第18章 正比例函数和反比例函数(压轴题专练)-2021-2022学年八年级数学上学期期中考试满分全攻略（沪教版）教师版

第18章正比例函数和反比例函数压轴题专练

能力提升

一、单选题

41

1.（2017•上海）如图，反比例函数y=一2的图象与直线y=—的交点为A、B,过点A作

x3

y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为（）

【答案】A

试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2k|=2X4=8.

故选A.

考点：反比例函数系数k的几何意义.

2.（2018•上海长宁区•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（-

2,0）,与x轴夹角为30°,将△ABO沿直线AB翻折，点0的对应点C恰好落在双曲线y="（氏片0）

上，则k的值为（）

【答案】D

【分析】设点C的坐标为（x,y）,过点C作CD1.X轴，作CELy轴，由折叠的性质易得NCAB=

Z0AB=30°,AC=A0=2,ZACB=AOB=90°,用锐角三角函数的定义得CD,CE,得点C的坐标，

易得k.

【详解】解：设点冰坐标为（x,y）,过点。乍口，蒋由，作龙，掰.

•.•将沿直线｛5®折，二/。5=/勿庐30°,AC=AO=2,NACB=AOB=9Q°,

・二C女产4C・sin600=2X—=.

2

■：/ACF/DC斤9y,

:"BC夕NACKS.

'：BC=BO=/lOtan30o=2X立—拽,上|x|二8Ocos30°二空又B=L

3332

・・,点C恰好落在双曲线y=K（%工0）上，

x

/.A=x-y=-lx73=-73.

故选D.

3.（2020•上海）如图，点A,B在反比例函数y=』（x>0）的图象上，点C,D在反比例函数y=幺（&>0）

XX

,3

的图象上，AC〃BD〃y轴，已知点A,B的横坐标分别为1,2,aOAC与AABD的面积之和为彳，贝味

的值为（）

A.4B.3C.2D.-

2

【答案】B

【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BI”/y轴,及反比

例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积

公式表示出5„,5,"）的面积，再根据40人（：与4人1»的面积之和为|,列出方程，求解得出答

案.

【详解】把X=1代入y=二得：y=l,

X

・・・A(1,1),把x=2代入y」得：y二(，

x2

B(2,—),

VAC//BD//y轴,

AC(l,k),D(2,1)

22

；・SA()AC=y(k-l)X1,

SZSAIB=­(y-y)X1,

3

又•••△OAC与△ABD的面积之和为:，

?(k-l)X1+：(\-1)乂1-彳，解得：k=3;

22222

故答案为B.

【点睛】：此题考查「反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，

熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.

4.(2019•上海市民办上宝中学八年级月考)如图，反比例函数y=£(x>0)的图象经过

X

矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()

【答案】C

【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的

面积与Ik的关系，列出等式求出k值.

【详解】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，

过点M作MG，y轴于点G,作MN_Lx轴于点N,则St^c=k|.

又M为矩形ABCO对角线的交点，

S）|>JBABCO=4SLOMIG=4kI,

•.•函数图象在第一象限，k>0,

A-+-+9=4k.

22

解得：k=3.

故选C.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作

垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.

5.（2019•上海市松江区新桥中学八年级月考）如图，直线）・=〃氏与函数y=W2的图像交于A、

x

B两点，BC〃x轴，AC〃y轴,△ABC的面积记为S,则（

A.$=2B.2<S<4C.S=4I）.S随m的变化而变化

【答案】C

【分析】根据反比例函数图象的对称性求出四边形ODCE的面积，再根据反比例函数系数的几

何意义求出AAOD和AOBE的面积，从而得解.

【详解】解：如图

...点A、B关于点0对称，四边形ODCE的面积=2,

△AOD的面积=；X2=l,aOBE的面积=；X2=1,

...△ABC的面积S=2+l+l=4是定值.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数的中心对称性，熟记过双

曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k是解题的关

键.

