、AD上，BE、CF相交于点G，BE=CF=17，点O是BF中点，则OG的长为【答案】2.5【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据正方形的性质证明Rt△BCE≌Rt△CDFHL，可得∠BEC=∠CFD，然后利用角的和差证明【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠D=90°，∵BE=CF∴Rt△BCE≌∴∠BEC=∠CFD。∵∠CFD+∠DCF=90°，∴∠BEC+∠DCF=90°，∴∠CGE=90°，∴BE⊥CF，∴△BGF是直角三角形，∵点O是BF中点，∴OG=1在正方形ABCD中，AD=AB=4，∵BE=CF=17，∠BCD=∠D=90°∴CE=DF=B∴AF=AD−DF=3，∴BF=A∴OG=1故答案为：2.5．【题组三四边形为背景的大几何证明】8．（渝北开学）正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为线段AO上一点，连接BE．(1)如图1，若BE=5，AE=2，求(2)如图2，F为BC上一点，连接DF，G为DF上一点，连接OG，CG，若∠DOG=∠BEO，∠FGC=∠BDF，AE=CG，求证：BE=2CG；【答案】(1)3(2)见解析【分析】（1）过点E作EH⊥AB于H，由正方形的性质可得∠BAE=∠ABO=45°，推出△AHE为等腰直角三角形，推出AH=HE=22AE=1，在Rt△BHE中，根据勾股定理求出（2）过点C作直线MN∥BD，交DG延长线于M，交OG延长线于N，连接BM，根据平行线的性质结合已知的∠FGC=∠BDF，推出∠DMN=∠FGC，得到CG=CM，由AE=CG可得AE=CM，结合正方形的性质可得AB=BC，∠BAE=∠DBC=45°，结合平行线的性质得到∠BCM=∠DBC=45°=∠BAE，从而证明△BAE≌△BCMSAS，得到BE=BM，∠ABE=∠CBM，结合角的等量代换推出BM∥OG，进而可证明四边形BONM是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明△ODG≌△NMGSAS，得到OG=GN，即G为【详解】（1）解：如图1，过点E作EH⊥AB于H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠ABO=45°，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH=HE=2在Rt△BHE中，由勾股定理得：BH=∴AB=AH+HB=1+2=3；（2）证明：如图2，过点C作直线MN∥BD，交DG延长线于M，交OG延长线于N，连接BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，AC⊥BD，BO=DO，∠BAE=∠DBC=45°，∵MN∥BD，∴∠BCM=∠DBC=45°=∠BAE，∠BDF=∠DMN，∵∠FGC=∠BDF，∴∠DMN=∠FGC，∴CG=CM