概率论与数理统计

《概率论与数理统计》

姓名:黄淑芹

学号:1543201000276

班级:数学与应用数学E

时间：2017年6月

概率论与数理统计

摘要：随机现象无处不在,渗透于日常生活得方方面面和科学技术得各个领

域,概率论就就就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其

本质得一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生得几率之小，抽签与体育

比赛赛制得选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败

等等,显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们得生活中也不

断得发挥重要得作用，如果没有统计学,人们在收集资料和进行各项得大型得数据

收集工作就就是非常困难得，通过对统计方法得研究,使得我们处理各种数据更加

简便，所以统计也就就是一门很实用得科学，应该受到大家得重视。

关键词:概率、统计、数学期望、方差、实际问题、应用

概率论与数理统计就就是研究随机现象统计规律得一门数学学科，就就是对

随机现象得统计规律进行演绎和归纳得科学。随着社会得不断发展，概率论与数

理统计得知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适

用并且强有力得思考方式。目前，概率论与数理统计得很多原理方法已被越来越

多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关得领域。本文将

就概率论与数理统计得方法与思想，在日常生活中得应用展开一些讨论”推导出

某些表面上并非直观得结论，从中可以看出概率方法与数理统计得思想在解决问

题中得高效性、简捷性和实用性。

(一)、概率

要学习与概率有关得知识,首先要知道事件得定义与分类及与她们有关得运

算性质：

随机事件

在抛掷一枚均匀硬币得试验中，“正面向上”就就是一个随机事件，可用A=

{正面向上}表示。

[11随机试脸中得每一个可能出现得试验结果称为这个试验得一个样本点,

记作而。全体样本点组成得集合称为这个试验得样本空间，记作C、即。={3

1,32,…,con,…}。仅含一个样本点得随机事件称为基本事件，含有多个样本点得随

机事件称为复合事件。

在随机试验中，随机事件一般就就是由若干个基本事件组成得。样本空间。得

任一子集A称为随机事件。属于事件A得样本点出现，则称事件A发生。例如，

在试验E中，令A表示“出现奇数点”，A就就就是一个随机事件,A还可以用样本

点得集合形式表示，即A={1,3,5!，她就就是样本空间Q得一个子集，在试脸中W

中，令B表示“灯泡得寿命大于1()00小时”，B也就就是一个随机事件,B也可

用样本点得集合形式表示，即B=1000},B也就就是样本空间得一个子集。

因此在理论上，我们称试验E所对应得样本空间。得子集为E得一个随机事

件，简称事件。在一次试验中，当这一子集中得一个样本点出现时,称这一事件发

生。

样本空间Q得仅包含一个样本点3得单点子集｛to｝也就就是一种随机事件，

这种时间称为基本事件。

[2]例如,在试验A中｛H｝表示“正面朝上”，这就就是基本事;在试脸B

中｛3｝表示“掷得3点”，这也就就是基本事件;在试验C中｛5｝表示“测量得误

差就就是0、5”，这还就就是一个基本事件。

（二卜统计与数学期望

数学期望得定义

离散随机变量得一切可能取值与其对应得概率P得乘积之和称为数学期望，

记为E、如果随机•变量只取得有限个值:x,y,z,、、、则称该随机变量为离散型随

机变量。

随机变量得数学感望值

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量得期望值（或数学期望、或均值，亦

简称期望）就就是试验中每次可能结果得概率乘以其结果得总和。换句话说，期望

值就就是随机试验在同样得机会下重复多次得结果计算出得等同“期望”得平

均值。需要注意得就就是，期望值并不一定等同于常识中得“期望”——“期望

值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说,期望值就就是该变量输出值得平均

数。期望值并不一定包含于变量得输出值集合里。）

对于数学期望得定义就就是这样得。数学期望

E(X)=XI*p(XI)+X2*p(X2)+……+Xn*p(Xn)

X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据,p(Xl),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个教

据得概率函数。在随机出现得几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函

数就理解为数据XI,X2,X3,……,Xn出现得频率f(Xi)、则：

E(X)=XI*p(Xl)+X2*p(X2)+……+Xn*p(Xn)=Xl*flCXl)+

X2*f2(X2)+……+Xn*fn(Xn)

很容易证明E(X)对于这几个数据来说就就就是她们得算术平均值。

我们举个例子，比如说有这么几个数：

1,1,2,5,2,6,5,8,9,4,8,1

1出现得次数为3次,占所有数据出现次数得3/12，这个3/12就就就是1

所对应得频率。同理，可以计算出f(2)=2/12,f(5)=2/12,f(6)=1/12,

f(8)=2/12,f(9)=1/12,f(4)=1/12根据数学期望得定义：

E(X)=l*f(l)+2*f(2)+5*f(5)+6*f(6)+8*f(8)+9*f(9)