6.（2020•上海市川沙中学南校八年级期末）如图，A、C是函数的图象上任意两点，过

X

点A作y轴的垂线，垂足为B,过点C作y轴的垂线，垂足为D.记RA4O8的面积为廿，Rt\COD

的面积为反，则5和邑的大小关系是（）

A.5,>52B.St<S2

C.s产邑D.由A、C两点的位置确定

【答案】C

【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S的关系即S=3kL

【详解】由题意得：SESZ=3k|=g.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数y=七中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、

X

坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即$=9|k1,是经常考查的一个知

识点；这里体现了数形结合的思想.

7.(2019•上海市民办上宝中学八年级月考)如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点0

与原点重合，顶点A.C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=：(kHO,x>0)的图象与正方形的

两边AB、BC分别交于点M、N,NDLx轴，垂足为D,连接0M、ON、MN.

下列结论：

①^OCN之aoAM；

②ON=MN；

③四边形DAMN与aMON面积相等；

④若NM0N=45°,MN=2,则点C的坐标为(()，应+1).

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】设正方形OABC的边长为a,通过△OCNgZ\OAM(SAS)判定结论①正确，求出0N和MN

不一定相等判定结论②错误，而SjiMON=S&ODN%四边形I扁N—AOAMS四边心DSMN可得结论③正确，

列式求出C点的坐标为(0,&+1)可知结论④正确.

【详解】设正方形OABC的边长为a,

则A(a,0),B(a,a),C(0,a),M(a,-),N(-,a).

aa

VCN=AM=-,OC=OA=a,Z0CN=Z0AM=90°,

a

/.△OCN^AOAM(SAS).结论①正确.

根据勾股定理，ONNOC+CN：=-Va4+k2,翔1陶=

a

和MN不一定相等.结论②错误.

•SAODN=SAOAM，

，SAMON=SAODN斗四边形D§MN—AOAMS四边形D§MN.结论③正确.

如图，过点0作OH_LMN于点H,则

VAOCN^AOAM,/.ON=OM,ZC0N=ZA0M.

ZM0N=45°,MN=2,

；.NH=HM=1,ZC0N=ZN0H=ZH0M=ZA0M=22.5°.

/.AOCN^AOHN(ASA)..,.CN=HN=1.

=1=>k=a.

a

由MN=^-|a2-k|2=^-|a2-a|=>4a2=2（a2-a）=>a2-2a-l=0.

解得：a=2±'=［土夜（舍去负值）.

2

.•.点C的坐标为（0,&+1）.结论④正确.

,结论正确的为①③④3个.

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象匕点的坐标特征、比例系数

的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算.

二、填空题

8.（2019•上海市民办上宝中学八年级月考）如图所示，在矩形48面中，动点P从点B出发,

沿BC,CD,的运动至点4停止，设点强动的路程为小△48用）面积为九如果丫关于x的函

数图象如图所示，那么△/比的面积是.

【答案】10

【详解】解：根据题意可得：AB=5,BC=4,

.二△ABC的面积是：-X4X5=10.

笈

故答案为10

9.（2020•上海市市西初级中学八年级期末）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的

正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a,a）.如图，若曲线y=3（x>0）与此正

X

方形的边有交点，则a的取值范围是.

【答案】GWaWG+1

【分析】根据题意得出C点的坐标（a-1,a-1）,然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即

可求得a的取值范围.

【详解】解:反比例函数经过点A和点C.

当反比例函数经过点A时,即02=3,

解得：a=±G（负根舍去）；

当反比例函数经过点C时,即（a-1尸=3,

解得；a=l±73（负根舍去），

则百WaWG+L

故答案为：耳―7.

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=&（k为常

X

数，kWO）的图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

10.（2020•上海浦东新区，）如图，在平面直角坐标系x%中，已知直线y=4x（4>0）分

4164

别交反比例函数7=-和尸一在第一象限的图象于点4B,过点8作应LL询于点〃，交y=-

XXX

的图象于点G连接若△力比是等腰三角形，则A的值是

【答案】述或理

52

【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点4B、。的坐标（用倭示），再

讨论①46=6，，②AC=BC,即可解题.

