第18讲 等腰三角形（练习）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习讲义

第18讲等腰三角形

录

题型过关练N

题型01等腰三角形的定义

题型02根据等边对等角求角度

题型03利用等边对等角证明

题型04根据三线合一求解

题型05根据三线合证明

题型06格点图中画等腰三角形

题型07根据等角对等边证明等腰三角形

题型08根据等角对等边证明边相等

题型09根据等角对等边求边长

题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点

题型11等腰三角形性质与判定综合

题型12等腰三角形有关的折叠问题

题型13等腰三角形有关的规律探究问题

题型14等腰三角形有关的新定义问题

题型15等腰三角形有关的动点问题

题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系

题型17利用等边三角形的性质求线段长

题型18手拉手模型

题型19等边三角形的判定

题型20等边三角形与折叠问题

题型21等边三角形有关的规律探究问题

题型22利用等边二角形的性质与判定解决多结论卜

题型23利用垂直平分线的性质求解

题型24线段垂直平分线的判定

真题实战练

题型过关练

题型01等腰三角形的定义

1.（2021・四川内江•四川省内江市第六中学校考二模）己知X,y满足|4-M+J户=0,则以XV的值为两

边长的等腰三角形的周长是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对

2.（2019・陕西西安•校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于100。，则它的顶角是（）

A.80°B.20°C.80°或20°D.80°或50。

3.（2023•四川广安•统考二模）已知等腰三角形的两边长满足病毒+6-4。+4=0,那么这个等腰三角形

的周长为.

题型02根据等边对等角求角度

1.（2023•广东东莞•三模）如图，正方形48CQ的两条对角线AC,相交于点O,点石在用）上，且

BE=BC.则N8EC的度数为

2.（2021•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六十九中学校校考二模）△力8C中，AB=AC,NA8C的平分线与AC

边所夹的锐角为60。,则NA=

3.（2022-r东佛山•校联考模拟预测）如图，在中，AD18c于点。，A。与3E相交于点尸，且AC=,

DF=DC.若NA8E=10。，则厂的度数为.

题型03利用等边对等角证明

1.（2023・广东深圳•统考三模）在“18。中，ZACB=90°,AC=8C,点。在内部，若△8CO的面

积为13,且满足NAC£）-N8C£>=2N0A5,则C/）=.

2.（2023•辽宁大连•统考一模）如图，中，Z4C5=90°,tanB=1,CD_LA8于。，E是AC的中

点，OE的延长线交8c的延长线于人若E尸=5,则8C=.

3.（2023・广东广州•统考一模）如图，八8是。。的弦，OPLOA交AB于点P,过点8的直线交OP的延长

线于点C,若CP=CB,OA=3,OP=1,则8C的长为

4.（2023・天津西青•统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点。，A,8均落在格点上,

连接。4,OB.

（1）线段。4的长等于.

（2）以。为圆心，Q4为半径作圆，在O。上找一点满足=.请用无刻度的直尺，在如

图所示的网格中，画出点作出NBQM,并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）

题型05根据三线合一证明

1.（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图，中，AB=AC,是小8C的外接圆，BO的延长线交边

AC于点

（1）求证：NBAC=2ZABD；

⑵若">:OC=2:3,8。=2万时，求CX）的半径.

2.（2023•湖北襄阳•统考模拟预测）如图，已知在用48C中，AB=AC,N3AC=120。，点。是外一

点，ZADC=90°.

（1）尺规作图：请利用直尺和圆规作出的高AE（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）连接DE,若CO=；AC,判断四边形A8EO的形状并说明理由.

3.12023•广东江门•统考一模）如图，在“8。中，AB=AC,ZZi4C<90°,以A8为直径作分别交8C、

AC于点M、N,过点M作。O的切线交AC于点。.

⑴求证：NM=BM;

⑵若AB=17,8W=8,求MO的长.

题型06格点图中画等腰三角形

1.（2021•广东广州•执信中学校考三模）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A8,在网格

中再找一个格点C，使得“BC是等暧直用三角形，满足条件的格点C的个数是（）

2.（2022・贵州贵阳•校考一模）如图，A、4是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中

任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△A8C构成等腰三角形的概率是（）

A.—B

23-ID-

3.（2018•河北石家庄•统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1,A、3是格点，以A、8、C为

等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）

B.8个C.9个D.10个

题型07根据等角对等边证明等腰三角形

1.（2018・河北•模拟预测）如图，AD平分NS4C,AD1BD,垂足为点。，。e〃AC.求证：是等腰

三角形.

