概率论与数理统计题库

事件的关系与运算

1.设回表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销"则其对立事件回为(A)

(A)”甲种产品滞销或乙种产品畅销”.(B)“甲种产晶滞销”.

(C)“乙种产品畅销”.(D)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、设为三个事件，则事件“都不发生”可表示为(C)

(A)~ABC；(B)\-ABC；(C)ABC；(D)AuBvC.

1.某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件相｛第13幡楼房经评估鉴

定为安全｝(13=1,2,3)。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全”用团可表示为团；

二、五大公式：

3、设团在123,4中等可能取值方再从团中等可能取一整数，则

p(r=4)=(A)；

(A)1/16;(B)7^8；(C)1利8；(D)2%48.

1.已知事件团，团有概率囿团条件概率团，则团0.62

1.已知事件回回有概率团团条件概率比则团0.78；

1.已知事件团团有概率团，条件概率团，则团0.28；

1.设团、团、团是三个事件，团,团,回，则回芈(或0.75)；

1.设团，团，团则团1/3；

1.设团、回是两个随机事件，且回，回,团，贝崛发生的概率为3;

1.已知团⑼田，则国5/12；

1.已知团，团，回，则团5/3；

1.已知团，团0,则团4/15;

6.设A.B是两事件，如果满足等式P(AB)二P(A)P(B),则称事件A.B相互独立；

1.设团、团是两个随机事件，且回，回回贝崛发生的概率为；

1.已知团且团，则团b-c；

3.设团、回、回是随机事件,团与团互不相容，回则回小；

1.设事件、互不相容，，，则

(A).(B).(C).(D).(D)

1、若，则(C)

(A)0.2：(B)0.45：(C)0.6：(D)0.75：

1.若⑼则团(C)

(A)1/5；(B)1A；(C)3；(D：lV2;

9、设P(A)=0.8,尸(8)=0.7,P(A|8)=0.8,则下列结论正确的是(A)

(A)A与B相互独立；(B)A与B互斥；

(C)BoA；(D)P(AuB)=P(4)+尸(8).

8、对于任意事件和，有(C)

(A)2(A)一2(6);(B)F(A)—P(6)+P(A6);

(C)P(A)—尸(AB);(D)P(A)+P(B)—P(A8).

9、设A.B为随机事件，且则必有(C)

(A)尸(AuB)>P(A);(B)P(Au3)>尸(8);

(C)尸(Au8)=P(A);(D)P(A"=P(B).

1.从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425

分的概率为0.8,不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加

了培训I。

（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？

（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？

解设事件即“参加培训”，阳"英语CET4成绩超过425分”，则

盟，团团团，所以

（1）P（B）=尸（4）P（B|A）+P（A）P（B|X）=0.7x0.8+0.3x0.4=0.68。

⑵P（9=厘-P（A）P（BA）-小”-0823529。

P（B）P（B）0.68

1.在某工厂里有甲、乙、两三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%,并

且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%o

问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格

品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？

解：设团表示“螺丝钉由甲台机器生产”，团表示“螺丝钉由乙台机器生产”，团表示“螺

丝钉由丙台机器生产””表示“螺丝钉不合格”。

（1）由全概率公式P（B）=p（A）p（@A）+p（4）p（叫4）+p（4）P（44）

=0.25X0.05+0.35X0.04+0.40X0.02=0.0345；（5分）

（2）由贝叶斯公式P（A忸）=」（A）尸（目4）=0.25x0.05=o362319（3分）

1.金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8,若换水,

则金鱼死去的概率为0.15o有0.9的把握确定朋友会记得换水。

问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换

水的概率为多大？

解：设团表示“朋友换水”方表示“金鱼还活着"则团,团同⑼周团，

(1)由全概率公式P(B)=P(A)P(WA)+P(彳)P(目不

=0.9X0.85+0.1X0.2=0.785；..........................(5分)

(2)由贝叶斯公式P(司后区)二°」，68=().372093...(8分)

P(B)1-0.785

1.已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,

一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的

概率；(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设团”任取一产品，经检验认为是合格品”.................(2)

B="任取一产品确是合格品”

则(1)P(A)=P(B)P(A|8)+P(m)P(A|耳).................(3)

=0.9x0.95+0.1X0.02=0.857.

