概率论与数理统计试题及答案

考试科目：概率论与数理统计考试时间：

总

120分钟试卷总分100分―■~1三四

分

题号

得分123456

一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题,

每题3分，总计15分)

1.掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为(A)o

(A)1/3(B)2/3(C)1/6(D)3/6

2,设随机变量的概率密度，则K=(B

(A)1/2(B)l(C)-l(D)3/2

3.对于任意随机变量，假设，则(B)。

(A)。④力=。0(B)OC+77)=DC)+D(〃)

(0477肯定独立(D)不独立

5.设，且，，则P{-2<<4}=(A

(A)0.8543(B)0.1457(00.3541(D)0.2543

二、填空题(在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每题3分，总计15分

1.设A.B为互不相容的随机事件则(0.9)。

2.设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为11/10)。

3.设随机变量X的概率密度则(8/10)。

4.设D()=9,D()=16,,则。()=(13)。

*5.设，则(N(0,1))。

三、计算题(本大题共6小题，每题10分，总计60分)

1.某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25%,35%,

40%,又这三条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.02o现从出厂的产品中任

取一件，问恰好取到次品的概率是多少？

(1)全概率公式

P(A)=y/?,)=—X—+—X—+—X—(6分)

£'*”100100100100100100

=0.0345(4分)

2.设连续型随机变量的密度为

⑴确定常数A(2)求P[X>0.2}(3)求分布函数F(x).

(2)@J(p{x}dx=^OtZr+£Ae~Sxdx=^A=1(3分)

故A=5o

②P（4>0.2）=dx=/。0.3679.(3分)

③当x<0时,F（x）=0;(1分)

当时，（2分〕

故.（1分）

3.设二维随机变量（〕的分布密度

求关于J和关于77的边缘密度函数。

⑶

<(幻=］，(％)')办’（2分）

_6dy=6(x-x2),0<x<1

（3分）

110其它

/、.(5)=J：（2分）

'I-

£■6Jx=6(77-y),o<y<l

=（3分）

「0其它

4.设连续型随即变量的概率密度，

求E(x),D(x)

(4)£X=£1x2rfx+J-)x(2-x)rfx=-I+(4-l)--1(8-l)=l(4分)

EX2=£x3dr+^x2(2-x)di=^+|(8-l)-^(16-l)=1(3分)

71

DX=EX2-(EX)2=--l=-(3分)

66

四.证明题(本大题共2小题，总计10分)

2.设是独立随机变量序列，且，

试证｛XJ服从大数定理。

⑵E(X«)=(-2%)x去+0x(1-4)+2”击=0，(2分)

D(XQ=E(X：)=(一2"尸x去+⑵尸/=1,(k=1,2,…).(2分)

由切比雪夫大数定理可知｛X』服从大数定理。（1分）

考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100

分

一、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每题3分，总计15分)

1.设为两随机事件，且，则以下式子正确的选项是一A—

A.B.

C.D.

2.设那么当增大时，C

A.增大B.减少C.不变D.增减不定

3.设_A_

A.1B.2C.3D.0

二、填空题(本大题共5小题，每题3分，总计15分

1.设A.B、C、是三个随机事件。用A.B、C表示事件“A・B、C至少有一个发生〃

AJBJC;

2.设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是0.1

3.设随机变量X与Y相互独立，则随机变量的概率密度函数；

4.贝I」1.16

三、计算题(本大题共6小题，每题10分，共计60分)