A

2.（2021•陕西西安•校考模拟预测）在切BCD中，对角线AC_LA8,B七平分/ABC交AO于点E,交AC于

点F.

（1）求证：AE=AB；

（2）若A8=3,BC=5,求A尸的长.

3.（2022•江苏泰州•统考二模）如图，矩形A8CO,将沿对角线4。翻折得到（如图I）,交

边BC于点、F,再将△3Q沿M翻折得到△忒；尸（如图2）,延长尸G交边A。于点H.设A8=〃?、BC=n.

图1图2

⑴求证：△8FD为等腰三角形；

（2）当〃?=6,四边形3EFG为正方形时，求〃的值;

（3）当四边形〃为菱形时，求时与〃的数量关系.

4.（2022.广东珠海•珠海市文园中学校考三模）如图，在矩形ABC。中，A8=12,点七是AO边上一点,

4EU=9O0,延长CE至点P,使C/=8,FG〃BE交AB于氐G,连接CG,交BE于点、

⑴求证：VKGH是等腰三角形；

（2）若点£为AO的中点，4）=24?,求tan/BCG的值.

题型08根据等角对等边证明边相等

1.（2023•广东东莞•模拟预测）如图，OE为“BC的中位线，且即平分NABC交DE于点F.若人8=6,

BC=10,MEF=.

2.（2021•湖北咸宁•统考模拟预测）在RlZVlBC中，ZC=9O°,ZB=30°,以顶点A为圆心，适当长为半

径画弧，分别交AC,AB于点E,F；再分别以点£厂为圈心，大于；石厂的长为半径画弧，两孤交于点P,

作射线”交〃。于点/）.则C。与〃。的数量关系是—•

A

3.（2022•江苏南京•南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形A8CD中，ZABC,4CO的平分线

分别交4。于点£F.若依="，CF=b,则8E的长为—.：用含m力的代数式表示）.

BC

V5-1

4.（2022•山东德州・统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金

2

矩形48CD中，AB<BC,BC=4,/A8C的平分线交AD边于点E,则AE的长为

1L

5.（2023•浙江宁波・校考一•模）如图，直线「=彳X与双曲线），=一交于A、8两点，直线BC经过点3,与双

3A

曲线y=&交于另一点C,ZABC=45°,连接AC,若AABC的面积是50,则4=.

X

题型09根据等角对等边求边长

I.（2020.河北.模拟预测）把两个同样大小含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐

角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点氏C,。在同一直线上.若AB=2,则

CD=.

2.（2023.四川成都・统考-•模）如图，四边形AM。是平行四边形，以点A为圆心.AC的长为半径作弧交人。

于M分别以点C,七为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线8P交AO的延长线于点

F,8c=4应，贝ljEF=.

3.（2023•浙江杭州•校考二模）已知如图，在矩形A8CO中，点E是A。的中点，连接8E,将沿着的

翻折得到△月近，EF交BC于点、H,延长防，OC相交于点G,若QG=8,8c=12,则PH=

4.（2021・重庆九龙坡•重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形A8C。中，点E是线段48上的一点，

AE<AB,DE上CE,将△8CE沿CE翻折，得到△/CE,连接。尸，若AO=3,AB=\0,则线段。厂的

长度为.

5.（2023・上海徐汇・上海市第四中学校考一模）在RtZVIBC中，ZC=90°,”为A8的中点，将RtZXABC绕

点做旋转，使点C与点、B重合得到ADEB,设边BE交边CA于点、N.若BC=2,AC=3,则AN=.

题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点

1.（2020•福建厦门•校考模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3,2）,点P（m,0）（m

<6）,若^POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2018•湖北武汉•统考一模）已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形，使得它的

第三个顶点在矩形ABCD的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.

1___________________.D

J-----------lc

3.（2018•内蒙古赤峰•校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4,点P是直线AD上一动点，若满足△PBC

是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为.

了---------------1c

题型11等腰三角形性质与判定综合

1.（2022・福建•统考模拟预测）已知4cgAB=AC,AB>BC.