【详解】解：•.,点6是和尸史的交点，y—kx——,

xx

4

.•.点8坐标为（及，4爪），

2

同理可求出点力的坐标为（灰，2灰），

•.,即1__刷，

4

.•.点。横坐标为无，纵坐标为《，

.•.加=J（+4k,/lC=J^+k,BC=3五,

.•.物2-4d=3A>0,

J.BA^AC,

若△46提等腰三角形,

①/山=BC,则《+4k=3五,

解得：a=w

@AC=BC,则

%+k=3«,

解得*日

故答案为警或孝.

【点睛】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用4

表示点/、B、终标是解题的关键.

11.(2018•上海市闵行区上虹中学八年级期中)如图，在直角梯形ABCD中，DC〃AB,ZA=90°,

AB=26cm,DC=18cm,AD=4cm,动点M以Icm/s的速度从点D向点C运动，动点N从点B以2cm/s的

速度向点A运动点M、N同时出发，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停

止运动，设动点运动时间为t(s),四边形ANMD的面积y(c,r),y关于x的函数解析式并写出定

义域_____.

【答案】y=-2t+52,0<t<13.

【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据，分析得出函数的类型和所需要的条件，

结合实际意义即可求出定义域.

【详解】解：•••在直角梯形ABCD中，DC〃AB,ZA=90,

二四边形ANMD也是直角梯形，因此它的面积为：!(DM+AN)XAD,

2

VDM=t,AN=26-2t,AD=4；

，四边形AMND的面积：y=；(t+26-2t)X4=-2t+52.

•.•当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动；

...当N点到达A点时*2t=26,

解得:t=13；

自变量t的取值范围是：0<t<13.

故答案为：0<t<13.

【点睛】本题考查了直角梯形的性质，以及几何图形的性质确定函数的图象.此题难度较大,

解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.

12.(2020•上海浦东新区•八年级期末)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,

三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1,AABC

中，D、E分别是ARAC的中点，则DE//BC,且。E=gBC.试用三角形中位线的性质解决

下列问题：如图2,函数y=匕(x>0)的图像经过AOAB的顶点和边的A8中点C,分别过8、C

X

作皿_Lx轴，C£_Lx轴，垂足分别为2E,CE是少〃的中位线.如果点B的横坐标为3,则

点C的坐标为

【答案】(6,2)

【分析】先求出点B的坐标，根据三角形的中位线得到CE=2即点C的纵坐标为2,再代入)，=1"?

X

中求出点E的横坐标.

【详解】•••点B的横坐标为3,且点B在y=—(x>0)上,

x

.•.将x=3代入，得y=4,

AB(3,4),

.♦.BD=4,

：CE是△ABD的中位线，

CE=、BD=2,

2

.•.点C的纵坐标为2,

12

将y=2代入y=一中，得x=6,

X

AC(6,2).

故答案为：(6,2).

【点睛】此题考查反比例函数的性质，点在反比例图象上时，点的坐标符合函数关系式，代

入解析式即可确定点的横坐标或是纵坐标，解题中三角形的中位线的利用是解题的关键.

13.(2018•上海民办浦东交中初级中学八年级月考)已知直线y=”分别交函数y=g(x>0)

与函数y=：(x>0)的图像于A8两点，若在函数图像上存在点C,使得A4BC恰为等边三角

形，则AABC的面积为_____.

【答案】

6

【分析】先求出A,B两点的坐标，然后根据等边三角形和反比例函数求出C的坐标，利用

AC=AB建立关于a的方程求出a,然后利用面积公式求解即可.

17

【详解】•.,直线y=a分别交函数y=；(x>0)与函数y=：(x>0)的图像十AB两点

aa

・.,AABC恰为等边三角形

3

•・•C的横坐标为二

2a

若点C在y」(x>0)上，此时点C的坐标为(；，学)

x2a3

,:AC=AB

・•・AC2=AB2

即(；)2+(与-a)2=(-—-~)2

2aa3aa

解得/=迈

2

.,•s=—.(-)2=-

—4fiC4a6

若点C在y=-(x>0)±,此时点C的坐标为(，约

x2a3

,:AC=AB

:.AC2=AB2

即---)2+(¥-a)2=(---)2

2aa3aa

解得/=主巨

2

AS=—<-)2=-

△ABC4〃6

故答案为：7.

o

【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握等边三角形的性质是解题的关键.

