2025北京平谷中学高二（上）第一次段考数学试题及答案

高中2025北京平谷中学高二（上）第一次段考数学2025.10（满分150分，时间120分钟）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.）1.下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A. B. C. D.2.从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A. B. C. D.3.已知直线l：，则下列结论正确的是（）A.点在直线l上 B.直线l的一个方向向量为C.直线l在y轴上的截距为8 D.直线l的倾斜角为4.方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B. C. D.5.已知，，且，则（）A.， B.，C.， D.，6.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. B.C.或 D.或7.若直线与直线互相平行，则的值是（）A. B. C.或 D.或8.过点且与圆相切的直线方程是（）A. B.或C. D.或9.已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定10.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面；②平面；③三棱锥的体积不变；④异面直线与所成角的取值范围是.A.①②④ B.①④ C.①②③ D.③④二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题纸的相应位置上11.若两条直线与互相垂直，则a的值为______.12.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率__________.13.写出一个关于直线对称的圆的方程__________.14.已知圆和两点、（），若圆上存在一点，使得，则的最小值为______________.15.关于曲线，给出下列四个结论：①曲线上的点到原点的距离的最小值为②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称；③曲线上任意一点到原点的距离都不大于；④.曲线围成的面积是；其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题：（共85分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上）空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150~250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（1）根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由.（2）在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；17.如图，平面，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（3）点到平面的距离18.已知圆M过点（1）求圆M的方程；（2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程.19.某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：A444.555.566B4.5566.56.5777.5C555.566777.588（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为.若，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）.20.在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，.（1）求证：平面平面；（2）设平面平面，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件①：；条件②：平面；条件③：平面平面.21.如图，四棱锥中，平面平面，//,,,且，.（1）求证：平面；（2）求和平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.

参考答案一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.）12345678910BBBDBBDADAC二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题纸的相应位置上11.【答案】由题可知，.故答案为：4.12.【答案】记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，为相互独立事件，且，，恰有1人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为.故答案为：.13.【答案】设圆的方程为，，圆心为，半径为，因为圆关于直线对称，所以，所以圆的方程为，，不妨取，，则关于直线对称的一个圆的方程为：.故答案为：（答案不唯一，形如，）14.【答案】试题分析：显然，因为，所以，所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，因为，所以，即的最小值为.考点：点与圆位置关系15.【答案】对于曲线，当时，，即，当时，，即，当时，，即，当时，，即.故可作出曲线C的图象如下图所示，由图可知：曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，即，故①错误，曲线C关于原点对称，也关于x轴，y轴对称，故②正确，由图形的对称性可知，曲线上到原点距离最远的点有4个，如点,最远距离为,故③正确，曲线C围成的面积是，故④正确,故答案为：②③④.三､解答题：（共85分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上）16.【答案】（1）甲；（2）.【详解】（1）由茎叶图知：甲城市的中位数为：61，乙城市的中位数为79，并且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上，所以甲城市空气质量总体较好；（2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天，所以甲城市空气质量类别优或良的概率为,乙城市空气质量类别为优或良的有5天，所以乙城市空气质量类别优或良的概率为,所以甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.17.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为,平面,所以平面,又因为平面,所以,在中,为中点，所以,又因为,平面,所以平面（2）在平面中作，则两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系：则,所以设平面的法向量为，平面的法向量为，则，不妨取，则，，不妨取，则，所以，所以二面角的余弦值为.（3）由（2）知平面的一个法向量为，,所以点到平面的距离18.【答案】（1）（2）或【解析】（1）设圆，则，解得，满足，所以圆的方程为，即.（2）由（1）知，，半径，设圆心到直线的距离为，则，即，解得，当直线的斜率不存在时，为，符合题意；当直线的斜率存在时，设，故，解得，此时直线的方程为，综上，直线的方程为或.19.【答案】（Ⅰ）该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台；（Ⅱ）；（Ⅲ）18.【详解】试题分析：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为台，则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，由此可求解结论；（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为，求得的值，即可得到结论；（Ⅲ）根据平均数的定义，即可求解的最小值.试题解析：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，由题意得，所以.答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，则.答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为.（Ⅲ）由题意得，有三个数构成数据的平均数为，表中数据的平均数为，所以，所以，所以的最小值为1820.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，又平面；平面；所以平面；又，平面；平面；所以平面；又，所以平面平面；（2）选条件①：；条件②：平面；以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则，所以，设平面CDF的一个法向量为，即，设平面EBF的一个法向量为，则，即，令，则，则，设二面角为，所以选条件①：；条件③：平面平面.因为，平面平面.所以平面因为，所以平面，所以因为，所以，即，所以，因为平面平面.所以平面，以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则，所以，设平面CDF的一个法向量为，即，设平面EBF的一个法向量为，则，即，令，则，则，设二面角为，所以21.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）；（3）在线段上存在一点使得平面平面.【详解】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问，在中，求出，在中，求出，在中，三边符合勾股定理，所以，利用面面垂直的性质，得平面；第二问，利用第一问的证明得到垂直关系，建立空间直角坐标系，得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标，得出向量坐标，先求出平面CDE的法向量，利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值；第三问，假设存在F，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于两个平面垂直，则两个法向量垂直，则，解出.（1）由