图1图2图3

（1）如图1,C4平分NACQ,求证：四边形ABOC是菱形；

（2）如图2,将（1）中的△COE绕点。逆时针旋转（旋转角小于/84C）,BC,。£的延长线相交于点八用

等式表示/ACE与NEbC之间的数量关系，并证明；

（3）皿图3,将（1）中的△CQE绕点C顺时针旋转（旋转角小于NA8C）,若/BAD=/BCD,求乙4。3的

度数.

2.（2023.广西•模拟预测）已知△ARC是等边二角形，点七。美于直线4。对称,连接AO・CD.

⑴求证：四边形4BC。是菱形;

⑵在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD将线段尸。浇点P逆时针旋转，使点。落在84延长线

上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，//»。的大小是否发生变化？说明理由.

⑶在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

3.（2023•广西•模拟预测）如图，以,48为直径的。。经过“WC的顶点C,AE,即分别平分N3AC和NA3C,

A七的延长线交于点。，连接4Q.

⑴判断ABZ无:的形状，并证明你的结论：

（2）若A8=10,BE=2回,求8C的长.

4.：2022•北京西城•统考一模）已知正方形人8CO,将线段仍绕点B旋转。（0°<«<90°）,得到线段BE,

连接E4,EC.

图2

⑴如图I,当点E在正方形ABCZ）的内部时，若BE平分/ABC,AB=4,则NAEC=。，四边形ABCE

的面积为;

（2）当点石在正方形ABC。的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作NE8C的平分线8尸交EC于点G,交EA的延长线于点R连接。足用等式表示线段AE,FBtFC之

间的数量关系，并证明.

5.（2023・广西•模拟预测）如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC=\t。是BC边上的一点，以

为直角边作等腰心AWE,其中/D4E=90。，连接C£.

A

E

BD

⑴求证：△AB-AACE；

⑵若/BAZ）=22.5。时，求的长.

题型12等腰三角形有关的折叠问题

I.（2023•安徽芜湖・统考二模）在“WC中，E是边AB的中点，〃是AC边上一动点，连接瓦，将△AM

沿直线环折叠得△。历.

（1）如图（1），若.A5c为边长为4的等边三角形，当点。恰好落在线段CE上时，则"=_；

（2）如图（2）,若AABC为直角三角形.ZBAC=90°,AC=S.分别连接AO、BD、CD,若S~CD=SWDC，

且8=4,则Sj8c=_.

2.（2023•安徽蚌埠•一模）如图，中，CA=CB,NACH=50°,点E是8c上一点，沿OE折叠得,

点P落在NACB的平分线上，P/垂直平分4C,尸为垂足，则NPZ汨的度数是。.

3.（2023•吉林长春•一模）实践与探究

图①图②

⑴操作一：如图①，已知三角形纸片ABC,AB=AC,NB=30°,将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折

痕为AO,点8的对应点为点E,AE与CD交于点F,且。七〃AC,则ND4〃=度；

⑵操作二：如图②，将△。匹£沿。尸继续折叠，点E的对应点为点G.QG与4；交于点M,0G与AC交

于点N,则图②中度数为3。。的角共有个.

⑶根据以上操作所得结论，解答下列问题：

①求证：4AMN边ADMF；

②若8c=3,则线段MN的长为.

4.（2023・湖北恩施・统考一模）如图，“BC中，A3=4。，点。是8C的中点，将一ABC折叠，使点4与

点。重合，折痕为石尸，连接。瓦。尸.求证：四边形人M厂是菱形.

题型13等腰三角形有关的规律探究问题

1.（2021.四川乐山.统考一模）如图，△OA&为等腰直角三角形，。4=1,以斜边。4为直角边作等腰直

角三角形再以。4为直角力作等腰直角三角形…，按此规律作下去，则。4的长度为（）

A.

B以，图Y「

2.(2021•河南三门峡•统考二模)如图，在单位为1的方格纸上，△A&A，△44A，是斜

边在X轴上，斜边长分别为2,4,6,…，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为4(2,0),4(1,1),

4(0.0),则依图中所示规律，&⑶的坐标为()

A.(-1010,0)B.(1012.0)C.(2,-505)D.(1,505)

3.(2023・山东莉泽•统考三模)如图，在平面直角坐标系xQv中，有一个等腰直角三角形AO8,Z(MB=90°,

直角边AO在x轴上，且AO=1.将RtZ\AOB绕原点。顺时针旋转90。得到等腰直角三角形人。4,且

的=2AO,再将RtZXAO用绕原点。顺时针旋转9()。得到等腰直角三角形4毁，且&。=24。....依此规律,

得到等腰直角三角形4切。与阳，则点/3的坐标为.