14.(2020•上海市澧溪中学)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y=4(x>0)的

2x

图象上，4CJ_x轴于点C,连接OA,则△OAC面积为.

【答案】；

【分析1根据反比例函数比例系数k的几何意义可得s„==l

224

【详解】•••函数y=；(x>0)的图象经过点A,AC_Lx轴于点C,

2x

故答案为：

4

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴

或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键.

15.(2020•上海市松江区民办茸一中学)如图，反比例函数片上的图像过点4ACJLy轴，

x

且比的面积为2,则该反比例函数解析式为.

【分析】根据题意，设点A的坐标是(-a,--),则为三角形以AC为底的高，结合三角形

aa

的面积公式，即可求出k值.

【详解】解：由题意设点A的坐标是(-a,--),(a>0),因为*ABC的面积为2,所以则

a

+1—k-kc

有-xax——=---2，

2a2

解得：k二Y,

所以该反比例函数的解析式是y=-+4,

X

4

故答案为：y=—

x

【点睛】本题考查反比例函数图像的性质，本题属于对反比例函数的基本坐标知识的理解和

运用.

16.(2019•上海浦东新区•八年级月考)如图，是反比例函数y=，和y=+(占>&)在第

一象限的图象，直线AB平行于无轴，并分别交两条曲线于A、B两点,若SA皿,=4,则匕-心

的值是

【答案】8

【分析】由匕〉《知，点A在y="上，点8在丫=&上，因直线AB平行于x轴，则点A和点B

XX

_&

y=——

的纵坐标相等，设A和B坐标为A区,y),8(%,y),则有:可得与=8,又根据

王“2

X2

%°B=4a-x处=4,将y=3代入即可得与玉=4,联立上面的式子即可得.

【详解】

■：kx>k2,则点A在y=>上，点晒丫=一上,

XX

又因直线AB平行于x轴，

•••点A和点B的纵坐标相等，因此可设A和B坐标为4x“y),8(X2，y),

工即§4,可化为十3

八2人|人2人I*v]

根据图可得S*=y=-(Xl-x2)y=4,

将代入即可得力*=4,

将孑车代入得多。等)=4

人]»V|乙/C|

可得匕一&=8.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，并结合三角形的面积，判断出A、B点具体在

哪条反比例函数上和A、B点的纵坐标相等是解题关键.

三、解答题

17.(2020•华南理工大学附属实验学校八年级月考)已知四边形ABCD在直角坐标系中的位

置如图所示,其中边AD和边BC都与x轴平行,边AB和边CD都与y轴平行,且D(2,3),点C的纵坐标

V

是-1,反比例函数y=±(kWO)的图像过点C,与边AB交于点E.

X

(1)求直线0D的表达式和此反比例函数的解析式：

(2)如果点B到y轴的距离是4,求点E的坐标.

321

【答案】(！)y=7x,y=—；(2)点E的坐标为(-4,-)

2x2

【分析】(1)设直线0D的解析式为y=mx,把D点坐标代入求出m的值即可；求出点C坐标为(2,

k

-1),代入反比例函数y=±(k#O)中求出k的值即可；

x

(2)由点B的横坐标确定出点E的横坐标，代入反比例函数的解析式求出点E的纵坐标即可得

到结论.

3

【详解】(1)设直线0D的表达式为y=mx,将点D(2,3)代入得，2m=3,m=~,

3

直线0D的表达式为：y=-x,

•.,点D的坐标为(2,3),.,.点C的横坐标为2,.•.点C的坐标为(2,-1),

kk

将点C(2,-1)代入反比例函数,=人得，：=k=-2,

x2

2

・•反比例函数的解析式为：y=--；

♦X

(2)・・•点B到y轴的距离是4,

・••点B的横坐标为-4,・••点E的横坐标为-4,

221

将L4代入户装得,尸一7二5

.,.点E的坐标为(-4,-)

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是根据待定系数

法求反比例函数与正比例函数解析式.

