概率论与数理统计综合试题1

n.综合测试题

概率论与数理统计(经管类)综合试题一

(课程代码4183)

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.下列选项正确的是

(B).

A.B.

C.(A-B)+B=AD.

2.设，则下列各式中正确的是(D).

A.P(A一吩:⑵B.P(A町=P(A)P

C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A+B)=P(A;+P(B)-P(AB)

3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是

(

D

)

A.B.C.D.

4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左

卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为

(B).

A.B.C.D.

5.设随机事件A,B满足，则下列选项正确的是

(A).

A.B.

C.P(B|A)=P(3)D.P(AB)=P(A)

6.设随机变量X的概率密度函数为f(x),则f(x)一定满足

A.B.f(x)连续

C.D.

7.设离散型随机变量X的分布律为，且，则参数b的值为

(D).

A.B.C.D.1

8.设随机变量X,Y都服从［0,1］上的均匀分布，贝J

(A).

A.1B.2C.1.5D.O

9.设总体X服从正态分布，,为样本，则样本均值~

(D).

A.N(—U)B.N(1O,1)C.N(-10,2)D.)

10

10.设总体是来自X的样本，又

是参数的无偏估计，则a=（B).

A.1B.c.D.

二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1L已知，且事件相互独立，则事件A,B,C至少有一个事

件发生的概率为

12.一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这

两个球恰有一个白球一个黑球的概率是—0.6.

13.设随机变量x的概率分布为

X0123

c2c3。

P

4c

为的分布函数，则0.6

14.设X服从泊松分布，且，则其概率分布律为.

15.设随机变量1的密度函数为/*)=.贝|」£,(2肚刈二

4.

2j

16.设二维随机变量(尤力的概率密度函数为八工),)=-1«冲，

24

(To<x,yv+oo).则(尤D关于1的边缘密度函数人(x)=_

1K

-7=e2(-co<X<+x)

jh•

17,设随机变量X与Y相互独立，且则=0.15.

18.已知，则D(X-Y)=3

19.设X的期望EX与方差DX都存在，请写出切比晓夫不等式

或

20.对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数

是一个随机变量，其数学期望为2,方差为2.25,则在100轰炸中有

180颗到220颗炮弹命中目标的概率为0.816.(附：)

21.设随机变量X与Y相互独立，且,则随机变量

F(3,5)

22.设总体X服从泊松分布P(5),为来自总体的样本，

为样本均值，则5

23.设总体X服从［0,0］上的均匀分布，（1,0,1,2,1,1）是样

本观测值，则。的矩估计为_2.

24.设总体，其中己知，样本来自总体X,和分别是

样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为

*

25.在单边假设检验中，原假设为，则备择假设为H1:

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

26,设A,B为随机事件，，求与.

解：

由得：，因故

P(AB)0.12

尸(0==0.24

P(AB)

P(A+4)=尸(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.24-0.12=0.42.

所以

27.设总体,其中参数未知，

是来自X的样本，求参数的极大似然估计.

解：设样本观测值则

似然函数〃/1）=口/（七）=门双的二元2I

1=11=1

取对数In得:,令

解得A的极大似然估计为』=一二=1或A的极大似然估计量为

xX

<=|

四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

28.设随机变量X的密度函数为，求：(1)X的分布函数F(x)；

(2)；(3)E(2X+1)与DX.

解：(1)当x<0时，F(x)=O.

当时，.

当时，.

所以，X的分布函数为：.

(2)P(-l<X<-)=F(l)-F(-l)=-0=—.

221616

或P(-lvXq二金f(t)dt=舄"='

(3)因为，，所以，；

2

DX=EX2-(EX)2=-.

29.二维离散型随机变量（％D的联合分布为

012

00.20.10

10.20.10.4

⑴求¥与Y的边缘分布；（2）判断X与V是否独立？（3）求X与丫的协

方差Cm<X,y）.

.解：⑴因为,

P（Y=0）=0.4,P（y=1）=0.2,P（Y=2）=0.4,

所01

以，

边

缘

分

布

分

别

为：

X

P0.30.70匚

0.40.2

⑵因为U0.4Jp(x=(),/=())=().2,

而

P(X=O)P(r=0)=0.3x0.4=0.12,

p（x=o,y=o）wp（x=o）p（y=o）,所以I与V不独立;

⑶计算得：，所以

Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0.9-0,7=0.2.