4.(2021•黑龙江•校联考三模)如图，在等腰直角三角形ABC中，乙46c=90。，A4=4,分别连接回，AC,

8c的中点，得到第I个等腰直角三角形分别连接A8,AG，8a的中点，得到第2个等腰直角

三角形A/C……以此规律作下去，得到等腰直角三角形&020020Go20,则B色侬的长为.

BC5C2G

5.（2021・山东聊城・统考一模）如I图，在平面直角坐标系中，△空火山外人&必勺^^…都是等腰直角三角

形，其直角顶点6（3,3）,P2,八，…均在直线y=x+4上.设△《。4必6442,△匕42A..的面积分别为

%S2,S3,…，依据图形所反映的规律，.

题型14等腰三角形有关的新定义问题

1.（2023•浙江湖州•统考一模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，口这条

对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形.

（1）如图1,在四边形A8CO中，/BAD=NBCD=90°,连结点E是3。的中点，连结AE,CE.

①试判断四边形A8CE是否是双等腰四边形，并说明理由；

②若NAEC=90。，求/ABC的度数：

⑵如图2,点E是矩形A8C。内一点，点尸是边C。上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且延

CG3

工人£；交4。丁点6,连结FG.若AD=5,zrEFG=900,求A3的K.

FC-4

2.（2023•贵州铜仁•校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之

和最小的点叫做这个等腰三角形的''近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的''最近值

AAC

BD

图2

【基础巩固】（I）如图1,在等腰RtZ\ABC中，ABAC=900,AD为BC边上的高，已知A。上一点E满足

ZDEC=60°,AC=4«,求AE+BE+CE=

【尝试应用】（2）如图2,等边“8C边长为46，£为高线A。上的点，将△AEC绕点4逆时针旋转60。得

到公AAG,连接£F，请你在此基础上继续探究出等边”8C的“最近值”;

【拓展提高】（3）如图3,在菱形ABCD中，过A8的中点£作48垂线交C/）的延长线于点F,连接AC、08,

已知N8D4=75。，AB=6,求"尸定'最近值”的平方.

题型15等腰三角形有关的动点问题

I.（2023•河北邢台・模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点4（4,0）,点8为y轴正半轴上一动点，连接

AB,以A8为一边向下作等边三角形A8C,连接。C,则。C的最小值为（）

275C.1+25/3D.4

2.（2023•河南安阳•统考模拟预测）如图1,点P是等腰直角的斜边AC上一动点（不与点A,。重合）,

点D在边BC上,且尸8=P£>,设AP=x,△尸8。的面积为y,〉：与x的函数关系图象如图2所示，则腰A8

的长为（）

D.25/2

3

3.(2023・上海虹口•统考一模)如图，在aABC中，A8=AC=5,tan8=一，点M在边BC上，BM=3,

4

点N是射线BA上一动点，连接MN,将"MN沿直线MN翻折，点8落在点夕处，联结B'C,如果BC//AB,

那么8N的长是,

4.(2022.黑龙江大庆•统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系由，直线AB分别交x轴、N轴于点过

点8的直线与x轴交于点。(3,0),线段04,03(3>08)的长是一元二次方程f—9x+18=0的两个实数

根.动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿若折线A7区7C向终点C运动，过点P作x轴的垂线,

交x轴于点

(1)求直线A8的解析式；

⑵连接PC,设△APC的面积为S(S#0),点/>的运动时间为f秒，求S与/的函数关系式，并写出自变量，

的取值范围；

(3)在直线BC上是否存在点Q,使乙。。。为等腰三角形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理

由.

题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系

1.12022•湖北武汉•校考模拟预测)如图1,分别以dBC的A8、AC边为斜边向外作等腰直角三角形A⑺和

等腰直角三角形Ab,点G是AC的中点，连接加、BF.

(1)求证：△ADGsAABF；

(2)如图2,若/84C=90。，AB=26,AC=372,求4G。的正切值；

(3)如图3,以△ABC的BC边为斜边向外作等腰直角三角形8CE,连接EG,试探究线段加、%的关系,

并加以证明.