1.设考生的报名表来自三个地区，各有1()份，15份,25份，其中女生的分别为3份,7份,5份。

随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。

B为“取得的报名表为女生的〃，4为“考生的报名表是第i个地区的〃，i=l,2,3

由全概率公式2分

3

3分

i=l

131711

二一X—+-X—+-X-3分

31031535

29

1分

~90

即先取到一份报名表为女生的概率为.1分

2.设随机变量X的概率密度为，求①A值；②X的分布函数；③

(1),2分

⑵尸力1分

0,x<0

=.「()山+J；(一？+1df,0<x<2

3分

1,x>2

0,x<0

12

=<——x~+x,0<x<21分

4

1,x>2

（3）P{1.5<X<2.5}=F（2.5）-F（1.5）=0.06253分

3.设二维随机变量有密度函数：

求：（1）常数；

（2）落在地域D的概率，其中

3.,5分

P（（x,y）eD}=P{0<X<1,0<7<2}

5分

=12""到:eY'办=（]_/）（]_1卜09502

4.设足球队A与B比赛，假设有一队胜4场，则比赛结束，假设A,B在每场比赛中获胜的概率均

为，试求平均需比赛儿场才能分出胜负？

4.设为需要比赛的场数，1分

则，，，，4分

所以石（X）=4xl+5x‘+6xW+7x9a5.8

4分

v7841616

答：平均需比赛6场才能分出胜负1分

2.设为相互独立的随机变量序列,

证明｛X“｝服从大数定律。

2.1分

£>（X“）=E（X：）+[E（X.）]2

•—•—+o2-f1--

1分

ri〃\M；

=2

I〃+i2

令匕=-ZXj，〃=2,3,…，则题工）=0,。化）=一，2分

几i=2〃

,由切比雪夫不等式知

P值-E（匕）1<£后1一亲

1分

故有，

即{X,J服从大数定律。1分

1.对于事件,以下命题正确的选项是—D

A.假设互不相容，则

B.假设相容，则

C.假设互不相容，则

D.假设那么

2.假设随机变量X的分布函数为，密度函数为.假设X与一X有相同的分布函数，则以下

各式中正确的选项是—C—

A.=；B.=；

C.—；D.—；

3.假设，，那么的联合分布为—C—

A.二维正态，且；B.二维正态，且不定；

C.未必是二维正态；D.以上都不对.

4.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则是X和Y的—C—

A.不相关的充分条件，但不是必要条件；B.独立的必要条件，但不是充分条件；

C.不相关的充分必要条件；D.独立充分必要条件.

二、填空题（本大题共5小题，每题3分，总计15分

1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生〃

ABCUABCUABC;

2.设离散型随机变量X分布律为则A=1/5

3.用的联合分布函数表示=;

4.且则7.4

三、计算题（本大题共6小题，每题10分，共计60分）

1.轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400,200,100（米）的概率分别为0.5,0.3,0.2,又设他

在距离目标400,200,100（米）的命中率分别为0.01,0.02,0.1,求目标被命中的概率。

1.由全概率公式2分

0.5*0.01+0.3*0.02+0.2*0.!=0.0317分

目标被命中的概率为.1分

2.设随机变量的概率密度为，求①值；②的分布函数；③求落在区间内的概率。

2.（1），2分

⑵小）=口。）/1分

0,xW—1

rv1,1.111

=<——,at=—arcsinx4--,-1<x<14分

JT小工1K2

1,x>]

（3）尸{-0.5<X<0.5}=/（0.5）—尸（一0.5）=1/33分

3.设二维随机变量的密度函数：

求：求关于与关于的边缘分布密度；

3.当时，3分

2J-2一f

-R<x<R

于是fx(x)=<一短一2分

0,其他

2次-尸R<x<r

同理/丫()，)=X5分

0,其他

4.设随机变量具有密度函数，求及。

4.£(X)=(12公+1工(2-1)公=15分

D(X)=EX2-(EX)2=^x3dx+^x2(2-x)clx-l=l/65分

四、证明题(本大题共2小题，每题5分，共10分)

2.设，是独立随机变量序列，

证明｛XJ服从大数定律。

2.

由切比雪夫大数定理可知｛XJ服从大数定理。(1分)

一、填空题(本大题共5小题，每题4分，总计20分)

1.设为随机事件，，，，则2/3

2.设10把钥匙中有2把能翻开门，现任意取两把，能翻开门的概率是17/45

3.设~~，且与相互独立，则35

4.设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为-5/6

5.设随机变量的数学期望，方差，用切比雪夫不等式估量得4/5

二、选择题(在各小题四个各选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每题4分，总计20分)

1.设事件相互独立，且，，，则有B

(A)P(B|A)=0;(B)P(A|B)=P(A);

(C)〃(A|3)=0;(D)〃(A6)=〃(A)

2.设~，那么概率D

(A)随〃增加而变大；(B)随4增加而减小；

(C)随。增加而不变；(D)随o•增加而减小

3.设一则C

1234

(A)(B)(C)(D)-

JJJ

4.设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则—D—

(A)\-e-];(B)1一夕之；(C)1-202；①)1-0.5^'

三、计算题(本大题共5小题，每题10分，共计50分)

1.某产品整箱出售，每一箱中2（）件产品，假设各箱中次品数为（）件，1件,2件的概率分别为80%,

10%,10%,现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次

品，则退货，求:（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）在顾客买下的一箱产品中、实在无次品的

概率.