18.(2020•上海市金山区教育局八年级期末)如图，已知直角坐标平面内的两点A(3,2),点B

(6,0)过点B作Y轴的平行线交直线OA于点C

(1)求直线0A所对应的函数解析式

(2)若某一个反比例函数的图像经过点A,且交BC于点D,联结AD,求4ACD的面积.

211

【答案】(1)=(2)y

【分析】(1)设直线0A的解析式为y=kx(k/0),把A点坐标代入解析式，求出k的值即可;

(2)过A作AELx轴于点E,连接AD,根据5人所5M80-5--5)»晌：求解即可.

【详解】(1)设直线0A的解析式为y=kx(kH0),

2

•.•人(3,2)在直线0人上，；.2=31<,解得，k=j,

••・直线0A的解析式为y=：x;

(2)过A作AEJ_x轴于点E,连接AD,如图所示,

VA(3,2),.•.0E=3,AE=2,

设反比例函数解析式为：y=4,

X

VA(3,2),.,.k=2X3=6oy=~,

X

VB(6,0),AD(6,1),C(6,4)

AOB=6,BE=0B-0E=3,BD=1,BC=4,

••Sz\ACD二SzXCBO-SzXAEO-S梯彬ABBE

=goBgBC-goEg/\E-g(BD+AE)gPE

=—x6x4-—x3x2--x(l+2)x3

222

n

一万.

【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式以及三角形面积公式的

运用.

19.(2018•上海市西南模范中学)如图，直线>="a+4与反比例函数y=9的图像交于点A、

(1)求一次函数解析式和点8的坐标；

(2)联结。4、OB,求的面积.

【答案】(1)y=2x+4,Z?(-3-2)；(2)8

【分析】(1)将点A的横坐标代入反比例函数解析式，求出点A的坐标，根据点A坐标求出一

次函数解析式，然后解方程即可求出B的坐标；

(2)如图所示作出辅助线，将AAOB的面积转化为△△()(：的面积与的面积之和进行计算.

【详解】解：⑴当x=l时，y=-=6,

X

.•.点A(1,6),

将点A(l,6)代入>=+4得：6=机+4,

m=2,

•次函数解析式为y=2x+4,

由2x+4=£解得：再=1,x2=-3,

x

/.«(-3,-2)；

(2)设直线AB交y轴于点C,过点A作AEJ_y轴于点E,过点B作BFJLy轴于点F,

对于y=2x+4,当x=0时,y=4,

.,•5AOS=5,toc+54SOC=lc»CME+loCBF=lx4x(l+3)=8,

AAOB的面积为8.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握反比例函数

与一次函数的图象与性质.

1k

20.（2020•上海市川沙中学南校八年级期末）如图，直线y=与双曲线>=一（％>0）交于A

2x

点，且点A的横坐标是4.双曲线>，=人/>0）上有一动点C（例n）,（0<，*<4）.过点A作x轴

X

垂线，垂足为B,过点C作x轴垂线，垂足为D,联结0C.

（2）设ACOD^AAOB的重合部分的面积为S,求S与旃）函数关系；

（3）联结AC,当第（2）问中S的值为1时，求AACO的面积.

【答案】⑴々=8；（2）5二总（3）S^oc=6.

【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题.

（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、0D的长度，即可解决问题.

（3）首先求出m的值，求出△«»,ZXAOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题.

【详解】（1）设A点的坐标为（4,A）；

2=-x4

2

由题意得：，解得：k=8,

即k的值为8.

（2）如图，设C点的坐标为C（m,n）.

则n=gm,即DE=gm；而0D=m,

1•S二;OD,DE=;mX二，m一,

2224

即S关于m的函数解析式是S=：m2.

4

（3）当S=1时，解得m=2或-2（舍去），

4

•.•点C在函数y=§的图象上，

X

Q

ACD--=4：

2

由（1）知：0B=4,AB=2；BD=4-2=2；

S梯彬ABI）C=5（4+2）X2—6,

SAAOB=5X4X2—4,

S/sc（»）=5X2X4=4；

••Sz\AOC二S梯形RBDf+SziCOI）—SAA0B=6+4—4=6.