2.(2023・江苏盐城•校考二模)如图，四边形A8CD是矩形，点E在边的延长线上，点尸在边上,

(1)求证：△8'G是直角三角形；

⑵求8S/AG8的值；

(3)探究三条线段AG、DG、EG之间的等量关系，并说明理由.

3.12023•湖北十堰•统考一模)在中，AB=AC,D为阮边上一点(不与点B、C重合)，将线段4。

绕点A逆时针旋转90°得到AE.

E

⑴皿图1，连接EC,则线段8。与CE的数量关系是,位置关系是;

⑵如图2,当点。在8c的延长线上时，连接尾，写出此时线段AD3。,。。之间的等量关系，并加以证明；

⑶如图3,在四边形A8C尸中，ZABC=ZACB=ZAFC=45°.若BF=13,C尸=5,请直接写出AF的长.

4.（2023•山东东营・统考一模）（I）问题：如图①，在RlZ\ABC中，AB=AC,。为BC边上一点（不与点

8,C重合），将线段A。绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段B。和线段CE的数量关系是,

位置关系是______;

（2）探索：如图②，在与Rt/XAOE中，A/3=AC,AD=AE,将VAOE绕点八旋转，使点。落

在BC边上，试探索线段80,CD,OE之间满足的等量关系，并证明结论；

（3）应用：如图3,在四边形48CO中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=12,CD=4,求AO的长.

题型17利用等边三角形的性质求线段长

I.（2022.广东梅州.统考二模）如弱，在边长为6的等边△/WC中，。、E分别为边AC、AC上的点，与

相交于点P，若BD=CE=2,则△人8P的周长为.

2.（2021・江西・统考二模）如图，在等边三角形A8C中，。是AC的中点，。是边48上的一个动点，过点P

作PE_L/W,交BC于点E,连接若A8=8,△POE是等腰三角形，则的长是.

A

3.（2023•江苏南通・统考一模）如图，等边三角形A8C中，P,Q两点分别在边3GAC上，BP=CQ,D

是。。的中点.若BC=4,则8的最小值是.

题型18手拉手模型

1.12022•辽宁丹东•校考一模）如图，等腰金。中，C4=C3=4,ZAC8=120。，点。在线段上运动（不

与A、8重合），将△。。与△C3D分别沿直线C4、8翻折得到△（”?与△CBQ,给出下列结论：

®CD=CP=CQ；

②APCQ面积的最小值为生叵；

5

③当点。在A8的中点时，APOQ是等边三角形；

④当PQJL8Q时，A。的长为逑；

3

其中所有正确结论的序号是（）

Q

A.①②③B.①®@C.①②④D.①②③④

2.（2021.山东济南•统考二模）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4fZACB=120°,点。在线段A4上运动

（不与A、8重合），将△。。与4分别沿直线C4、C3翻折得到4。4尸与仆CAQ,给出下列结论：①CD

=CP=CQ；②/PCQ的大小不变：③△PCQ面积的最小值为苧；④当点。在48的中点时，ZiP。。是

等边三角形；⑤当PQ_L"Q时，4。的长为竽.其中所有正确结论的序号是一•

题型19等边三角形的判定

1.（2023•上海杨浦•二模）已知：在直角梯形A8CZ）中，AD//BC,NA=9（）。，沿直线3。翻折，点

A恰好落在腰CO上的点£处.

（1）如图，当点E是腰的中点时，求证：△BCD是等边三角形;

（2）延长虚交线段AD的延长线于点F,连接C”，ftn«CE2=DEDC,求证：四边形43c/是矩形.

2.（2019・山东•校考一模）如图，已知等边。。_1他于。，.4尸_1_4。，E为线段CD上一点，且CE=A/,

连接BF,EG_L4尸于G,连接。G.

（1）求证：BE=BF；

（2）试说明OG与■的位置关系和数量关系.

3.（2022•安徽马鞍山•校考一模）如图1,AAAC和△CD七都是等边三角形，且A,C,石在同一条直线上,

分别连接AO,BE.

B

P

B

图1图2图3

(1)求证：AD=BE；

(2)如图2,连接30,若何，N,Q分别为A4,DE,4。的中点，过N作NPJ.MN与MQ的延长线交于

P,求证：MP=AD；

(3)如图3,设AO与BE交于F点，点M在A8上，MG〃A。，交跖于〃，交C尸的延长线于G,试判断

的形状.

