直角三角形三边的关系（教学评教学设计）-2025华东师大版八年级数学上册

13.L1直角三角形三边的关系教学设计

学科数学年级八年级课型新授课单元第十三章

课题13.1.1直角三角形三边的关系课时1课时

通过本节课的学习，理解勾股定理的内涵，能阐述勾股定理的文字语言和符号语言，知晓勾股

定理的探究背景与证明思路。熟练掌握勾股定理的简单应用，能运用勾股定理解决已知直角三

误标

角形两边求第三边的问题，以及相关的实际问题。经历勾股定理的探究过程，通过观察、猜想、

要求

验证、证明等环节，体会“数形结合”“从特殊到一般”的数学思想，提升逻辑推理和数学建

模能力。了解勾股定理的文化价值，感受数学文化的魅力，增强民族自豪感和数学学习兴趣。

《勾股定理及其应用》是华师大版八年级上册第13章“全等三角形”之后的重要内容，是平面

教材几何的核心定理之一。本节课是13.1节的第1课时，承接了七年级下册的三角形相关知识，尤

分析其是直角三角形的性质，同时为后续学习解直角三角形、圆的有关性质以及立体几何中距离计

算等内容奠定坚实基础。

学生已掌握直角三角形的定义、性质，能熟练计算正方形和三角形的面积，对“方格纸”中的

图形边长和面积计算有一定经验，这为通过方格图探究勾股定理提供了基础；同时，学生已初

学情

步接触“猜想一验证”的探究方法，能进行简单的逻辑推理。八年级学生好奇心强，对数学史

分析

和动手操作类活动兴趣浓厚，适合通过故事导入、动手拼图等方式激发学习积极性；但部分学

生对儿何证明的严谨性重视不足，容易出现推理不规范、计算失误等问题。

1.通过对方格图中直角三角形边长关系的观察、分析，抽象出勾股定理“直角三角形两直角边

的平方和等于斜边的平方”的一股规律。

核心

2.经历“观察特殊直角三角形一猜想一般规律一用面积法证明”的过程，掌握勾股定理的证明

素养

思路，培养演绎推理和归纳推理能力。

目标

3.能将实际问题（如折叠问题、测量问题）转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决问题，

初步形成“实际问题一数学模型一求解验证”的建模思路。

教学1.勾股定理的探究与证明，理解定理的本质内涵。

重点

2.勾股定理的简单应用，能运用定理求直角三角形的未知边长。

教学勾股定理的证明过程，尤其是“面枳法”的思路构建，即通过割补图形使“大图形面积等于各

难点小图形面积之和”，从而建立边长之间的数量关系。

教学多媒体课件、学习资料

准备

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

你知道2002年在北京召开的国际数学家大会认真倾听故通过数学史故事导

(ICM2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、事，感受勾股入，既挖掘了勾股

远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会徽.定理的历史底定理的文化内涵，

一、引新会徽的原型即是1700多年前中国占代数学家赵爽用来蕴，激发民族又能激发学生的学

证明勾股定理的弦图.自豪感和探究习兴趣和民族自豪

兴趣。感；同时，以“勾

三股四弦五”的具

体实例引发学生的

认知好奇，自然引

我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：

出本节课的探究主

一个角为直角，另外两个锐角互余.

题，为后续学习铺

那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关

垫情感和认知基

系呢？

础。

探究勾股定理对照方格图，从等腰直角三角形

如图是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正独立计算等腰这一特殊图形入

方形，这三个正方形的面积有什么关系？直角三角形的手，通过方格图辅

三边长度及平助计算，降低探究

方。难度，让学生直观

CQB

感知三边的平方关

系，为后续猜想一

两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面

般规律奠定基础。

积.

即AC2+BC2=AB2

这说明，在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方

和等于斜边的平方。

那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等

于斜边的平方呢？

二非二二J

茎工目

慧需工；；：!；：!

■E■二fFt-E严zFM+-iZ+Tl

观察图片，如果每一小方格表示Icm2,那么可以得小组内交流计

二、探究到：算结果，发现

正方形P的面积=_9_cm2“两直角边平

正方形Q的面积=_16___cm2方和等于斜边

正方形R的面积=_25_cm2.平方”的规律，

我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是LQ举手分享结

的面积之和等于大正方形R.论。

由此，我们得出Rt/XABC的三边长之间存在的关系是

AC2+BCJAB2.

【做一做】作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角

三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系

式对于这个直角三角形是否成立.

12cm动手画任意直从特殊到一般，通

角三角形，测过等腰直角三角形

5cm

量边长并计算到一般直角三角形

通过测量，斜边长度为13cm,仍然满足52+122=132.

平方，验证猜的探究，再到学生

对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这

想的普遍性，自主画直角三角形

样的关系呢？

小组内分享验验证，逐步强化猜

观察导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标

证结果。想的可信度，培养

中的那个像旋转的风车的会徽.

学生的归纳推理能

◎

力；同时，方格图

的辅助的使用，让

学生直观感受“数”

它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图

与“形”的结合，

案.

为后续证明铺垫思

记直角三角形的两条直角边长分别为、斜边

ab(b>a),路。

长为C.