(2)0.................(2)

1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、

三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1,2,3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否

则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求：

(1)取出的球是白球的概率；

(2)当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解：设葬“选中的为甲盒”，葬“选中的为乙盒”，年“选中的为丙盒”，即“取出

一球为白球“，已知团

,田........................(3分)

(1)由全概率公式P(D)=-x-i-+-x-+-x-=-................(2分)

6363669

31

(2)由Bayes公式产⑷⑶:针)了........................(2分)

।8

9

1.发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“产和“一”，由于通信系统受到干扰，当

发出信号“•”时，收报台未必收到“・"，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“•”和

“一”，同样当发出信号“一”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“一”和“・”，

求：(1)收报台收到信号“・”的概率；(2)当收报台收到信号“小时，发报台是发出

信号“・”的概率。

解:设阳"发出信号即"发出信号'一'”,即“收到信号已知团，团

0,0..........(3分)

(1)由全概率公式

P(C)=P(A)P(C|A)+=0.6x0.8+0.4x0.1=0.52......(2分)

(2)由Bayes公式「(m)__"6x0.8上……分

P(C)0.5213

1.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的

数据：

元件厂次品率市场份额

10.020.15

20.010.80

30.030.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

⑵在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率最

大。

解：设团”取到的一只元件是次品”，团”所取到的产品是由第i家工厂提供的“，1=1,23.

则

P(BJ=0.15,P(B2)=0.80,P@)=0.05,P(A|BI)=0.02,P(A\B2)=().01,

P(A\B.)=().03.................(2分)

于是(1)由全概率公式得

P(A)=P(A|4)P(4)+P(A\B2)P(B2)+P(A|8JP(4)=0.0125.

.................(2分)

(2)由贝叶斯公式得

0.02z().15

P(B\A)==0.24,

P(A)0.0125

出皿丝二o四里22二0」2.

21P(A)31P(A)

故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。................(3分)

1.在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡，它们的产量各占25%、35%、40%,并

且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%。问：

(1)质检员现任取一只该厂灯泡，则该灯泡是不合格品的概率为多少？

(2)若现在检出该只灯泡是不合格品，则该灯泡是甲厂生产的概率为多大？

解：设团表示“灯泡由甲台机器生产”，回表示“灯泡由乙台机器生产”，团表示“灯泡由

丙台机器生产”方表示“灯泡是不合格品”，.......(2分)

(1)由全概率公式P(B)=P(A)P(@4)+P(4)P®4)+P(A3)P(B|A3)

=0.25X0.05+0.35X0.04+0.40X0.02=0.0345；.......(3分)

(2)由贝叶斯公式尸⑷3)=上铲=端詈=0362319…(2分)

15.据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%,在人群中约有

20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%,试求：

⑴不吸烟者患肺癌的概率是多少？

(2)如果某人查出患有肺癌，那么他是吸烟者的可能性有多大？

解：设团“吸烟”，C="患肺癌”，则

P(C)=0.001,P(A)=0.2,P(C|A)=0.004................(2分)

于是(1)由全概率公式得

P(C)=P(C\A)P(A)+P(C\A)P(A)

HR0.001=0.004x0.2+P(C|A)x0.8................(2分)

得P(C|万=0.00025................(1分)

(2)由贝叶斯公式得

P(C|A)P(A_020.004

P(A|C)=(2分)

P(C)0.001

三、三大概型(古典、几何、伯努利)