题型20等边三角形与折叠问题

1.(2023•山西晋城•模拟预测)如图，已知等边△A8C的边长为8,点/，是A8边上的一个动点(与点A、B

不重合)，直线/是经过点。的一条直线，把沿直线/折叠，点8的对应点是点8'.

备用图

(1)基础图形：如图1,当P8=4时,若点夕恰好在AC边上，求A*的长度;

(2)模型变式：如图2,当尸8=5时，若直线/〃AC,则BB'的长度为

(3)动态探究：如图3,点。在A8边上运动过程中，点8'到直线AC的距离为小.

①如果直线/始终垂直于AC,那么〃?的值是否变化？若变化，求出机的变化范围；若不变化，求出利的值;

②当尸8=6时，请直接写出在直线/的变化过程中，加的最大值.

2.(2023•河北秦皇岛•统考三模)如图1,等边三角形纸片ABC中，/W=12,点。在边BC上(不与点B、

。重合)，8=4,点E在边AC上，将ACOE沿OE折叠得到AC'OE(其中点C是点。的对应点).

AAA

图3

⑴当点C'落在AC上时，依题意补全图2,并指出C7）与A8的位置关系；

（2）如图3,当点C'落到NAC8的平分线上时，判断四边形C0CE的形状并说明理由；

⑶当点C'到A8的距离最小时，求C£的长；

（4）当4,C,£）三点共线时，直接写出NAEC的余弦值.

题型21等边三角形有关的规律探究问题

1.（2022・贵州遵义•校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中

的规律摆放.点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边

……”的路线运动.设第〃秒运动到点匕（〃为正整数），贝J点鸟侬的坐

标是•

2.（2022.辽宁抚顺.模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1,顶点8与原点O重合，过点B作

于点4/,过点4,作A由/〃。4,交OC于点以；过点B/作8M2_LAC于点4,过点42作42B2〃OA,交

OC于点历；…按着这个规律进行下去，点A2O2/的坐标是—.

o（3）B[B2B3B4Cx

3.（2021・广东汕头・统考一模）如图，边长为4的等边△/WC,AC边在x轴上，点8在），轴的正半轴上，以

08为边作等边△084/,边。4/与A8交于点O,以0/8为边作等边△。力①，边。凶2与A/8交于点。2,

以。28为边作等边△。2加3,边。乂3与48交于点03，…，依此规律继续作等边△OnlBAn,则402/的横

坐标•

A0C-x

题型22利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题

1.（2023•广东东莞•东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在正方形A5C。中，△4PC是等边三角形，BP、

CP的延长线分别交AOF点E,凡连接班）、DP,8。与C/相交于点儿给出下列结论：①NDPC=75。；

r）p2

②C尸=2AE；®—=-；④乙FP*APHB.其中正确结论的个数是（）

LJv--，

AFED

2.12023•山东泰安•统考二模）如图，正的边长为2,沿"BC的边4c翻折得AAOC,连接8。交AC

于点。，点M为8c上一动点，连接AM,射线A"绕点4逆时针旋转60。交8c于点N,连接MN、OM.以

下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是白；③当MN最小时S“MY=JS芟形册皿；④当

O

OM_L8C时，O^^DNAB,正确的是（）

A.①②③B.®®®C.©@®D.①②③④

3.（2022・福建厦门•校考二模）如图，四边形ABC。是矩形纸片，AB=2,对折矩形纸片A8C。，使AO与

BC重合,折痕为EA展平后再过点4折叠矩形纸片，使点A落在石厂上的点N,折痕3M与样相交于点Q；

再次展平，连接8N,MN,延长MN交8。于点G.有如下结论：①NA8N=60。；②/W=l：③△8MG

是等边三角形：④尸为线段8M上一动点，H是BN的中点、,则PN+9的最小值是石.其中正确结论的

序号是.