【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，

灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明.

21.（2020•青浦区实验中学）如图，过直线y=2x上的点力作x轴的垂线，垂足为点3（4,0）,

与双曲线交于点£且点儿浅于工轴对称.

（1）求该双曲线的解析式；

（2）如果点。在直线y=2x上，且AZM8是以45为腰的等腰三角形，求点〃的坐标；

（3）如果点屏E双曲线上，且AA8E的面积为20,求点第J坐标.

【答案】⑴片手⑵（4+竽,8+苧）或卜竽,8一#卜昌,一等⑶（9,得

或(-1,32)

【分析】（1）求出点C的坐标，代入丫=人即可求解；

X

（2）分两种情况讨论①45=">=8,②AB=8O=8求解即可；

（3）设设点E的坐标为（4-利用含b的式子表示出三角形ABE的面积求解即可.

【详解】解：（1）由题意知：点A横坐标为4,将x=4代入y=2x得，y=8,；.A点坐标为（4,

8),

•・・点A、C关于x轴对称,

•・•点C坐标为（4,-8）.

设双曲线解析式为y=4,将（4,-8）代入y=&得，左=—32

X

-32

•••)'=一

x

(3)•.•ADAB是等腰三角形，且AB为腰，设点D坐标为

®AB=AD=8

22

>4D=A/(^-4)+(2a-8)=8,

解得：a=4土苧

@AB=BD=8

BD="（a-4A+（2”0尸=8

1?

解得：q=4,a2=---

点D不能与点A重合，4=4舍去

点D坐标为,，管）

（3）设点E的坐标为卜-引

由题意可知，SMB£=-xABx|^-4|=20

解得：4=9,b2=-\

E点坐标为9,

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想

的运用.

22.(2020•上海)如图，直线AC与函数>=勺》<0)的图象相交于点A(-l,6),与x轴交于

点C,且ZACO=45。，点。是线段4c上一点.

(1)求上的值；

(2)若△QOC与AOAC的面积比为2：3,求点。的坐标；

(3)将。。绕点。逆时针旋转90°得到O。，点次恰好落在函数y=；(x<0)的图象上，求点

力的坐标.

C\x

【答案】(1)k=-6；(2)(1,4)；(3)(3,2)或(2,3)

【分析】(1)将点A(-L6)代入反比例函数解析式中即可求出k的值；

(2)过点D作DMJ_x轴于M,过点A作AN，x轴于N,根据三角形的面积比可得空■=日，再根据

点A的坐标即可求出DM,然后证出AACN和ADCM都是等腰直角三角形，即可求出0M,从而求出

结论；

(3)过点D作DMLx轴于M,过点A作ANLx轴于N,过点N作D0GJ_x轴于G,设点D的纵坐标为a

(a>0),即DM=a,然后用a表示出0M,利用AAS证出△GD00g△MOD,即可用a表示出点W的

坐标，将W的坐标反比例函数解析式中即可求出a的值，从而求出点D的坐标.

【详解】解：(1)将点A(T6)代入y=5中，得

解得k=-6；

(2)过点D作DM，x轴于M,过点A作ANLx轴于N

△OOC与AOAC的面积比为2:3

LOC.DM、

•2=2

,,13

±O3AN'

2

.DM_2

•・京一3

VA(-l,6)

・・・AN=6,ON=1

ADM-4

,/NACO=45。

・•・4ACN和ADCM都是等腰直角三角形

ACN=AN=6,CM=DM=4

AOM=CN-CM-ON=1

・••点D的坐标为(1,4)；

(3)过点D作DM_Lx轴于M,过点A作AN_Lx轴于N,过点以作WGJ«x轴于G

设点D的纵坐标为a(a>0),即DM=a

,/^ACN和ADCM都是等腰直角三角形

・・・CN二AN=6,CM=DM=a

.\OM=CN-CM-ON=5-a

，点D的坐标为(5-a,a)

・・•Z"GO二NOMD二N以OD=90°

•NGD0O+/D00G=90°,/MOD+ND00G=90°,

，NGWO=/MOD

由旋转的性质可得D0O-OI）

4G的也△MOD

.\GD0-OM=5—a,OG=DM=a

二次的坐标为（-a,5-a）

由⑴知，反比例函数解析式为y=-?（x<0）

将次的坐标代入，得

解得：卬=2。=3

.•.点D的坐标为（3,2）或（2,3）.