五、应用题（10分）

30.已知某车间生产的钢丝的折断力X服从正态分布N（570,82）.今

换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16

根钢丝测其折断力,

计算得平均折断力为575.2,在检验水平下，可否认为现在生产的

钢丝折断力仍为570?（）

解：一个正态总体，总体方差已知，检验

检验统计量为"第

检验水平，I俗界值为，得拒绝域：|u|>L96.

计算统计量的值：，所以拒绝H0,即认为现在生产的钢丝折断力

不是570.

概率论与数理统计（经管类）综合试题二

（课程代码4183）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.某射手向一目标射击3次，表示“第i次击中目标”，i=l,2,3,

则事件“至

少击中一次”的正确表不为

(A).

A.B.C.D.

2,抛一枚均匀的硬币两次,两次都是正面朝上的概率为

(C).

A.B.C.D.

3.设随机事件与相互对立，且,，则有(C).

A.与独立B.

则P(-l<X<0)=

(B).

A.0.3B.0.8C.0.5D.1

5.已知随机变量X的概率密度函数为，则=(D).

A.0B.1C.2D.3

6.已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布中的参数

的值分别为

(B).

A.〃=4,〃=0.6B.〃=6,〃=0.4

C.〃=8,〃=0.3D.〃=24,〃=0.1

7,设随机变量X服从正态分布N(l,4),Y服从［0,4］上的均匀分布,

则E(2X+Y)=(D).

A.1B.2C.3D.4

8.设2

随机

变量

X的

01

概率

分布

为

X

P0.60.20.2

则〃(¥1)=(C)

A.0B.0.36C.0.64D.

1

9.设总体，(XI,X2,…，Xn)是取自总体X的样本,

分别为样本均值和样本方差，则有(B)

——4

A.X〜N(O,1)B.X~%(1,一)

n

X_1

c.(H-1)S2-Z2(H)D,——~r(n-D

10.对总体X进行抽样，0,1,2,3,4是样本观测值，则

样本均值为(B)

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.一个口袋中有1()个产品，其中5个一等品,3个二等品,2个三

等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概

率是_0.75.

12.已0.51.5

知

P(A)=0

.3,

-0.50

P(B)=0

.5,

P(AU

B)=0.6

，则

P(AB)=

____0.

2_____

*

13.设

随机变

量X的

分布律

为

X

P0.30.30.20.2

是的分布函数，则0.8.

14.设连续型随机变量，则期望EX二,

15.设(X,¥)-/(1,)，)=・'则〃(¥0)二_

(1其他，

0.25.

16.设，则0.6826.()

17.设DX=4,DY=9,相关系数，则D(X+Y)=16.

18.已知随机变量X与Y相互独立，其中X服从泊松分布，且DX=3,Y

服从参数二的指数分布，则E(XY)=3.

19.设X为随机变量，且EX=0,DX=0.5,则由切比雪夫不等式得

0・5.

20.设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01,X表示500发炮弹中命

中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X近似服从的分布是

N(5,4.95)

21.设总体是取自总体X的样本，则(10).

22.设总体是取自总体X的样本，记，则.

23.设总体X的密度函数是，(XI,X2,…，Xn)是取自总体X

的样本，则参数的极大似然估计为

24.设总体，其中未知，样本来自总体X,和分别是样

本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为

*

25.已知一元线性回归方程为，且，则1

三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

26.设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从二项分布B(10,0.1),

X与Y相互独立,求D(X+3Y).

解：因为，所以.

又X与Y相互独立，故D(X+3Y)=DX+9DY=4+8.1=12.1.

27.有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1

个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个

袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少？

解：B表示取到白球，Al,A2,A3分别表示取到甲、乙、丙口袋.

由题设知，.由全概率公式：

P(B)=P(A)aB|A)+P(4)P(B|A2)+P(4)P(B|A3)

1211121

=­XF—X—+—X—.

3333342

四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

28.设连续型随机变量X的分布函数为,

求：(1)常数k；(2)P(0.3<X<0.7)；(3)方差DX.

.解：(1)由于连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，所以

,即k=l,故；

(2)P(0.3<X<0.7)=P(0.3<X<0.7)=尸(0.7)-F(O.3)=0.4;

(3)因为对于的连续点，，所以.

EX=jxf(x)dx=2J：x2clx=—,

EX2=^x2f(x)djc=V公=1,

29.已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为

⑵判断

独立；

解：(1)因为

P(Y=1)=0.5,P(Y=2)=0.2,P(Y=3)=0.3,

课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为

=75分，标准差s=10分.问在检验水平下，是否可以认为本次

考试全班学生的平均成绩仍为72分？（）

解：总体方差未知，检验H0：对H1：,采用t检验法.