2.设10件中有3件是次品。今从中随机地取3件，则这三件产品中至少有1件是次品的

概率为团；

2.已知10件产品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件•，作不放回抽样，则其中

一件是正品，一件是次品的概率为1^45；

2.10张彩票中有5张是有奖彩票。从中任意抽取5张，其中至少有两张中奖的概率为；

2.10张彩票中有5张是有奖彩票。从中每次取一张，作不放回抽样，前3次都中奖的概

率为1/12；

2、一部4卷的文集随机地排放在书架上，卷号恰好是自左向右或自右向左的呈1.2、3.4

排列的概率是V12；

2.同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为0.375；

2.袋中有10个球(3个红球，7个白球)，每次取1个，无放回地抽取两次，则第二

次取到红球的概率为0.3;

1、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为(C)

(A)1/8(B)2/8(03/8(D)4/8；

1.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为胤则在第4次射击时恰好

第2次命中目标的概率为(B)

(A)4/(1(B)3P2(l-p)2；(C)2P一)2；(D)

1.袋中有5个球(3个红球,2个白球)，每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到

红球的概率为(A)

1.一学生接连参加同一资格证的两次考试。第一次及格的概率为1/2.如果第一次及格

那么他第二次考试及格的概率也为1/20如果第一次不及格那么他第二次及格的概率为

1/4.如果两次中至少有一次及格他就能取得该资格证，则他取得该资格证的概率为

(C)

(A)1/8；(B)3/8；(C)5/8；(D)7/8.

2.已知某型电子器件寿命

(1)求X的分布函数尸(x).

团(以天计)的概率密度函

数为(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取

10只，以表示寿命大于15天的器件的只数，求的分布律。

10“、

—,x>10,(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取

fM="x

10只，以y表示寿命大于15天的器件的只数，求y的分布律。

0,x<10.

解：(1)因为当团时,回，当回时,团，故回(4分)

(2)因为任意一只器件寿命团大于15天的概率为冏

又各器件损坏与否相互独立，所以团服从囿概率分布律为

(8分)

2.己知随机变量团的概率密

(1)求X的分布函数/(x).

度函数为

现对独立地重熨观察次，以表示大于的次数,

\X(2)4

c、—cos—,0<X<71,求的分布律。

/(X)=22

(2)现对X独立地重复观察4次，以y表示大于;r/6的

0,其他.

次数，求y的分布律。

解：(1)因为当团时，团，当团时，胤当胤回故团................(4分)

(2)因为回大于团的概率为回，所以团服从团概率分布律为

P[X=k}=^b-sin(^-/12)/(sin(^-/12))4-*,k=0,1,2,3,4.......................(4分)

四、一维随机变量的分布及性质

5.设随机变量国，令团，则团的分布律为田

4.随机变量X的分布函数是团，则X的分布律是回团0.4；

9、设随机变量的概率密度为，令，则的分布律为；

4.随机变量的分布函数是，则0.4；

3.设离散型随机变量的概率分布为,则=1/4；

3、设X的分布函数是，则X的分布律是；

4.设随机变量的分布函数为则1/2,；

3.设离散型随机变量团的分布律为国回则参数回皿；

2.设离散型随机变量的勺分布律为团团且团则参数团

(A)0=-^—(B)p=a+\(C)=—(D)不能确定(C)

a-\a+\

2.设离散型随机变量团的分布律为团,但，则参数回(D)

(A)1/5；⑻皿；(C)1/3；(D)1/2；

3.设连续型随机变量团的概率密度为胤则参数回(D)

(A)0；(B)1；(C)乃；(D)1g

2.设随机变量团的概率分布律为胤则参数团(C)

(A)4>0的任意实数；(B)几=〃+1；(C)2=—；(D)A=—；

Z?+lb-\

2.设随机变量的概率分布律为，则参数(C)

(A)4>0的任意实数；(B)A=4；(C)A=~；(D)2=-.

42

2.设离散型随机变量的分布律为，，则参数(D)

(A)1/5：(B)1/4：(C)1/3：(D)1/2.

