第2节 常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语

课标解读考向预测

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义：新高考对常用逻辑用i吾直接考查的频率比较

现解判定定理与充分条件、性质定理与必要低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等

条件、数学定义与充要条件的关系.偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要

2理.解全称量词与存在量词的意义；能正确使涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等

用存在(或全称)品:词时全称(或存在)吊词命题式的解法及直线与平面位置关系的判定等相

进行否定.关知识结合考查.

必备知识——强基础

知识梳理

I.充分条件、必要条件与充要条件的概念

〃与q的关系结论

p=qp是q的画充分条件,4是p的画必要条件

pnq且c自pp是.q的画充分不必要条件

p^>q且qnpp是q的画必要不充分条件

〃是“的画充要条件

poq

p^>q且qbpp是q的历目既不充分也不必要条件

2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系

设4={蜘)},S={Mq(x)}，则

⑴若4E,则〃是q的画包条件；

⑵若A38,则〃是“的画必要条件:

(3)若A=B,则〃是q的画充要条件；

(4)若人B,则〃是“的画充分不必要条件:

(5)若AB,则〃是“的间必要不充分条件.

3.全称量词命题与存在量词命题及其否定

名称

全称量词命题存在量词命题

形式

结构对M中r~jR任意•个1,〃(x)成立Fi可存在M中的元素x,p(x)成立

简记114M€M,p(x)回方-Mx)

否定r〃a)[T?1VXWM,“a)

1.在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.对省略了全称量词的命题否定时，

要对原命题先加上全称量词再对其否定.

■诊断自测

1.概念辨析(正确的打“卡,错误的打“x”)

(1)当g是〃的必要条件时，”是q的充分条件.()

(2)已知集合A,B,的充要条件是A=6.()

⑶”xWM,“⑶”与，xWM,>㈤，，的真假性相反.()

答案(1W(2)4(3)5/

2.小题热身

⑴(2024・四川绵阳南山中学模拟)“sina=sin/是％=夕，的条件.(用“充分不必要’”必

要不充分"充要”“既不充分也不必要“填空)

答案必要不充分

解析若a=季，夕=芝则满走sina=sin/?,而不满足。=用；当。=//时，sina=sin/?一定成

立，所以“sina=国叨”是％=少”的必要不充分条件.

(2)己知p：是/20y3的必要不充分条件，则实数。的取直范围是.

答案(一8,2]

解析由已知可得｛M2<x<3)｛疝>〃｝，所以aW2.

(3)(人教A必修第一册习题1.5T6改编)已知“若x>l,则2x+l>/T是假命题，则实数人的取

值范用是.

答案(3,+8)

解析因为“若x>l,则2x+l>2”是假命题，所以Wx>l,使2LHW2”是真命题.因为当

£>1时，2x+l>3,所以实数力的取值范围是(3,+8).

(4)设命题p：3x€R.x2—2x-¥m—3=0：命题q：Vx€R,f—2(/〃-5)X+〃户+19W0,若p,

，/均为其命0题，则实数，〃的取值范围为

答案

解析若命题p：3x€R.『-2x+〃i—3=0为真命题，则/=4一4（小一3）20,解得mW4；

若命题g：VxWR,f—2（m一，卜+，〃2+[9W0为真命题，则/=4（6-5）2—4（加2+i9）V0,解

333

-

€5+8）.又p,q均为真命题，所以实数/〃的取值范围为n、:m/心55

考点探究——提素养

考点一充分条件、必要条件的判断

例1（1）（2023•全国甲卷）"sin2a+sin2/?=l''是"sina+cos或=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

答案B

解析当sin%+sin2/?=l时，例如/}=（）,但sina+cQ“?W0,即sin%+sin20=1推不

出sina+cosQ=0：当sina+cos6=0时，sin2a4-sin2/?=（—cos^）2+sin2/?=1,即sina+cos6=0

能推出si/a+sii^n.综上可知，“si/a+sin2披=1”是“sina+co$0=O”的必要条件但不是充分

条件.故选B.