于是图中各个部分的面积之间有如下的等式：

4Xgab+(b-a)2=c2,

化简,可得a^b^c2.

总结归纳

由上面的探索与验证，可以发现：

对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为

a、b,斜边为c,那么一定有a?+b2=c2,这种关系，我

们称之为勾股定理.

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

拓展提高

跟随教师引

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

导，大胆提出

我国古代，人们把百角三角形中较短的直角边称为

一般直角三角

“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.

形的三边平方

关系猜想。

【例1】在RtZ\ABC中，NB=90°,AB=6,BC=8.

求AC的长.

解：根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2.

所以©=V62+82=10.

［例2］如图，RtAABC的斜边AC比直角边AB长

独立分析例

2cm,另一条直角边BC的长为6cm.求AC的长.

A题，明确已知

边和未知边的

K基础例题直接对应

类型（直角边

勾股定理的核心应

nLAc

或斜边）。

用，帮助学生掌握

解：由已知AB=AC-2,BC=6cm,

“已知直角三角形

根据勾股定理，可得

两边求第三边”的

AB2+BC—(AC-2)2+62=AC2,

基本方法；板演和

解得AC=10cm.

点评的使用，强化

【例3】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的

解题规范，避免学

距离，一名观测者在点C处设桩，使AABC恰好为直

生忽略前提条件或

角三角形.通过测量，得到AC的长为160m,BC的

出现计算失误。

长为128m.问：从点A穿过湖到点B有多远？

解：如图，在Rt^ABC中，

AC=160m,BC=128m,

根据勾股定理，可得

AB=VAC2-BC2=x/1602+1282=96(m).

答：从点A穿过湖到点B有96m.

独立完成基础基础练习旨在巩固

练习，在练习本节课的核心知识

本上写出详细点，帮助学生夯实

的解题过程。基础：拓展提升活

BC=2,贝ijAC2+AB?+BC2的值为(C).动则将数学知识与

A.4B.6C.8D.12生活实际相结合，

2.如图，公园内一块长方形草坪ABCD,已知AB让学生体会数学与

=20m,BC=15m,公园管理处为方便群众，沿AC修了生活的联系，提高

一条近道.一个人从A到C走A-B-C比直接走AC多学牛•的知识应用能

走（B）力和创新思维能

三、尝试A.5m力。

B.10m

C.15m

D.20m

3.如图，在AABC中，CD1AB于点D,若CD=12,

AD=16,BC=15,求AC,BD的长.

在Rt^ACD中，vCD=12,AD=16,

・・・AC=JCD'+AD：=J-20.

在RtZ^BCD中，vCD=12,BC=15,

:.BD=VBC2-CD2=V152-122=9.

4.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,

在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在A,B间

建一条直水管AB,则水管的长为―40―m.

:A

西0K/一东

南

5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，

根据图中的尺寸,计算两圆孔圆心A和R间的距离为

150mm.

60mm

6.如图①是我国古代数学家赵爽的“弦图”，是山四个全

等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,

小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图

②，则图②中大正方形的面积为（D）.

A.24B.36C.40D.44

①②

【综合拓展类作业】

7.一架长为为m的梯子AB斜靠在墙上.

（1）如图①，若梯子的顶端A与地面的距离AC为

8m,求梯子的底端B与墙脚C的距离BC;

CB

①

解：在RtaACB中，

BC=VAB2-AC2=6m.

・••・梯子的底端B与墙脚C的距离BC为6m.

(2)图②，在⑴的条件下，如果梯子的顶端A下滑

1m到A\那么它的底端B到B，滑动的距离是否也为

1m?

K

CBB'

②

解：由题意，A'C=8-1=7(m),

AB=AB=10m,.*.B,C=VA,B,2-A'C2=VHm.

=R,C-RC=(VTF-6)m.

,:VsT-6>i,

•••它的底端B到B，滑动的距离不是Im.

四、提升适时小结，兴趣延伸认真倾听教师帮助学生梳理知识

1对.于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为的总结，回顾体系，强化重点知

a、b,斜边为c,那么一定有a?+b2=c2,这种关系，我自己本节课的识，让学生对本节

们称之为勾股定理.学习过程，反课的内容有更清

2.勾股定理：思自己的收获晰、系统的认识。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.和不足。

板书利用简洁的文字、

13.1.1直角三角形三边的关系

设计符号、图表等呈现

1勾.股定理探索

本节课的新知，可

2.勾股定埋的证明

以帮助学生理解掌

3.例题讲解

握知识，形成完整

的知识体系。

作业【知识技能类作业】必做题：

设计1.如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,分别以各

边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为

“希波克拉底月牙”，当AC=4,BC=7时，

阴影部分的面积为（

A.12

B.13

C.14

D.15

2.如图，将腰长为2的等腰直角三角形ABC放置于数轴上，直角边AB与数轴重合，直角

顶点A与-1重合，D为AB的中点，以D为圆心，DC长为半径画弧，交数轴于点E（在D

点右侧），则点E表示的数为V5-2

3.如图，氏为2.5mE勺梯子养在墙上，梯于的底端离墙脚线的距离为1.5m,则梯子顶端距离

地面的高度卜是（B