【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函

数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关

键.

k

23.（2020•上海松江区•）如图，点4,解反比例函数y=—的图像上，4点坐标（1,6）,占点

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点用乍轴，垂足为点C,联结4C,当久次=6时,求点加勺坐标.

【答案】（1）y=g；（2）8（3,2）

【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；

（2）ZXABC中，BC=m,根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B

点坐标.

【详解】解：（1）把点A（l,6）代入反比例函数y=K中得：6=±,：-k=6,

X1

...反比例函数解析式为：y=-；

X

（2）S^ABC=6,J；加（6一〃）=6,

b6

•.•反比例函数y=>0）的图像经过点冷（加>1）；.•.〃=',

.•.；机（6一9）=6,

21机J

解得：m=3,

n=—=2,

3

•••B点坐标为（3,2）.

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求

点的坐标.

24.（2021•上海市康城学校）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA=2,OC=3,

E是A8的中点，反比例函数图象过点E且和BC相交于点F.

（1）直接写出点8和点E的坐标；

（2）求直线OB和反比例函数的解析式；

（3）连接OE、OF,求四边形OE8尸的面积.

【答案】（1）8（2,3）,后0［）；（2）y=|x,y=|；（3）3

【分析】（1）根据3=2,OC=3和第一象限内点的坐标特征可求得B的坐标，根据E为AB的

中点即可求得E点坐标；

（2）用待定系数法即可求得直线。8和反比例函数的解析式；

（3）根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角二角形的面积进行计算.

【详解】解：（1）V04=2,OC=3,四边形0ABC为长方形，

；.BC_Ly轴，BA_Lx轴，AB=OC=3,二8（2,3）

,.•£是48的中点，...人七=^|,二后（2,|）；

（2）设直线OB的解析式是y=%x.

把3点坐标代入，得仁=；3，则直线OB的解析式是y=13x.

设反比例函数解析式是>=8,把E点坐标代入，得刈=3,

X

则反比例函数的解析式是y=3；

X

【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数(一次函数)解析式和反比例函数比例系数k的几

何意义的运用.理解反比例函数上任意一点向X轴(y轴)作垂线，这一点、垂足和原点所围

成的三角形面积等于学是解题关键.

25.(2018•上海八年级期中)某地从3两村盛产柑橘，力村有柑橘200吨，周寸有柑橘300吨，

现将这些柑橘运到C、晒个冷藏仓库.已知。仓库可储存240吨，〃仓库可储存260吨，从4村运

往C、。两处的费用分别为每吨20元、25元，从价寸运往GZ柄处的费用分别为每吨15元、18元.设

从/村运往C仓库的柑橘重量为划屯，A,晒村运往两仓库的柑橘运输费用分别为必元、y沅.

(1)请填写下表，并求出力、加与x之间的函数表达式；

收地+

总计。

运地

A^>X吨Q200吨。

加A300吨。

总计。240吨。260吨一500吨Q

(2)试讨论力、晒村中，哪个村的运费较少；

(3)考虑到耕寸的经济承受能力，琳寸的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调

运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.

【答案】(1)(200—x)吨，(240—x)吨，(x+60)吨；乂=5000—5x(0WK200),%=3x+

4680(0WxW200)；(2)当x=40时，两村的运费-样多；以当0Wx<40时，周寸的运费较少;

当40<xW200时，力村的运费较少；

(3)调运方案为力村运往。仓库50吨柑橘，运往〃仓库150吨柑橘，物寸运往C仓库190吨柑橘，

运往〃仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9580元.