4.假设某潜在震源区年地震发生数团服从参数为回的泊松分布，则未来一年该震源区发生至少一次地

震的概率为0；

五、连续型概率密度与分布函数的相关计算

5.连续型随机变量的分布函数为此则概率密度函数为(3；

4.随机变量回的分布函数是团则随机变量团的概率密度函数为团；

4.随机变量团的分布函数是回则随机变量团的概率密度函数为团；

5.设随机变量的概率密度为，若，则；

7、随机变量在内服从均匀分布，则关于的方程有实根的概率为3/5(或0.6)

---9■

4.设随机变量团在团上服从均匀分布，则方程团有实根的概率为的或0.8；

3.随机变量团的概率密度为

[ar+1,0<x<2,

/w=l0,其它.

求(1)常数(2)X的分布函数尸(幻；(3)P(KX<3)

解：(1)因为，所以.(3分)

0,x<0,0,x<0,

rX1厂

(2)因为/(%)=「/(/)力=.-51+1)力,0<x<2=<x------,0<x«2,(4分)

J—<304

l,x>2.l,x>2.

(3)因为回为连续型随机变量，乳或团(4分)

2.随机变量团的概率密度为

同

求(1)常数A；(2)P{O<X<1}；(3)X的分布函数尸(x)。

解：(1)团，

A=—................................................(2分)

2

“11-e~l

(2)P{0<X<1}=[-e-sdx=...........................................(2分)

J022

(3)当回时,团,当团时，团,

X的分布函数为尸(©二心，，........................(3分)

2.设连续型随机变量团的分布函数为团求

(1)A和8；(2)P{|x|<1/2)；(3)概率密度函数/(x);(4)E(X).

解：(1),.……(2分)

(2)P{|X|<1/2)=F(l/2)-F(-l/2)=0.5................................................(2分)

,凶<1,1

(3)f(x)=(2分)(4)2X)=j：=公=0(2分)

乃Jl-x2

国N1.

2.设随机变量X具有概率密度团

7

（1）确定常数k；（2）求X的分布函数尸（幻；（3）求P(l<X?-).

2

解:（2分）

X

0?x3,

6

r

（2）由左二—知X的概率;密度fM=h-3#X4,由尸W=6,/(x)dx得

6

0,其它

0,x<0,J0,x<0,

、J/x

n:dr,0?工3,0?x3,

蕾。6n

F*)二…(3分)

x

歌2(2--)dx,3?x4,-3+2x-

T4,

,x34.1，x34.

7741

(3)P{1<X?-}F(-)-F(l)=—（2分）

248

16.设随机变量团的分布函数为团试求:

(1)常数A；(2)X的概率密度/(幻；(3)P(X<2),P(0<X?3),尸(2X<f).

解：（D得（2分）

7J<x<e,

⑵f(x)=（2分）

0，其他

⑶P(X<2)=P(X<2)=F(2)=ln2；P(O<X<3)=F(3)-F(O)=1

P(2<X<1)=F(f)-F(2)=lnf（3分）

六、一维随机变量的函数的分布求法

6.已知随机变量X的分布律是国则团的分布律为团；

3、设随机变量团的分布函数为回则团的分布函数为（A）

(A)F(-y--)；(B)尸(3)，+l)；(C)3F(y)+l；(D-F(y)--；

3333

3.设随机变量团的概率密度为国则团的概率密度为(B)

I911

(A)------------—；(B)；-----------—(C)----------—；(D)—arctany；

乃(1+4)/)乃(4+)/)乃(1+y)Ji'

4.设圆的半径外求圆的面积团的分布密度。

解：因为团团

当胤如当胤

0；当回团

所以/($)=「")=2五'

(0,其它.

1.设长方形的长，已知长方形的周长为2,求长方形面积的数学期望和方差。

解：因，故..................(1分)

面积为，所以

E(A)=E(X(1-X))=Jx(\-x)f(x)dx=j\(l-x)dx=—...............(2分)

国

。⑷用巧一炉⑷得一呆焉(3分)

2.若。胤求团的概率密度函数。

解：因为当回时，团是不可能事件，所以回;

又当团时，团(5分)

11、八

所以y的概率密度函数%6，)=4")=亍，-(3分)

0,,y工0.