解:设表示“顾客买下该箱产品〃,分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”则80%,

10%10%,,1,,,（3分）

由全概率公式得：448/475,（7分）

由贝叶斯公式得：95/112（10分）

2.随机变量的密度为，且，

求:（1）常数的值;（2）随机变量X的分布函数万（x）

解：⑴由l=J/(x)公=a/2+b,5/8=P{X>l/2}=Ji2/(x)d!r=3a/8+Z?/2解得

a=l,b=l/2(4分)

（2），当时，,当时，，当时，，

所以

0,x<0

F(x)=,(/+x)/20<x<1（10分）

1,x>\

3.设二维随机变量有密度函数:

（1）求边缘概率密度人（x）,4（y）；（2）求条件密度AiMxly）,人区（田力；

（3）求概率p{x>y「

⑴力（力=口（苍心=[2：2+2”0<x<l

解:

其他

l/3+y/6,0<y<2

人（>）=匚八乂丁"=,(4分)

0,其他

6x2+2xy

⑵当(””2时，人(x|y)=^^0<x<1

2+y

Jy(力

0,其他

2

f(xv)[3x^-xy

x=;204y42（8分）

当OvxWl时,Aix(yl)f.=6X+2X

JxI")八其他

,1

⑶P{X>Y}=Jf(x,y)dy=^dx^厂+尸的=7/24(10分)

x>y

4.设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设，，求随机变量与的相关系数

4.解:E(x)=E(y)=2,D(X)=D(y)=2,E(t7)=3A,E(V)=32

D(U)=D(V)=5A,Cw(t/,V)=4D(X)-D(Y)=3/1,(8分)

Cov(U,V)

=3/5(10分)

6(可6")

四、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分）

1.设事件相互独立，证明事件与事件也相互独立

1.证明：由于事件相互独立，所以，，，，（2分）所以

即尸（（A—B）C）=P（A-B）P（C），所以事件A—3与C也相互独立（5分）

一、填空题（本大题共5小题，每题4分，总计20分）

1.设AB是两个随机事件,P（4）=0.7,尸（A—B）=0.3,则事件“AB同时发生〃的

对立事件的概率为0.6

2.设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次

品的概率是0.1

3.设随机变量与相互独立，〜〜则随机变量的方差为24

4.设随机变量的数学期望，方差，用切比雪夫不等式估量得，则10

二、选择题（在各小题四个各选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每题4分，总计20分）

1.设总体〜，是取自总体的一个样本，则为参数的无偏估量量的是（A）

(A)-----X『；(B)，夕(X：-—717—2

X厂；(C)-ZX：;(D)X

〃-1/=1〃/=!

2.设〜，则满足的参数（C)

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3

3.设，，则（C）

3456

(A)(B)©-；(D)-

7777

三、计算题（本大题共5小题，每题10分，共计50分）

1.两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球,6个红球，第二箱中6个白球,4个红球，现从

第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球,（。求从第二箱中取的球为白

球的概率：（2）假设从第一箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率

1.解：设表示“从第二箱中取的球为白球〃，分别表示“从第一箱中取的2个球都

为白球,1白1红,2个球都为红球〃，则=2/15,=8/15,=1/3,2/3,7/12,1/2,（4

分）由全概率公式得：17/30,由贝叶斯公式得：8/51（10分）

2.设随机变量与同分布，的概率密度为，事件与事件相互独立，且，求常数

的值。

2.解：由于事件相互独立，所以，所以

，解得

或（舍去），（5分）

所以，得（1（）分）

3.设二维随机变量有密度函数:

（1）求常数A；

（2）求边缘概率密度&

（3）X）是否相互独立。

3.解：⑴，（4分）

⑵/x（X）=匚/（为）独=,,x>0

其他

八H二小"T；'品8分）

（3）,所以相互独立。（10分）

4.设随机变量~，〜，相关系数，设

求：（1）随机变量的期望与方差；

（2）随机变量X与Z的相关系数夕xz

4.解：⑴~，〜，所以，，，，，所以

,（5分）

⑵由于，所以（10分）

四、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分）

1.设事件相互独立，证明事件与事件也相互独立.

1.证明：由于事件相互独立，所以，，，，所以

即P（（AL3）C）=P（AJB）P（C），所以事件AU5与C也相互独立。（5分）

一、填空题（本大题共6小题，每题3分，总计18分）

1.设为随机事件，，，则2/3

2.10个球队平均分成两组进行比赛，则最强的两个队分到同一组的概率为2/9

3.设随机变量在区间上服从均匀分布，则的数学期望为

4.设~为二项分布，且一则一8—0.2

5.设随机变量在区间上服从均匀分布，用切比雪夫不等式估量得1/12.