选取检验统计量：

由，得到临界值.拒绝域为：|t|>2.0301.

因，故接受H0.

即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.

概率论与数理统计（经管类）综合试题三

（课程代码4183）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B为随机事件，由P(A+B)=P(A)+P(B)一定得出

(A).

A.P(AB)=0B.A与B互不相容

C.D.A与B相互独立

2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是

(

B

)

*

A.B.C.D.

3.任何一个连续型随机变量X的分布函数Hx)一定满足

(A).

A.0<F(x)<lB.在定义域内单调增加

C.rF{x}dx=\D.在定义域内连续

J

4.设连续型随机变量，则=(C).

A.0.5B.0.25C.D.0.75

5.若随机变量X与Y满足D（X+Y）=D（X-Y）,则

B).

A.X与Y相互独立B.X与Y不相关

C.X与Y不独立D.X与Y不独立、不相关

6.设，且X与Y相互独立，则D（X+2Y）的值是（A）.

7.设样本来自总体，则B).

8.假设总体X服从泊松分布，其中未知，2,1,2,3,0是

次样本观测值，则参数的矩估计值为

I））.

9.设是检验水平，则下列选项正确的是

A）.

A.P（拒绝名|%为真）＜a

B.P（接受）|%为真）之1-0

C.P（拒绝"oI4为真）+尸（接受”0|"0为假）=1

D.尸（拒绝乜也为真）+P（接受耳|耳为假）=1

10.在一元线性回归模型中，是随机误差项，则E二

C）.

A.1B.2C.0D.-1

二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.一套4卷选集随机地放到书架上，则指定的一本放在指定位

置上的概率为

12.已知P(A+B)=O.9,P(A)=O.4,且事件A与B相互独立，则

P(B)=.

13.设随机变量X~U[1,5],Y=2X-1,则Y〜U[l,9].

14.已知随机变量X的概率分布为

Z-101

P0.50.2

0.3

令，则Y的概率分布Y01为.

15,设随机变量X与Y相互独P°,20・8立，都服

从参数为1的指数分布，则当x>0,y>0时，(X,Y)的概率密度f(x,y)二

*

16.设随机变量X的概率分布为

-101

X

2

0.10.20.3

P

k

则EX=1

17,设随机变量X、，已知，则

18.已知Ca(X,y)=0.15,OX=4,Z)y=9,则相关系数pxy=

0.025.

19.设R.V.X的期望EX、方差DX都存在，则.

20.一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为2(kg),方

差为2.25,一汽车装有这样的面粉100袋，则一车面粉的重量在

180(kg)到220(kg)之间的概率为0.816.()

21.设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，

是样本方差，则__t(nT).

22.评价点估计的优良性准则通常有—无偏性、有效性、一致性

(或相合性).

23.设(1,0,1,2,1,1)是取自总体X的样本，则样本均值：

1

24.设总体，其中未知，样本来自总体X,和分别是

样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为

25.设总体，其中未知，若检验问题为，则选取检验统计

量为

三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

26.已知事件A.B满足:P(A)=0.8,P()=0.6,P(B|A)=0.25,求

P(A|B).

解：P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8X0.25=0.2.

0.2

皿)==0.5

P(B)1-0.6

27.设二维随机变量(X,Y)只取下列数组中的值：(0,0),(0,-1),

(1,0),(1,1),且取这些值的概率分别为0.1,0.3,0.2,0.4.求：(X,Y)

的分布律与其边缘分布律.

解：由题设得，(X,Y)的分布律为：

从而求得

四、综合题(本大题共2小题,每小题12分，共24分)

28.设10件产品中有2件次品，现进行连续不放回抽检，直到取

到正品为止.求：(1)抽检次数X的分布律:

(2)1的分布函数;

(3)上2al的分布律.

解：(DX的所有可能取值为1,2,3.且

所以，X的分布律为:

X123

481

P

4545

(2)当时,

当时，；

当时，；

当时，.

所以，X的分布函数为：

0,x<\

4

1<x<2

丁

尸（x）=•

44

2<x<3

45

1,x>3

(3)因为Y=2X+1,故Y的所有可能取值为:3,5,7.日.

4

P（r=3）=p（x=i）=-,

Q

P（r=5）=P（X=2）=—,

p（y=7）=P（X=3）=—.