1.设，求的概率密度。

解：设随机变量和的分布函数分别为、，先求的分布函数。由于，故当时,

...............................(1分)

当时，有，

将闭关学团求4数，即得B的概率密度为

2"x（）'）+八㈠）］，）'>0,

f（y）='(4分)

Y0,y<0.

1.设，求的概率密度。

解：设随机变量和的分布函数分别为、，先求的分布函数。由于，故当时,

..................................(2分)

当时，有

将团关于回求导数，即得自的概率密度为

y---------e2,y>o,

（4分）

0,y<0.0,y<0.

1.设随机变量,求的分布密度函数。

解：因，故.................（1分）

0,y<l,

f-Iny

2XglnylVyvi,

Fr(y)=P{eC}=RX亭y(3

\,y>e\\,y>e2.

分）

(),y<h

人(丁)=4")=（2分）

2y

1,yNe：

3.设随机变量X具有概率密度，

求随机变量Y=2X+8的概率密度。

解:…（3分）

1y—8、1

T)(目'=<i()2

A（y）=/x（-22

22

0,其它，

…（3分）

y—8

8<y<16,

32

0,其它.

—»-1<x<0,

17、设随机变量X具有概率密度八（工）〜1,o<v<2,令y=x2,求随机变量y的概

4

0,其他

率密度力.（），）.

解：...............（1分）

当时,（1分）

当时，；…（1分）

当时，:..............(1分)

当时，;..................(1分)

所以，……(2分)

注：能写出团即可给分，分布函数求解过程中步骤不全可酌情给分。

七、常见随机变量的分布与数字特征

2.设回，回胤则回_6_,0_0.4_o

2.设团团则团团；

1.设离散型随机变量团团，则团_0.8.

3.若回且胤则回羽;

3.若田，则因6；

3.设段且团则团—2；

4.设随机变量团服从参数为1的泊松分布，贝幅凯

3.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则；

6.设和相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则服从参数为8的泊松

分布；

5.设随机变量服从区间上的均匀分布，且，，则二1与二5；

5.若，则12；

4.根据历史地震资料分析，某地连续两次强震之间时间间隔的年数是一随机变量，其

分布函数为现在该地刚发生了一次强震，则今后三年内再次发生强震的概率为；

5.本次考试共有7个选择题，每题有四个选项，其中只有一个为正确选项。同学甲一题都

不会，遂决定采取随便“蒙”的方法选答案。若以曾表示该同学“蒙”对答案的题数，则

0=%:

5.某同学进行三分球投篮练习，直到首次投中三分球为止共投篮球团次。已知每次投中三

分球的概率为0.25,则自4,012；

2、设随机变量田的概率分布律为回，则参数团(D)

(A)0；(B)1；(C)e；(D)"I

4.设，，其中、为常数，且，则(D)

(A).N(o〃-a2a2+/?2)；⑻.N(ajj+b、a2a2-b2)；

(C).N(a/i+b,a2a2)；(Q).N(a4-/7,a2a2).

4.设，，其中、为常数，且，则(C)

cr(y~+Z?2)；⑻.N(〃〃+b,cr(y--Z?2)?

5.设随机变量团服从区间团上的均匀分布，并且回，团试常数团与团为(B)

(A)团团；(B)0,0；(C)团，团；(D)团团.

4.某地警察每晚查获机动车醉驾的人数团服从参数为团泊松分布，则今晚某地警察查获至

少一人醉驾的概率为机

3.尽管一再强调考试不要作弊，但每次考试往往总有一些人作弊。假设某校以往每学期

期末考试中作弊同学人数目服从参数为10的泊松分布，则本次期末考试中无同学作弊的

概率为团；

5某地每天发生交通事故的次数团服从参数为团泊松分布，则明天至少发生一次交通事故

的概率为回；

5.设随机变量团在团上服从均匀分布，则方程团有实根的概率为必或0.8；

3.设随机变量团,目的分布函数为回，则团的值为

(A)0.(B)0.