4.（2023•福建泉州•统考二模）如图，在菱形A8CO中，AB=2,乙48c=60。，点E在边4。上，连接.作

点A关于8E的对称点R连接石厂、BF、DF.现给出以下4个结论：①应:平分4W7；②菱形ABCZ）的

面积等于白；③所周长的最小值为2石；④当政工4。时，AE=M-\，其中正确的是.（写出

所有正确结论的序号）

BC

题型23利用垂直平分线的性质求解

I.：2022.河南驻马店.模拟预测）如图，在“3C中，4CB=90。，分别以点A和点C为圆心，大于gAC的

长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,直线MN与相交于点。，连接C。，若A8=3,则

CQ的长是（）

A.6B.3C.1.5D.1

2.（2023•山东济南•模拟预测）如图，矩形/WCD中，分别以A,C为圆心，以大于《AC的长为半径作弧，

两孤相交于M，N两点，作直线MN分别交AO,BC于点E,F,连接AR若3F=3,AE=5,以下结论第

误的是（）

A.AF=CFB.ZFAC=ZEACC.AB=4D.AC=2AB

3.（2023•吉林松原•校联考一模）如图，在从中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.ZDBF+ZDFB=90PD.ZBAF=ZEBC

4.（2023•甘肃酒泉•统考一模）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线OE交AB于点。，连接。C,若4B

=3.7,AC=2.3,则△AQC的周长是

题型24线段垂直平分线的判定

I.（2020•河南焦作・统考一模）已知，在△ABC中，A3=AC,如图，（I）分别以&C为圆心，BC长为半

径作弧，两弧交于点。：（2）作射线A。，连接BD,CD.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中他

送的是（）

A.ZBAD=^CADB.△BC。是等边三角形

C.人。垂直平分D.S,=AD.BC

2.：2020•浙江绍兴•模拟预测）如图，在AA8C中，A8=8C==30。,分别以点AC为圆心，AC

的长为半径作弧，两弧交于点。，连接。ADC则四边形ABCQ的面积为（）

A.66B.9C.6D.36

3.（2022•贵州铜仁•统考二模）如图，在矩形A3C。中，点E是40的中点，NE8C的平分线交。。于点尸将

GEF沿EF折叠，点、D恰好落在EB1.M点、处,延长AC、EF交于点N,有下列四个结论：①垂直平

分EN；②M平分/MR7；③ADEFs八FEB；@S^=3S^..其中，将正确结论的序号全部选对的

是（）

N

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

一、单选题

1.（2023•辽宁丹东•统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB||CD,以点B为圆心，以任意长为半径作

弧，分别交4B,于点6F,分别以E,尸为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在乙48c内交于点P,

作射线8P,交AD于点G,交CD的延长线于点H.若H8=AG=4,GD=5,则CH的长为（）

2.（2023・海南•统考中考真题）如图，在团力BCD中，AB=8,AABC=60°,BE平分N/1BC,交边AD于点E,

连接CE,若4E=2EO,则CE的长为（）

3.（2023・海南•统考中考真题）如省，在△力BGf,4c=40。，分别以点3和点C为圆心，大于的长为半

径画弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交边居于点D,连接8D,则乙408的度数为（）

,1

D

A.40°B.50°C.80°D.100°

4.（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，在△4BC中，Z-ABC=90°,^BAC=60°,以点力为圆心，以4B的

长为半径画弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,。为圆心，大于的长为半径画弧，两孤交于点P,

作射线力P交8。于点M,交8c于点E,连接OE,则另80由5“照的值是（）

5.（2023・山东济南・统考中考真题）如图，在△力BC中，AB=AC,Z-BAC=36%以点C为圆心，以8c为半

径作弧交47于点D,再分别以B,D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交A8于

点E,连接DE.以下结论不无砸的是（）

B.BC=AE

CBE_

D.S&AEC_遥+1

AC-2SaBEC2

6.（2023・江苏宿迁•统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为110。，则这个等腰三角形的底角是（）

A.70°B.45°C.35°D.50°

7.12022•山东德州,统考中考真题）如图，A/WC为等边三角形，边长为4cm,矩形的长和宽分别为4cm

和Qcm,点C和点E重合，点8,C（E）,F在同一条直线上，令矩形D"G不动，等边三角形4凤;以每秒1cm的

速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动入秒后，等边三角形力与矩形OEFG重叠部分的面枳

为A贝丹关于x的函数图象大致是（）

出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在％轴上，另一条直角边与x轴垂直，则

第100个等腰直角三角形的面枳是（）

A.298B.2"C.2197D.2198

二、填空题

9.（2023•辽宁丹东•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，已知点4（3,0）,8（0,4）,

点C在x轴负半轴上，连接48,BC,若tanzABC=2,以8C为边作等边三角形BCD,则点C的坐标为；

10.（2023.江苏•统考中考真题）若等腰三角形的周长是20cm,一腰长为7cm,则这个三角形的底边长是_