（2）（2023•河北石家庄模拟）已知”，〃，c€R,则“a=b=c”是飞―川+^〜力+命+4”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若a=b=c,则a2+/>2+c2=3«2»ab-\-bc-Vac=3cr,即a=b=c=:>（r-}rb1-\-（^=ab-\-bc

+ac,满足充分性；若n2+〃2+c2=ab+〃c+ac,则2/+2b2+2c2=2mb+2〃c+2«c,所以片

—2〃8+。2+从一2反,+/+/—2〃。+。2=0,即（“—oy+g—cp+m—°）2=0,则a=b=c,满

足必要性.故选C.

（3）（多选）下列四个条件中，能成为心），的充分不必要条件的是（）

C.M>MD.in.v>lny

答案ABD

解析对于A,若XC2>>'C2,则/WO,则x>y,反之x>y,当c=O时得不出所以

是的充分不必要条件，故A符合题意.对于B,由:$<0可得jyvO,即能推出x>y,

“y

但心”不能推出：4<o（因为》,），的正负不确定），所以T4<o”是"列”的充分不必要条件，故

B符合题意.对于C,由可得则（x+y）（x—y）>0,不能推出x>y；由x>y也不能推

出田〉M如尤=1，），=一2）,所以“1|>|），|"是“£>’”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意.对

于D,若1nA>lny,则x>y>0,反之x>y得不出1nx>lny,所以“1n2*1n是“x>y”的充分不必

要条件，故D符合题意.

【通性通法】

充分、必要条件的两种常用判断方法

【巩固迁移】

VY

1.（2023,北京高考）若冷华0,则“x+y=O"是'%+;;=-2”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为盯W0,且甘：=一2,所以寸+产=一说，即『+）2+加=0,即（x+y）2=0,所

以x+y=O.所以匕+），=0"是3+今=-2”的充要条件.故选C.

2.（多选）（2023•广东广州华南师大附中模拟）函数於）=疝3+夕+习为偶函数的一个充分条

件是（）

A5兀D2兀

A.8=一不B.（p=~~

C.（P飞D.3=4

答案BD

解析由题意得夕十5=47：+看AWZ,解得°=E+率AWZ,令&=-I,则°=一半令4

=0,则夕=1.故选BD.

考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

例2已知p:-2WxW10,q：1—〃WxWl+/〃(心0).

⑴若P是q的必要不充分条件，则实数，〃的取值范围为

(2)若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围为

答案(1)(0,3](2)[9,+-)

1-m2-21—/??>—2»

解析(1)因为〃是q的必要不充分条件，所以,成―“解得鹏，又

1+/7/<10

，心0,所以实数，〃的取值范围为(0,3].

1-nW-2，I—m<—2，

(2)因为〃是夕的充分不必要条件，所以或“I+BS解得2％即实数，〃

1+210

的取值范围为[9,+8).

【通性通法】

由充分、必要条件求参数范围的策略

巧用转化把充分、必要条叶或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之

求参数间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形

端点值慎

在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍

取舍

注意：考虑空集的情况.

【巩固迁移】

ft-2

3.(2023•福建福州四校联考)已知p：八=卜亡[:W0'q：8=]小一a<0},若〃是g的必要

不充分条件，则实数。的取值范围是()

A.(2,4-oo)B.[2,+8)

C.(一8,1)D.(一8,IJ

答案D

解析由题意得A=3(x—2)(.v—l)N0且步1}={小22或x<l},8={.巾〜},:p是q的

必要不充分条件，・・.84,故选D.

考点三含有量词的命题的否定及真假判断

例3(1)设命题p：平行四边形对角线相等，则下为()

A.平行四边形对角线不相等

B.有的平行四边形对角线相等

C.有的平行四边形对角线不相等

D.不是平行四边形对用线就不相等

答案C

解析因为命题〃为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以「〃：有的平行四边形对角

线不相等.故选C.

(2)(2024・湖北百校高三联考)设命题〃：3A€(0,4),2A+^=I8；命题q：每个三角形都有内

切圆，则()

A.命题〃的否定：V.r€(0,4),2，+G=18

B.命题〃是真命题

C.命题4的否定：存在一个三角形没有内切圆

D.命题q是假命题

答案C

解析命题〃的否定应为“Mr£(0,4),2、+五#18"，所以A错误；因为.")=2'+也在x£

(0,4)上单调递增，所以4分［4)=18,所以当x€(0,4)时，2*+5<18,所以命题〃为假命

题，所以B错误；命题q的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以C正确；任何三角形

都有内切圆，所以命题夕为真命题，所以D借误.故选C.