(C).(D).(A)

4、若■则团=(A)

(A)211-0(2)］；(B)2①(2)-1；(C)2一①⑵;(D)1-20(2)o

4.若团服从标准正态分布段则即(B)

(A)2①⑴-I；(B)2(1-0(1)］；(C)2-0(1);(D)1-20(1)；

6.若回且回与回相互独立，则能1；

8、已知13,12,则团团；

2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数

学期望与方差分别为(D)

回回：回回：函；(D)固

2.已知某同学投篮球时的命中概率为团设团表示他首次投中时累计已投篮的次数，则团的

概率分布律为团，团；

3.设某批电子元件的正品率为团次品率为比现对这批电子元件进行测试，只要测得一

个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为团；

6.一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止，设每次击中目标的概率为胤团为

首次击中目标时的射击次数，则团的数学期望为1/P；

4、设连续型随机变量砧勺概率密度为胤

则P{X“D(X)}=(D)

(A)0；(B)l；(C)e，(D)e；

12.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和Y

的相关系数为(A)

(A)-l；(B)0；(C)1/2；(D)1.

4.已知某种型号电子器件的寿命回(以小时计)的概率密度函数为

100

/>1()(),

fM=x2

0,x<100.

(1)求用的分布函数团(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10

只，以团表示寿命大于150小时的器件的只数，求团的分布律。

解：⑴因为当团时，团当团时,团

所以F(x)=<x(4分)

0,x<100.

(2)因为任意一只器件寿命团大于150小时的概率为团

乂各器件损坏与否相互独立，所以团服从团概率分布律为

10丫2丫]1O-*

P{X=k}=klijJM=0,1,2,…,10.(8分)

1.某地区人口寿命服从的寿命分布，求该地区人口的平均寿命和4()岁以前死亡的概

率。

解：因服从的寿命分布，故(1分)

-KO1

(1)人的平均寿命EX=]\/&)公=Jx—e于办=80；(2分)

-808()

(2)该地区人40岁以前死亡的概率

71-ix1

P[X<^}=\—e80dx=—(-80>~2(3分)

Q8080

八、二维离散型随机变量的概率分布

5.从1,2,3中任取一个数，记为段再从团任取一个数，记为国则

P{Y=2}=奥8；

6.设幽散型随机变量团和团的联合概率分布为

(X,"(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

;—I~~I-I-r

ap

69183

若团独立，则团的值为

(A)0.(B)固

(C)0(D)团.(A)

7.设随机变量团与团相互独立，其概率分布分别为

A01Y01

}>0.40,6P0.40.6

则有

(A)p(x=y)=o.(B)p(x=y)=05

(0ax=y)=0.52.(D)p(x=y)=L(c)

3.二维随机变量的联合分布律为

则p(x+y=i)=(0

(A)().2：(B)().3；(C)().5；(D)1.

（A）0;（B）I；（C）」；（D）上.

o1224

1.二维随机变量的联合分布律为

（1）求x,y的边缘分布律：（2）求P（X+Y=O）C

解:•⑴，，

0,0,0O（5分）

（2）p（x+y=o）=P{x=o,y=o}+P{x=-i,y=i}=o.5o（3分）

2.二维随机变量的联合分布律为

（1）求x,y的边缘分布律；（2）求P（X+Y=I）；（3）x,y是否相互独立。

解：（1）,,

,,。..........................（4分）

(2)p(x+r=i)=P{x=o,r=i}+P{x=i,y=o}=0.5（7分）

（3）因为团，团不相互独立。

1.二维随机变量的联合分布律为

E（y）=0x0.4+1x0.6=0.6o（3分）

（2）p（x+y=i）=p{x=o,y=i}+尸{x=i,y=o}=o.5............（3分）

（3）因为团，团不相互独立。（1分）

1.盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定义随机变量

,，求（1）二维随机变量的联合分布律；（2）求；（3）是否相互独立。

解：⑴,

,....（3分）

（2）p（x=y）=p{x=o,y=o}+P{x=i,r=i）=o.4............（3分）

（3）因为团,团不相互独立。（1分）

4、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定义随机变

量，，求

（1）二维随机变量（X,y）的联合分布律；（2）求P{X二y}；（3）X,y是否相互独立。

解：（1）,

,....（3分）

（2）尸（x=y）=P{x=o,y=o}+P{x=i,y=i}=o.4............（3分）

（3）因为，不相互独立。（1分）

1J.