+4*f(4)=13/3所以E(X)=13/3,

现在算这些数得算术平均值：

Xa=(1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12=13/3

所以E(X)=Xa=13/3

(三卜方差

方差得定义

在概理论与薮理统计中，方差(英文Variance)用来度量随机变量和其数学期望

(即均值)之间得偏离程度。在许多实际问题中,研究随机变量和均值之间得偏离程

度有着很重要得意义。

方差就就是实际值与期望值之差平方得期望值，而标准差就就是方差平方

根。在实际计算中，我们用以下公式计算方差。方差就就是各个数据与平均数之

差得平方得平均数，即个2=(1/n)[(xl・x_T2+(x2-x1人2+、、、+(xn-x_)A2],

其中，x_表示样本得三均数,n表示样本得数量”表示平方,xn表示个体，而s人2

就表示方差。而当用(l/n)Kxl-x_T2+(x2-x_T2+、、、+(xI)-x_),2]作为总体X

得方差得估计时,发现其数学期望并不就就是X得方差，而就就是X方差得("l)/n

4t-:[l/(n-l)][(xl-xJA2+(x2-x-)-2+、、、+(xn-x_)人2]得数学期望才就就是X得

方差，用她作为X得方差得估计具有“无偏性”，所以我们总就就是用

U/(n-l)]£(Xi—X〜尸2来估计X得方差，并且把她叫做“样本方差”。设X就就

是一个随机变量，若Ef[X-E(X)]人2｝存在，则称E｛[X-E(X)F2｝为X得方差，记为

D(X)或DX。

即D(X)=E｛[X-E(X)「2｝称为方差，而o(X)=D(X)人0、5(与X有相同得量纲)

称为标准差(或均方差),即用来衡量一组数据得离散程度得统计量。方差刻画了

随机变量得取值对于其数学期望得离散程度。若X得取值比较集中,则方差D(X)

较小;若X得取值比较分散,则方差D(X)较大。因此,D(X)就就是刻画X取值分散

程度得一个量，她就就是衡量X取值分散程度得一个尺度。

方差得几个重要性质

⑴设C就就是常数，则D(c)=0o

A

(2)设X就就是随机变量,c就就是常数，则有D(cX)=(c2)D(X)O

(3)设X与Y就就是两个随机变量，则

D(X4-Y)=D(X)+D(Y)+2E{|X-E(X)][Y-E(Y)]}

特别得，当X,Y就就是两个相互独立得随机变量,上式中右边第三项为0(常见

协方差)，则D(X+Y尸D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立得随机

变量之和得情况、

(4)D(X)=0得充分必要条件就就是X以概率为1取常数值C,即P{X=c}=1,

其中E(X尸c。

(四卜实际问题与应用

⑴生日概率问题

每个人都有自己得生日(指一年365天中某一天)，随机相遇得两人得生日要

在365天中得同一天，即使有也就就是很凑巧，但如果相聚得人数增多，可能怛会

增大;某次随机相遇无论男女、老幼，若人数达到了50以上,形成一个团体(如集会、

上课、旅游等)。

1、随意指定一个人，您猜某天正好就就是她得生日，猜对得可能性有多大？

2，随意指定二个人，您猜她俩生日就就是同一天，猜对得可能性有多大?

3、某一团体有一群人，我绝对可以肯定至少有2人生日相同，这群人人数至少

要多少？

4、如果某个随机而遇得团体有50人以上，我敢打贿，这个团体几乎可以肯定

有生日相同得两个人，您相信吗？

问题1、解:一年有365天，她某天生日概率pQ。、0027,故猜对得可能性微

乎其微。

问题2、解:两个人生日,总共可能性有365X365种搭配，其中有365种生

日相同，故随意指定二个人，生日相同得概率p2O、0027，故猜对得可能性仍旧微

乎其微。

问题3、解:某一团体中，绝对肯定至少有2人生日相同，即为必然事件,p=1。

由抽屉原理可知，这群人至少要有366人。

问题4、解:要解决这个概率问题,我们首先来计算一下,50个人生日得搭配一

共有多少种可能情况。第一个人生日，可以就就是一年中任何一天,一共有365种

可能情况，而第二、第三及其她所有人生日也都有365种，这样50个人共有365

种可能搭配。如果50人得生日无一相同，那么生日搭配可能情况就少得多了。第

一个人有365种可能，笫二人因不能与第一个生日相同，只有364种可能，依次类推,

如5()人生日无一相同,其生日搭配情况只有365X364X363X„„X317X316

种只占365X)5()种情况中得3%,即p=3%。即反面推至生日2人相同概率有9

7%o同理可推算如果

某群人有40人，至少两人生日相同概率有89%,如果有45人至少两人生日相

同得概率达94%。故这样赌局,几乎可以稳操胜券。

(2)、保险赔偿问题

目前，随着人们得经济水平越来越高，自身及家人得安全问题、财产安全及养

老问题等受到了极大得重视，有一定经济条件得人纷纷选择购买保险来给自己一

份保障；我们可能就有疑惑，就就是保险公司受益还就就是投保人受益，谁才

就就是最大受益者？通过下面这个例子也许她们会明白一些。

某一保险公司，有3000个统一年龄层得相同社会阶层得人参加保险。在

一年内，每个人死亡得概率为0、002o每个参加保险得人在1月1日付12元

保险费，而当她在这一年死亡时，家属可从公司领取保险费2000元，问保险公

司每年盈利得概率就就是多少？且获利不少于10000元得概率就就是多少？

乍一看，很难知道保险公司就就是否盈利，但经过一系列计算就可以得知保

险公司几乎就就是必定盈利得！

设X表示参保得3000人中一年内死亡得人数，则X可能得取值有

0,1,2,3”3000,且X服从B(3000,0、002)o用A表示“保险公司盈利”，B表

示“保险公司营利大于100()0元”

由题可知人=(3000X12-2000X>0}=(X<18},B={3000X12-2

000X>l0000}={X<13}>P(A)=P{X<18}==0^999;P(B)=P{x<=13}

二0、9964;

以上结果表明，保险公