【通性通法］

1.含有量词命题的否定与不含量词命题的否定

含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量

词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将

量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可.

2.含有量词命题真假判断的策略

判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成

立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

【巩固迁移】

4.(多选)(2024•河北沧州部分学校高三联考)命题p：2x6(0,2),命题夕：每个大于2

的素数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是()

A.〃是真命题

B.¥：Vx€(0,2)»x3"

C.q是真命题

D.乂：存在一个大于2的素数不是奇数

答案ACD

解析若x=T，则所以〃是真命题，A正确；>：VxC(0.2),.FW.v6,B错误；每

个大于2的素数都是奇数，,/是真命题，C正确；F：存在一个大于2的素数不是奇数，D

止确.故选ACD.

5.(2024・湖北部分学校高三联考)已知〃：力〃€{川一2<小<3},使关于x的方程2/一，〃=0有

解，则》：.

答案V/M€{m\-2<m<3},使关于x的方程2*—m=0无解

解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得>：{加一2<小<3},使关于x的

方程一〃?=0无解.

考点四根据命题的真假求参数的取值范围

例4(1)己知p：V.v€[3»4),f—a妾0,则〃成立的一个充分不必要条件可以是()

A.a<9B.a>9

C.a<16D.«>16

答案A

解析若〃为真命题，则aW/在区间[3,4)上恒成立，所以aW9,所以〃成立的一个充分

不必要条件可以是a<9.故选A.

(2)(2024.山东聊城一中高三期中)若命题R,『+2四+2—。=0”是假命题，则实数。的取

值范围是.

答案(一2,I)

解析因为命题“3x€R,F+2at+2—a=(T是假命题，所以命题“Vx€R,丁+2办+2—。工0”

是真命题，所以』=4/一4(2—a)<0,即/+。一2<0,所以一2<avl.

【通性通法】

由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数

的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即〃与Y的关系，转化成R的真假求参数的范围.

【巩固迁移1

6.若命题“工€[1,4],『一4LMW0”是假命题，则切的取值范围是()

A.[-4,-3]B.(-8,-4)

C.[-4,+8)D.[—4,0]

答案D

解析若“VrW[l,4],『一”是假命题，则鼻■€口，4],F一公一/〃=0”是真命题，

即/"=/—4x,设y=f—4%=(x—2)2—4,因为y=f-4x在[1,2)上单调递减，在(2,4]±

单调递增，所以当x=2时，ynin=-4;当x=4时，.ym”=0，故当1WXW4时，-4WyW0,

则一4W/〃W0.

7.已知命题p：3xX),x+a~\=(),若p为假命题，则4的取值范围是.

答案(1»+°°)

解析因为〃为假命题，所以命题〃的否定：VxX),x+a—1W0是真命题，所以xWl-a,

所以1-aWO,所以a3l.

课时作业

A级《

一'单项选择题

1.（2023・天津高考）％2=庐，是<匕2+/=2而，，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案B

解析解法一：若cT=h2,则当a=—%W0时，有（r-\-lr=2cr,2ah=-2a2,即（r+kr^lab,

所以〃2=》20a2+）2=2a〃；若"2+/=〃活，则有廿+/―2〃。=0,即（〃一人尸=0,所以。=〃，

则有a2=b2,即/+护=2a/>n“2=A2.所以“02=力2„是“/+反=26〃，，的必要不充分条件.故选

B.

解法二：因为/=〃oa=一人或。=/九a24-=2ab<^a=h,所以本题可以转化为判断a=一

b或a=b与a=b的关系，又々=一匕或〃=，是〜=〃”的必要不充分条件，所以%2=〃”是

+/=2"”的必要不充分条件.故选B.

2.（2024•浙江名校协作体高三上学期开学考试）设命题p：VH€N,zr<3n+4,则〃的否定为

（）

A.Vn€N,/F>3〃+4

B.V/J€N,/<3〃+4

C.力?WN,，尸23〃+4

D.3H€N,芯>3”+4

答案C

解析因为命题p：V”£N,/尸<3〃+4,所以〃的否定为力?£N./23〃+4.故选C.