得到Y的分布律为：

K357

~p1±

54545

29.设测量距离时产生的误差(单位：m),现作三次独立测量,

记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知.

(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；

(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；

(3)求期望少上

.解：⑴

=1-[20(1.96)-1J=0.05.

(2)Y服从二项分布B(3,0.05).其分布律为：

P(Y=k)=C；(0.05)，(0.95)H,z=O/,2,3.

(3)由二项分布知：

五、应用题(本大题共10分)

30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%乙厂产品占40%；甲厂

产品的合格品率为90%,乙厂的合格品率为95%若在市场上买到一

只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？

解：设A表示甲厂产品，表示乙厂产品，B表示市场上买到不合

格品.

由题设知:

由全概率公式得：

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(^|4)=O.6xO.I+0.4x0.05=0.08.

由贝叶斯公式得，所求的概率为：

P(A|SL尸(A)P(BI'B6XO」_075

P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)0.08

概率论与数理统计（经管类）综合试题四

（课程代码4183）

一、单项选择题（木大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B为随机事件，且P（A）＞0,P（B）＞0,则由A与B相互独

立不能推出(A).

A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.P(A|B)=P(A)

C.P(B|A)=P(B)D.P(AB)=P[A)P(B)

2.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，则能打开门的概率

为(C).

A.B.C.D.0.5

3.设X的概率分布为，则c=(B).

A.B.C.D.

4,连续型随机变量X的密度函数，则k=(D).

A.0.5B.1C.2D.~0.5

5.二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,则(X,Y)关于X的

边缘密度(A).

.0\e~2\x>0

A.D.Vr,*

0.x<0[0.x<0[0.x<0

D.a>°

o,j<0

6.设随机变量X的概率分布为

X012

0.50.2

P

0.3

D烂

(D).

A.0.8B.1C.0.6D.0.76

7.设，且X与Y相互独立，则E(X-Y)与D(X-Y)的值分别是

(B).

A.0,3B.~2,5C.一2,3D.0,5

8.设随机变量其中，则

(B).

A.fl}—e2dtB.「1—e2dt

J。而J而

*»)

c:01--cf-KC1

C.f,—e2dtD.[.——e2dt

Jyj24J-j2不

9.设样本来自总体，则'(C).

A./2(1)B.尸(1,2)C.«1)D.N(0,l)

10.设样本取自总体X,且总体均值EX与方差DX都存在，则DX的矩

估计量为

(C).

B.52=^-^(X,-X)2

〃-1i=\

1"T___

c.S：D.S2=——y(X,.-X)

二、填空题(本大题共15小题,每小题2分，共30分)请在每小题

的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设袋中有5个黑球，3个白球，现从中任取两球，则恰好

一个黑球一个白球的概率为

12.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为

p(O〈p〈l),则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率是

13.设连续型随机变量X的分布函数为，则其概率密度为

一f(x)=4-(-1...+-*2)--------.-

14.设随机变量X与Y相互独立，且，则随机变量2X+Y〜

N(l,25).

Cov(XfD二

(指数

D(X-Y)=9.4

17.设二维随机变量(X,Y)~,则E(XY2)二

18.设随机变量X飞(2,4),利用切比雪夫不等式估计

19,设随机变量XI,X2,X3相互独立，且同分布，则随机变量

20.设总体乃服从［0,6］上的均匀分布，(1,0,1,0,1,1)是样

本观测值，则。的矩估计为.

3

21.设总体,XI,X2,X3,X4是取自总体X的样本，若是参

数的无偏估计，则c=____________.

22.设总体，样本来自总体X,和分别是样本均值和样

本方差，则参数的置信水平为的置信区间为

23.设总体，其中未知，若检验问题，样本来自总体X,

则选取检验统计量为.

24.在假设检验问题中，若原假设H0是真命题，而由样本信息拒

绝原假设H0,则犯错误第一类错误

25.在一元线性回归方程中，参数的最小二乘估计是.

三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

26.甲乙丙三人独立地向某一飞机射击，他们的射击水平相当，命中

率都是0.4,若三人中有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若三

人中有两人同时击中，则飞机被击落的概率为0.5；若三人都击中，

则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.

解：设B表示飞机被击中，Ai表示三人中恰有i个人击中，i=1,2,3.

由题设知：

p(4)=0.63=0.216/(4)=。；0.40.62=0.432,

尸(4)=C