【解析】分析：（1）由4村共有柑橘200吨，从4村运往0仓库利屯，剩下的运往。仓库，故运往

〃仓库为（200-x）吨，由村已经运往C仓库前屯，C仓库可储存240吨，故周寸应往C仓库运（240

-A-）吨，剩下的运往跄库，剩下的为300-（240-x）,化简后即可得到所寸运往〃仓库的吨

数，填表即可；

（2）由从4村运往G晒处的费用分别为每吨20元和25元；从所寸运往C,炳处的费用分别为

每吨15元和18元，由表格中的代数式求得总费用即可；

（3）由周寸的柑橘运费不得超过4830元，得到不等式，求出x的取值范围.再求出两村运费之

和的由一次函数的性质即可得出结论.

详解：⑴从左往右，从上往下依次填：（200—x）吨，（240-x）吨，（x+60）吨.

■=20x+25（200—x）=5000—5x（0WxW200）,

%=15（240—x）+18（x+60）=3X+4680（0WA<200）.

（2）当必=%,即5000-5x=3x+4680时，

解得：x=40,所以当x=40时，两村的运费一样多；

当%>外,即5000—5x>3*+4680时，

解得：%<40,所以当0Wx<40时，掰寸的运费较少；

当%<外,即5000—5x<3x+4680时，解得：x>40,

所以当40200时，力村的运费较少.

（3）由掰寸的柑橘运费不得超过4830元，得3x+4680W4830,

解得：xW50.

两村运费之和所=%+%=5000—5x+3x+4680=9680—2x.

V-2<0,

心随x的增大而减小，

...当x=50时，两村的运费之和最小，

调运方案为"村运往班库50吨柑橘，运往舱库150吨柑橘，耕寸运往。仓库190吨柑橘，运往

〃仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680—2X50=9580（元）.

点睛：本题考查了列代数式，以及代数式求值，利用题目蕴含的基本数量关系解决问题.

26.（2017•上海嘉定区♦）已知正反比例函数的图像交于A、B两点，过第二象限的点A作

轴，点A的横坐标为-2,且3,点8（八"）在第四象限

（1）求这两个函数解析式；

（2）求这两个函数图像的交点坐标；

（3）若点。在坐标轴上，联结AD、BD,写出当邑,,=6时的。点坐标

【答案】（1）y=--x,y=--（2）A（-2,3）,B（2,-3）（3）（2,0）或（-2,0）或（0,

2x

3）或（0,-3）

【分析】（1）先根据题意得出OH=2,再结合=3知4（-2,3）,再利用待定系数法求解

可得；（2）联立正反比例函数解析式得到方程组，解之即可得交点坐标；（3）由“点。在

坐标轴上”分点。在工轴上和了轴上两种情况，根据S“.切=6利用割补法求解可得.

【详解】解：（1）如图，

:点4的横坐标为-2,且轴，

/.OH=2,

•：SAOH=-OH^AH=3,

：,AH=3,

则点A（-2,3）,

将A（-2,3）代入y=Ax得：k=-j,则正比例函数的解析式为y=-1x；

将4-2,3）代入y=g得：b=-6,则反比例函数的解析式为），=-*

(2)

x=2

•••得:

y=-3

•.•点8（机，〃）在第四象限,

•••点B坐标为（2,-3）,

故答案为A（-23）,B（2,-3）.

（3）若。在x轴上，设。（a,0）,

SAABO=6

•*-5“加=34,3+3同-3=6,

解得：。=2,或a=-2,

。点的坐标为（2,0）或（-2,0）；

若。在y轴上，设0（0,C）,

•'S«AB£）=6

二SM=今板2+铜.2=6,

解得；c=3,或c=-3,

二。点的坐标为（0,3）或（0,-3）；

综上,D点的坐标为（2,0）或（-2,0）或（0,3）或（0,-3）.

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求

函数解析式及割补法求三角形的面积、分类讨论思想的运用等.

27.（2019•上海市西延安中学八年级期中）已知在平面直角坐标中，点4见〃）在第一象限

内，ABLOA^.AB=OA,反比例函数y=（的图像经过点A,

（1）当点3的坐标为（6,0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；

（2）当点8在反比例函数y=A的图像上，且在点A的右侧时（如图2）,用含字母孙〃的代

X

数式表示点B的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，求'的值.

n

【答