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小

题，每题3分，总计18分〕

1.设为事件，且，则以下式子肯定正确的选项是（B）

（A）P（AUB）=P（A）;（B）P（BA）=P（A）;

（C）P（AB）=P（B）;（D）P（A-B）=P（A）-P（B）

2.设随机变量的分布率为，，则（D）

（A）e";（B）/;（C）（D）/-1

3.设，概率密度为，分布函数为，则有（A）

（A）P{X<l}=P{X>\};（B）P{X<0}=P{X>0};

（C）/（x）=/（-x）,XG/?；（D）F（x）=l-F（-x）,xwR

4.设，，则（A）

5.设随机变量满足方差，则必有（B）

（A）x与y独立；（B）x与y不相关；

（C）x与y不独立；（D）o（x）=o或。（y）=o

三、计算题（本大题共6小题，每题10分，共计60分）

1.有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球,4个白球，第二个盒子中有4个黑球,2个白球，第三个

盒子中有3个黑球,3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.

（1）求此球是白球的概率；

（2）假设取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.

解:设表示“取得的为白球〃，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球〃则，，，，

（2分）

由全概率公式得：1/2,（6分）

由贝叶斯公式得：4/9（10分）

2.连续型随机变量的分布函数为，其中为常数。

求:⑴常数A3的值;（2）随机变量X的密度函数/（x）;（3）p[^<X<a

解:⑴由右连续性，，得，，解得（6分）

1

——।,-a<x<a

（2）f{x）=F\x）=<7r\la2-x2,（8分）

0,其它

（3）P（^<X<a=

F（a）-F（a/2）=l/3（10分）

（2J

3.设随机变量在区间上服从均匀分布，求概率密度。

3.解：的概率密度为，，，反函数导数，，，所以的概率密度为（10分）

4.设二维随机变量的密度函数：

（I）求常数A的值；[2）求边缘概率密度小（耳,人（y）；

（3）X和丫是否独立？

4.解：⑴由，得（3分）

/2（l-x）,0<x<l

⑵/x（x）=«L'其他（6分）

人（加口°盘1（9分）

（3），不独立（10分）

5.设二维随机变量的概率密度函数：

求⑴数学期望£（x）与石（y）；⑵x与丫的协方差Gou（x,y）

5.解：，（2分），（4分）（6分），所以=9/40（10分）

1.四、证明题（本大题共1小题，每题4分，共4分）

2.设三个事件A3,C满足ABuC,试证明:p（A）+P（3）W1+P（c）

1.证明：由于，所以，所以

尸（A）+尸（3）=尸（A.3）+P（AB）<P（AJB）+P（C）<1+P（C）（4分）

一、填空题（本大题共6小题,每题3分，总计18分）

1.设为随机事件，，，则0.1

2.10件产品中有4件次品，从中任意取2件，则第2件为次品的概率为（）.4

3.设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为

4.设随机变量的期望，方差，则期望54

5.设随机变量服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估量得

1/2

二、选择题（在各小题四个各选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小

题，每题3分，总计18分）

1.设为对立事件，，则以下概率值为1的是（C）

（A）耳汨耳）；（B）P（B|A）;（C）尸（D）P（Afi）

2.设随机变量~，概率密度为，分布函数，则以下正确的选项是（B）

（A）P{X<0}=P{X>0};（B）P{X<1}=P{X>1];

（C）/（x）=/（-x）,xeR;（D）F（x）=l-F（-x）,xwR

3.设是随机变量的概率密度，则肯定成立的是（B）

（A）/（x）定义域为[0,1];（B）非负；

（C）的值域为[0,1];（D）/（X）连续

4.设一则（A）

22041

⑹丁⑻-；（Q-；①）-

5.设随机变量的方差，，相关系数，则方差（D）

（A）40;（B）

三、计算题（本大题共6小题，每题10分，共计60分）

1.甲乙丙三个同学同时独立参加考试，不及格的概率分别为：0.2,0.3,0.4,

（1）求恰有2位同学不及格的概率；

（2）假设3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.

1.解:设分别表示“甲，乙，丙同学不及格〃，则，，，由题意相互独立（2分）

（1）事件“恰有2位同学不及格〃为：，所以

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.188（6分）

P(BD)P(ABCyP(ABC)

⑵尸（切。）=

jDI।/(10分)