3.下列各项中是“四边形是矩畛，的充分条件的是（）

A.四边形的对角线相等

B.四边形的两组对边分别相等

C.四边形有两个内角都为直角

D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补

答案D

解析对于A,四边形的对角度相等且平分才是矩形，故A不符合题意；对于B,四边形的

两组对边分别相等为平行四边舲，故B不符合题意；对于C,四边形有三个内角为直角才是

矩形，故C不符合题意；对于D,四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角

互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180。，故相邻两角均为直角，

故该平行四边形是矩形，故D符合题意.故选D.

4.（2024•福建百校高三上学期第一次联考）命题WQ”的否定是（）

A.WQ

B.VKQ.1（Q

C.3v€Q.4A2+14Q

D.Vx€Q,迎+1WQ

答案A

解析因为命题TxWQ,五不TWQ”为存在量词命题，所以命题FxWQ,不TwQ”的否

定是“"WQ，,+畋〈故选A.

5.（2023・湖南邵阳高三二模）已知集合4=[-2，5],B=[m+\,2m-1].若“xW3”是气£A”

的充分不必要条件，则/〃的取值范围是（）

A.（一8,3JB.（2,3]

C.。D.[2,3]

答案B

m+1<2〃?一1»

解析因为“x€8”是“xWA”的充分不必要条件，所以BA,所以<〃?+12—2，或

2/??—1<5

m-\-\<2m—1，

m+\>-2»则2</〃<3,即〃?的取值范围是（2,3].故选B.

2,〃一lW5，

6.（2024・湖南长郡中学高三月考）若命题p："M£R,级2+2公-420”为假命题，则〃的取

值范围是（）

A.（-4,0]B.[-4,0）

C.[-3,0]D.[-4,0]

答案A

解析命题〃：FxGR,0/+2^—4>0”为假命题，即命题rp：“Vx€R,办2+2ax—4u0”为

真命题.当。=0时，-4<0恒成立，符合题意；当时，则。<0且/=（2a）2+16a<0,即

—4<a<0.综上可知，-4<a<0.故选A.

7.命题『一2“W0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.“21B.”23

C.22D.“W4

答案A

解析因为命题“VI&W2,f-2aW0”是真命题，所以心停）=2,则一个必要不充分条

v^Zmax

件是aNl.故选A.

8.（2023•山东济南模拟）若“3r£（0,冗），sin与一依inx<0”为假命题,则々的取值范围为（）

A.（—8,—2]B.（—8,2]

C.（—8,—2）D.（—8,2）

答案A

解析由题意，知Tx£（0,冗），sinZr-AsiiuyO”为假命题，则"Vx£（O,冗），sin2r-ksinx20”

为真命题，所以2sirucos»r2Asiru,则2W2cosx,解得kW—2,所以k的取值范围为（-8,

-2].故选A.

二、多项选择题

9.（2024•安徽六安实脸中学高三上学期质量检测）下列命题正确的是（）

A.命题）>「'的否定是“必1€1<，yWl”

B.“至少有一个x,使f+2r+l=0成立”是全称量词命题

C.u3x€R,%—2川r是真命题

D."VxWR,fxr的否定是真命题

答案ACD

解析对于A,因为存在量运命题的否定为全称量词命题，所以命题fxWR,），>1”的否定

是“Mr€R,yWl”，故A正确；对于B,“至少有一个x,使f+2r+l=0成立”是存在量词

命题，故B错误；对于C,当x=9时，9-2=7>V9=3,所以W.r€R,是真命题，

故C正确；对于D,因为当x=0时，F=0,所以“VxWR,『>0”是假命题，其否定是真命题，

故D正确.故选ACD.

10.（2024•广东东莞东华高级口学高三模拟）若"V.rWM,用>%”为真命题，叼KWM,x>3”为假

命题，则集合M可以是（）

A.{Aj.v<—5}B.{x|—3<v<—1}

C.{水>3}D.*|0WxW3}

答案AB

解析因为x>3”为假命题，所以“Vx€M,xW3”为真命题，可得MU{xkW3},又“VX

|A|>X"为真命题，可得MG*|x<0},所以MG{.巾<0}.故选AB.