888

222

888

证明：随机变量团与回不相关，但是随机变量团与团不独立.

解：的边-101

缘分布律为

X

313

Pi.———

848

y的边缘分布律为

y-ioi

32.3

848

因此，团..........（1分）

同理,0.........（1分）

E（Xr）=（-l）xi+Oxi+1x1=0.........（1分）

所以,团，表明随机变量团与团不相关.

..........（2分）

但是,0

所以，随机变量回与团不独立...........（2分）

21、设随机变量12相互独立，下表列出了二维随机变量团联合分布律及关于团和关于团的边

缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，要求说明推导过程。

%%P（X=x）=Pi.

*2

8

8

1

^Y=yj）=p.j

6

J1力当P（X=为）=p”

*]_

1/241/121/4

8

3/81/43/4

8

I

尸（-J1

1/21/3

6

注：每填对一空给一分，共8分。

九.二维连续型随机变量的分布

4.设随机变量回与回相互独立且均服从区间团上的均匀分布,0;

11、设随机变量相互独立，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概

率密度为(A)

(A)人(x)；(B)力(y)；(C)八(x)力())；(D)./A(x)//,(y)

4.设田的联合密度为团

(1)求常数A;(2)求(X/)落入以(0,0),(0,1),。,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率;

⑶团是否独立？

解：(1)因为团所以队(2

分)

(2)]3》《加必'=51占得:(2分)

⑶回

所以回，回相互独立.(3分)

2.设二维随机变量团的概率密度为团

试求(1)边缘密度函数，；(2)。

解：⑴

人⑴二厂/但［口2）“OJ<L[12/(l-y),0<y<l,…

。其他.0,其他

r+8r+8

（2）E（XK）=［［x\f（x,y）dxdy

J-ocJ-<c"

=「［J。孙•12）”心,］公=［（户15'氏=0.5.................（2分）

3.设国和团是相互独立的随机变量,团在团上服从均匀分布,团的概率密度函数为

1工

C,、2）,>（）

4。）气2

0,j<0.

求（1）x和y的联合概率密度函数；

（2）设含有团的二次方程回求团有实根的概率（已知区团，团根据需要选用）。

解：回的概率密度函数为回（1）因为团和团是两个相互独立的随机变量，所以回和回的

联合概率密度函数为

1工

//、//、//、~e?,0<x<1,y>0,/八、

f^y）=fx（x）fY（y）=<2」..................（3分）

0,其它.

(2)二次方程回有实根的充要条件为国即团所求概率为

y「‘丁¥X2

P{X2-K>0}=](/可：~e2")'=J；~e2公=j(J—e2dx

-Jo

__]士__

=1-血可0亡dx=1-缶\中⑴-中(0))（8分）

=1-2.5022(0.8413-0.5000)=0.1445

4.向一目标射击，目标中心为坐标原点，己知命中点的横坐标回和纵坐标团相互独立，且

均服从团分布.求（1）命中环形区域团的概率；（2）命中点到目标中心距离团的数学期望.

解：(1)0

-[f—8dxdy--\dO\e%rdr

S7T8—0Ji

2r1衣

r五-士户，2」_1

=—Iesd(------)=—ea=es—e4；...........(4)

J18

LJi

(2)EZ=E(VF7F)=J：]二•*e叶淑，

0...............(3)团.

2.已知二维随机变量(X,Y)的概率'密度为

e-s)x>0,y>0,

/Uy)='

0,其他.

求(1)P(X<Y)；(2)E(XY)o

解：(1)…

.......(3分)

r广+oor+8r+co

凤xy)=JfA^(A；jWy=ffxye~{^y}dxdy=，)xe~xclx^^ye~ydy=1

（3