关于高数数学极限总结归纳

关于高数数学极限总结归纳一、极限的基本概念（一）数列极限1.定义设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|a|<ε都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，记为l如果不存在这样的常数a，就说数列没有极限，或者说数列是发散的。例如，对于数列=，任取ε>0，要使|0|=|−0|=<ε，只要2.数列极限的性质唯一性：如果数列收敛，那么它的极限唯一。有界性：如果数列收敛，那么数列一定有界。即存在正数M，使得对于一切n，都有||≤M保号性：如果li=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N（二）函数极限1.x→设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式类似地，可以定义lif(x)=A例如，对于函数f(x)=，任取ε>0，要使|f(x)−2.x→设函数f(x)在点的某去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|左极限：li，即对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当−δ<右极限：li，即对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当<x<lif(例如，对于函数f(x)={x+1,x3.函数极限的性质唯一性：如果li局部有界性：如果lif(x)=A，那么存在常数M局部保号性：如果lif(x)=A，且A>0（或A二、极限的运算法则（一）数列极限的运算法则设li=a1.li2.li3.若b≠q0例如，已知li=2，l（二）函数极限的运算法则设lif(1.li2.li3.若B≠q0例如，求li，因为当x→1时，分子分母的极限都为0，不能直接用商的极限法则。先对分子因式分解：=三、极限存在准则与两个重要极限（一）夹逼准则1.数列情形如果数列，及满足下列条件：从某项起，即∃∈，当n>时，有li那么数列的极限存在，且li=例如，求li因为，且li，li，由夹逼准则可得l2.函数情形如果当x∈U(,r)（或|x|>M）时，有（二）单调有界准则1.数列情形单调有界数列必有极限。即如果数列单调增加（≤≤·s≤≤·s）且有上界（∃M，使得≤M,n=1,例如，设=，=(先证明数列有上界：用数学归纳法，=<2，假设<2，则=<=2再证明数列单调增加：−=−==>0由单调有界准则可知li存在，设li=a，对=两边取极限得a=，即a2=0，解得2.函数情形设函数f(x)在区间[（三）两个重要极限1.l证明：在单位圆中，设圆心角∠AOB=x(0<x<)，<例如，求li，令t=3x，则x=，当x2.li(可以通过单调有界准则证明li(1+存在，记为例如，求li(1−，令t=−，则x=四、无穷小与无穷大（一）无穷小1.定义如果函数f(x)当x→（或x→∈f例如，li=0，所以y=是当x→0时的无穷小；2.无穷小的性质有限个无穷小的和是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积是无穷小。例如，求lixsin，因为\vertsin|≤1，即si3.无穷小的比较设α(x)和β高阶无穷小：如果li=0，则称β(x低阶无穷小：如果li=∈ft同阶无穷小：如果li=C≠q等价无穷小：如果li=1，则称β(x常见的等价无穷小：当x→0时，sinx∼x，t等价无穷小替换定理：设α(x)∼(x)例如，求li，当x→0时，sin（二）无穷大1.定义设函数f(x)在的某去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），使得当x满足不等式0<|x|<δ（或|x|>X）时，对应的函数值例如，li=∈2.无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)五、极限的计算方法总结（一）利用极限的运算法则对于一些简单的函数或数列极限，可以直接利用极限的四则运算法则进行计算。例如，求li(3（二）利用等价无穷小替换当遇到含有无穷小的极限时，可利用等价无穷小替换简化计算。如前面求li，通过等价无穷小替换sin（三）利用两个重要极限对于符合两个重要极限形式的极限，可以直接应用公式计算。例如，求li，因为1cosx∼(x→0)，所以li=（四）利用夹逼准则当极限不易直接求出时，可通过找到两个极限相等的函数夹逼所求函数来计算极限。如前面求li（五）利用单调有界准则对于单调有界的数列，可