11.（2024•江苏南京师范大学附属中学高三模拟）设小4c都是实数，则下列说法正确的是

（）

A.%/>儿2”是“〃乂”的充要条件

B."Ina>\n加'是“〃>护’的充分不必要条件

C.AABC中，角A,B,。的对应边分别为“，b,c,则“siM>sin3”是的充要条件

D.“匕访=乎”是“sin29=季的必要不充分条件

答案BC

解析对于A,由ac2〉机>2可得。>》，当c=0时，由得。/=力洛所以“ad〉。。?”是“。>匕”

的充分不必要条件，故A错误；对于B,因为lna>lnh,所以G>力>0,则4〉〃，由标》〃，

得力若”>0>仇则In力无意义,即推不出lna>ln〃，所以“hia>lnb”是“<?>庐，的充分不

z«])

必要条件，故B正确；对于C,根据正弦定理，得sinA>sinHo:^>m=a>〃，所以“sin4>sinZT

是%>人”的充要条件，故C正确:对于D,由ian9=坐,得夕=言+k#£Z),故sin29=sin6+2E)

=坐，由sin2〃=坐，得26=号+2e伙6Z)或28=^+2bt/WZ),即6=，+E(ZWZ)或>=

；+履(立Z),故tan6»=乎或小，所以“tan6=亭是“sin26=乎”的充分不必要条件，故D错

误.故选BC.

三、填空题

12.(2023•山东潍坊高三二模)若r="”是"sinx+cosx>l”的一个充分条件，则a的一个可能值

是.

答案既只需满足a€(2E,2E+飘€Z)即可)

解析由siav+cos.r>l,得&sin(x+£)>l,即sin^x+^>^»所以2E+；<r++2E+竽伙

£Z),解得2E<b<2E+我WZ),因为“x=a"是“siiir+cosx>l”的一个充分条件，所以a的一

个可能值为;.

13.(2024•福建厦门第六中学高三检测)已知命题WxWR,*—2，+加>0”为假命题，则实数〃?

的取值范围为.

答案(一8,1]

解析因为命题“Vx€R,『一〃+/心0”为假命题，所以命题叼xWR,.¥2—2]+〃忘0”为真命

题，所以/=(—2)2—4/〃20,解得〃I&I.故实数"1的取值范围为(-8,1].

14.若风t)=f—2x,g(x)=at+2(a>0),V^WLl,2],3x2e\~\,2J,使g5)=/(X2)，则

实数〃的取值范围为.

答案(。4

解析问题等价于函数g(x)的值域是函数九丫)值域的子集.因为凡t)=f—2x=(x—1)2—1,X

€[-l,2],所以43],即函数凡。的值域是[-1,3],因为X),所以函数g(x)的

值域是[2—〃，2+却，则2一仑一1且2+2aW3,即故实数。的取值范围是(0，；.

B级《「素养提福

15.(2024•江苏扬州中学高三上学期开学考试)若FxW[1,2],使2f+1<0成立”是假命

题，则实数2的取值范围是()

A.(-8,2的电吸岗

C.(-8,3],+8)

答案C

解析若Fx€[l,2],使2r-Zv+l<0成立”是假命题，则"2],使21|20

成立“是真命题，即Vx€[l，2],iW2r+g令危)=2x+:，x£[l,2],由对勾函数的性质可

知，7U)在[1,2]上单调递增，故/*)min=/U)=3,则/IW3.故选C.

16.(2021•全国甲卷)等比数列㈤｝的公比为夕,前〃项和为S”.设甲：qX),乙：(SJ是递增数

列，贝立)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当《=-1，夕=2时，｛SJ是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当｛S,,｝是递增数列

时，有a,计i=S“"-Sn=md>0,若。i>0,则q”>0(〃£N)即g>0；若©<0,则0V0(〃€N*),

这样的，/不存在，所以甲是乙的必要条件.故选B.

17.(2024•华中师范大学第一附属中学高三期中)在△"(?中，"tanBtanCl”是“ZUBC为锐角

三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若△ABC为锐角三角形，则8+0当即8＞亨一0又0＜8与0＜C号则0苣一。除

所以tan皮＞tan(?—C),则tanB＞竽「＞0,所以tanBtanCl；在△ABC中，若tanBtanCl,则

、//Slil

..，Csinf2—Q/、

tanfi＞0,tanOO,即3,C均为锐角，所以lan3＞而Z，即011］皮＞黑彳=---彳---7=lan(?~^J»

cos(2-C)

所以B^-C,则8+0%即小埼，所以△ABC为锐角三角彩，故"tanBtanOl”是，'AABC

为锐角三角形”的充要条件.故选C.

18.(2023•新课标I卷)记S”为数列｛斯｝的前〃